Графтар теориясының элементтері

16 
Егер биекция 
f: А

А
, онда ол 
А 
жиынының орнына қоюы (подстановка) 
делінеді. Мысалы тепе-тең қатыная 
I
.
Мысалы 1.3.8
- Үш функция қарастырайық 
i
f
: 
)
3
,
2
,
1
(


i
R
R
. 
1.
x
e
x
f

)
(
1
- инъекция, бірақ сюръекция емес, себебі 
D
f 
= R,
 
E
f
 



;
0
R
(1.3.4 суретті қара);
2.
x
x
x
x
x
x
f
4
)
2
)(
2
(
)
(
3
2





- сюръективті, бірақ инъективті емес, себебі 
2
1
x
x


, мысалы,
0
2


, бірақ 
0
)
0
(
)
2
(
2
2



f
f
,
E
f
= R
(1.3.5 суретті қара).
3. 
3
)
(
3


x
x
f
- биективті (графигі – түзу сызық).
1.3.4 сурет 1.3.5 сурет 
Айта кетелік, функциялардың қасиеттерін графиктері арқылы көруге 
болады. 
Мысалы 1.3.9
- Функциялар қарастырайық 
i
f
: 
   
)
4
,
3
,
2
,
1
(
,
1
,
0
1
,
0


i
, 
графиктері 1.3.6 суретте кескінделген: 
1.3.6 сурет 
График бойынша
а) 
)
(
1
x
f
- сюръекция (инъекция емес);
б) 
)
(
2
x
f
- инъекция;
в) 
)
(
3
x
f
- биекция;
г) 
)
(
4
x
f
- инъективті де, сюръективті де емес функция. 

 

17 
 
 
Жиынның қуаты туралы ұғым. 
Жиындарды элементтерінің санына қарай салыстыру қажеттігі 
туындайды. Бұл жағдайда
 
жиынның қуаты туралы ұғым пайда болады. 
Анықтама.
 
Егер 
f: А

В
биекциясы бар болса (яғни олардың арасында 
өзара бірмәнді сәйкестік орнаса (ө.б.с.)), онда 
А
және 
В 
жиындары эквивалентті 
делінеді (белгіленуі 
А~В
). 
Екі ақырлы екі жиынның элементтер саны бірдей болғанда олардың
эквивалентті болатындығы белгілі. Егер екі жиын шексіз және олардың 
арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнаса, онда олардың ортақ қуаты болады 
делінеді. Сонымен, кез келген екі эквивалентті жиынның (ақырлы немесе 
шексіз) ортақ қуаты бар немесе бірдей қуатты болады. 
Анықтама. 
А
жиынының қуаты деп 
А
жиынына эквивалентті барлық 
жиындар класы айтылады (белгіленуі 
A
).
Үш мүмкін жағдай бар:
а) Егер 
А
ақырлы жиын және
 n
элементі бар, онда 
A
= 
n
;
б) Егер 
А
шексіз жиын және 
N
натурал сандар жиынына эквивалентті 
болса, онда 
А
санамалы жиын деп атап, былай жазады: 
A
= 

. Сонымен, 
санамалы жиынның барлық элементтерін нөмірлеуге болады;
в) шексіз жиын бар, оларды 
N
натурал сандар жиынымен ө.б.с. келтіруге 
болмайды. Мысалы, [0,1] кесіндісіндегі барлық нақты сандар жиыны санамалы 
емес (Кантор теоремасы). Бұл жиынның қуатын континуум (белгіленуі 
с
), ал 
мұндай қуатты жиындарды континуалды деп айту келісілген. 
А
континуалды жиын болса, онда 

2


c
A
, яғни континуумның қуаты 
санамалы жиынның барлық ішкі жиындар жиынының қуатына тең екендігі 
дәлелденген. Жалпы, кез келген 
А
жиыны үшін: Р(А) =
A
2
, мұндағы Р(А) – 
булеан. 
Санамалы жиындар мысалы:
а) 
Z
бүтін сандар жиыны, сонымен қатар 


Z
Z
,
;
б) 
Q
рационал сандардың жиыны ;
в) 
N 
жиынының кез келген шексіз ішкі жиыны, мысалы, {2,4,6,8,…};
г) 
2
N
( жалпы 
N
N
n
~
). 
Континуалды жиындар мысалы:
а) 
R
барлық нақты сандар жиыны немесе сан осіндегі нүктелер жиыны;
б) жазықтықтың (кеңістіктің) 


R
R
R
R
R



барлық нүктелерінің жиыны;
в) санамалы жиынның барлық ішкі жиындар жиыны (яғни санамалы 
жиынның булеаны). 
Жиындар теориясында көрсетілгендей, кез келген қуатты жиын үшін 
барлық ішкі жиындар жиыны қуаты жоғарырақ болады. Сондықтан 
максималды қуатты жиын болмайды. Жиынның қуатына кардиналды сан 
немесе кардинал деп аталатын жаңа объектіге қарағандай болады. 
Кардиналдың мысалы 
а) кез келген натурал сан (ақырлы жиын қуаты ретінде);

18 
б) 



2
2
,
2
,
c

және т.б. 
Айта кетелік, екі жиын арасындағы биекцияның бар болуы бір жиынның 
қасиеттері арқылы екіншісінікін зерттеуге мүмкіндік береді, мысалы, 
А (
A
= 
n
) 
ақырлы жиынның кейбір қасиетін, {0,1,2,3,…
n
-1} жиыны бойынша зерттеуге 
болады. 

жүктеу/скачать 1,03 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: