Дәріс Дифференциалдық теңдеулер. Сағат саны: 1
жүктеу/скачать 37,72 Kb.
|
лекции дефур
|
Дәріс 1. Дифференциалдық теңдеулер. Сағат саны: 1 1. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Негізгі түсініктер. Тәуелсіз айнымалы x-ті, белгісіз функция - ті және оның туындыларын - - байланыстыратын - түріндегі теңдеуді дифференциалдық теңдеу деп атаймыз. Егер -белгісіз функциясы бір айнымалыдан тәуелді болса онда, дифференциалдық теңдеу қарапайым д. а. Мысалы: . Ал егер, белгісіз функция бірнеше айнымалыдан тәуелді болса, - онда дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп аталынады. Мысалы: . Дифференциалдық теңдеу реті дегеніміз- теңдеуге қатынасып тұрған белгісіз функцияның туындысының ең жоғарғы ретін айтамыз. (a, b) - интервалында өзінің n-ші ретті туындыларымен анықталған функциясын, функциясын дифференциалдық теңдеуге қойғанда дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыратын болса, онда n- ші ретті дифференциалдық теңдеудің (а, b)- интервалындағы шешімі деп айтамыз. -түріндегі теңдеуді 1- ші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі деп айтамыз. - түрінде берілген теңдеуді бірінші ретті теңдеу туындысы арқылы шешілген теңдеу д. а. теңдеуінің шартын қанағаттандыратын шешімін табуды Коши есебін шығару д. а. Айнымалдары ажыратылатын теңдеулер Бірінші ретті айнымалысы ажыратылатан дифференциалдық теңдеулер Мақсаты: Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер туралы алынған білімді тереңдету. Студенттерді дифференциалдық теңдеулерді ұқыпты шығара білуге, жалпы интегралды таба білуге үйрету. Айнымалысы ажыратылған дифференциалдық теңдеу түрі: . (1) (2) (2)- түрдегі теңдеуді айнымалысы ажыратылатын теңдеу д. а. -ке (2)- ні бөлсек, онда айнымалысы ажыратылған (1)- түрдегі теңдеуді аламыз. Бұл теңдеудің жалпы интегралының түрі: . Ескерту: -ке бөлгенде, осы көбейтіндіні нөлге айналдыратын кейбір түбірлерді жоғалтып алуымыз мүмкін. №1 мысал – есеп: Шешуі: . Айнымалысын ажыратамыз: , интегралдап жалпы интегралын табамыз: . №2 мысал – есеп: Шешуі: , айнымалысын ажыратамыз: , Интегралдап, жалпы интегралын аламыз: Потенциалдасақ: - бұл берілген теңдеудің жалпы шешімі. №3 мысал – есеп: xdy + ydx= 0 - айнымалдары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу, мұнда болатын (х,у)-нүктелері үшін теңдеудің екі жағын х • у көбейтіндісіне бөлсек, теңдеуін аламыз. Мұнда ықшамдау ыңғайлылығына байланысты параметрінің орнына параметрін жаздық. Соңғы өрнекті жалпы интегралын Бұл түрлендірулердің соңғысы бьлайша түсіндіріледі. болатыны түсінікті. Мұндағы болғандықтан –С=C деп белгілеуге болады. Сондықтан, ух=C мен ух=-C теңдеулерін бір теңдеумен: ух=C немесе ух=-C алмастырып жазуға болады. Жалпы интеграл х 0, у 0 үшін жазылып тұр. Бірақ х= 0, у = 0 өстерінің бойындағы нүктелер жиыны да бастапқы дифференциалдық тендеудің шешімдері болатынын керу қиын емес. Бұл соңғы шешімдерді жалпы интеграл құрамында жазу үшін С О шектеуін алып тастаса болғаны. Олай болса, берілген дифференциалдық теңдеудің шешімдер жиыны ух = С түрінде жазылады. Бақылау сұрақтары: 1. Дифференциалдық теңдеу дегеніміз не? 2. Жалпы және дербес шешімдерге анықтама бер? 3. Изоклин анықтамасы? 4. Бағыттар өрісі деп нені айтамыз? Әдебиеттер: Дәріс 2. Бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеулер Сағат саны: 1 Мақсаты Біртекті дифференциалдық теңдеулер және оған келтірілетін дифференциалдық теңдеулерді шешу. Егер кез-келген х,у және t>0 үшін M(tx,ty) = t"'M(x,y) теңдігі орындалса, онда М(х,у) функциясы w-дәрежелі (немесе т- ретті) біртекті функция деп аталады. Мысалы, Функциялары, сәйкес, бірінші дәрежелі, екінші дәрежелі және нөлінші дәрежелі біртекті функциялар. Өйткені x,y үшін Erep M(x,y)dx + N(x, y)dy = 0 дифференциалдық теңдеуіндегі M(x,y) және N(x,y) функциялары бірдей дәрежелі біртекті функциялар болса, онда (7) теңдеу - біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады. Біртекті (7) дифференциалдық теңдеуді былай түрлендіруге болады (8) Жалпы жағдайда біртекті дифференциалдық теңдеулердің айнымалдары ажыратылмайды. Бірақ оны немесе у = хи алмастыруын пайдаланып, көмекші и(х) функциясын енгізу арқылы айнымалдары ажыратылатын теңдеуге түрлендіруге болады. Шынында, болады да (8) дифференциалдық теңдеу немесе түріне келеді. Бұл теңдеудің айнымалыларын интегралдасақ, , . Мұнда қойып, бастапқы дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралын аламыз. №1 мысал-есеп: Дифференциалдық теңдеуді шешу керек: (х2 - 2xy)dy + (у2 - xy)dx = 0 Мұндағы х2 — 2ху және у2 — ху функциялары екінші дәрежелі біртекті функциялар (тексеріңіз). у = хи , dy = udx + xdu алмастыруын жасасақ, (х2 - 2х*xu)(udx + xdu) + (x2u2 – х*xu)dx = 0, (1 -2u)udx + х• (1 -2u)du + (и2 - u)dx = 0, , х(1 — 2u)du + (—U2)dx = 0 түріндегі айнымалдары ажыратылатын дифференциалдық теңдеуге келеміз. Одан әрі Бұған қойсақ, жалпы интегралын табамыз. Ескерту. (8) дифференциалдық теңдеу келесі дифференциалдық теңдеудің (9) дербес (а=1) жағдайы (9) теңдеу, алмастыру арқылы айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеуге келеді. №2 мысал-есеп: - теңдеуді шешу. Шешуі: Берілген теңдеуді мына түрде жазайық: - бұл теңдеудің біртекті теңдеу екені көрініп тұр, олай болса -ауыстыруын жасайық, онда мына түрдегі теңдеуді аламыз. , айнымалыларын ажыратсақ - бұл теңдеуді интегралдасақ : , u-ды ауыстырсақ , Бұдан жалпы шешім шығады: . Айнымалыларды ажырату барысында теңдеудің екі жағын -қа бөлдік, сондықтанда бұл көбейтіндіні 0-ге айналдыратын шешімді жоғалтып алуымыз мүмкін еді. Бақылау сұрақтары: 1. Біртекті теңдеуді функция дегеніміз не? 2. Біртекті дифференциалдық теңдеу деп қандай теңдеуді айтамыз? 3. Біртекті дифференциалдық теңдеуді шешу әдісі қандай? Әдебиеттер: Дәріс 3. Бірінші ретті біртекті теңдеуге келтірілетін дифференциалдық теңдеулер
Әдебиеттер: Дәріс 4. Бірінші ретті сызыкты дифференциалдық теңдеулер. Коши есебі Сағат саны: 1 Мақсаты: Сызықты теңдеуді шешуге үйрету. Әртүрлі теңдеулердің типін анықтай білуге машықтандыру -түріндегі теңдеуді 1- ші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі деп айтамыз. - түрінде берілген теңдеуді бірінші ретті теңдеу туындысы арқылы шешілген теңдеу д. а. теңдеуінің шартын қанағаттандыратын шешімін табуды Коши есебін шығару д. а. 1-ші ретті сызықты теңдеу.
Соңғы теңдікті берілген теңдеуге қоямыз, сонда деген теңдік аламыз, бұдан С(х)- ті табамыз, . Табылған мәнді (6)- теңдікке апарып қойып, жалпы шешімді аламыз. Берілген теңдеудің жалпы шешімі: . №2 мысал-есеп: . Шешуі: Берілген теңдеудің екі жағын -қа бөлеміз, және - ауыстыруларын жасаймыз, сонда берілген теңдеу сызықты теңдеуге түрленеді: немесе Бұл теңдеудің жалпы шешімі: , мәндерін орнына қойғанда , жалпы шешімді аламыз, немесе . №3 мысал-есеп: , Шешуі: Дербес шешімі белгілі болғаннан кейін, -ауыстыруын жасайық, , Бұдан Олай болса жалпы шешім: №4 мысал-есеп: дербес шешімдері: -берілген, жалпы интегралын анықтаңыз. Шешуі: (6)-шы формуланы бірден пайдаланып шығарамыз: , бұдан Бақылау сұрақтары: 1. Сызықты дифференциалдық теңдеу деп қандай теңдеуді айтамыз? 2. Сызықты біртекті теңдеудің жалпы шешімі қандай? 3. Біртекті емес сызықты теңдеуді қалай шешеміз? Әдебиеттер: Дәріс 5. Ізделінетін функция мен оның туындысы бойынша сызықты
формуласы арқылы табады. Бірақ функциясы да біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімі болатынын көру қиын емес. Ал бұл шешімді жалпы шешімнен мәні арқылы алуға болады.Олай болса, дифференциалдық теңдеудің шешімдері жалпы шешімдегі шартын алып тастау арқылы өрнектеледі. түрдегі біртекті емес дифференциалдық теңдеуді, әдетте, Бернулли әдісімен шығарады.Бұл әдіс бойынша ізделінетін функцияны екі функцияның көбейтіндісі түрінде іздейді. Бұл екі функцияның біреуі теңдеу барынша ықшамдалатындай етіп таңдалады; ал екіншісі бірінші функцияға тәуелді және ол осы екі функцияның көбейтіндісі берілген дифференциалдық теңдеудің шешімі болатындай етіп алынады.
Егер осы теңдеудің сол жағындағы қосындының екінші қосылғышын алып тастай алсақ, яғни функциясын теңдеуінің дербес шешімі болатындай етіп алсақ,онда теңдеуінің айнымалдарын ажыратуға болатынын байқаймыз.Ал теңдеуі - айнымалдары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу болғандықтан Бізге дербес шешім жеткілікті болатындықтан деп алсақ,сщңғы теңдіктен шығады.Бұл екеуінің біреуін,мысалы, алып, оны -ға қоямыз да, алынған түріндегі айнымалдары ажыратылатын дифференциалдық теңдеуді шешеміз:
Ескерту. Әрбір мысалға (13) формуланы қолданып жатпастан,көрсетілген амалдарды түгел орындаған жөн. 4-мысал. Коши есебін шешу керек: .
функциясын, теңдеуінің дербес шешімі ретінде аламыз: Мұндағы үшін, аламыз.Бұл функцияны -ға апарып қойсақ: Табылған мен көбейтіп, жалпы шешімді аламыз.Енді осы жалпы шешімнен бастапқы шартты қанағаттандыратын дербем шешім алу керек. Жауабы:
Бернулли теңдеуі.(Я.Бернулли (1654-1705) –Швейцарияның аса көрнекті математигі). (14)
Егер немасе болса,онда біз сызықтық дифференциалдық теңдеуді аламыз. Егер болса,онда алматыруы функциясы арқылы сызықтық теңдеуге алып келеді. Бірақ Бернулли теңдеуін бірден Бернулли әдісімен шығаруға болады. 5-мысал. теңдеуін шешу керек. ▼ Бұл – Бернулли теңдеуі деп алсақ, Бұларды теңдеуге қоямыз функциясын теңдеуінің дербес шешімі ретінде таңдаймыз: Енді функциясын -ға қойып
Ескерту. Дифференциалдық теңдеу х пен -ке де қатысты сызықтық болып келуі мүмкін.Мысалы, теңдеуі пен бойынша сызықтық емес.Бірақ оны деп алып немесе түрінде жазсақ, ол х пен қатысты сызықтық теңдеу болады. Бұл теңдеуді шешу үшін деп алсақ, дифференциалдық теңдеуге қойсақ, немесе аламыз.Мұндағы функциясын теңдеуінің дербес шешімі ретінде таңдаймыз: Табылған функциясын теңдеуіне қоямыз Енді мен -ны көбейтіп түріндегі жалпы шешімді аламыз. түзуі де берілген теңдеудің шешімі болатынын көру қиын емес. Жауабы: ▲ Дәріс 6. Толық дифференциалдық теңдеулер. Сағат саны: 1 Мақсаты Студенттерді толық дифференциалдық теңдеулерді шешуге, интегралдаушы көбейткіштерді табуға үйрету. Толық дифференциалдық теңдеу. Интегралдаушы көбейткіш. (1) түріндегі теңдеуді толық дифференциалдық теңдеу деп атаймыз, егер теңдеудің сол жағы кейбір u(x,y)- функциясының толық дифференциалы болса, яғни: . Теорема: (1)- теңдеу толық дифференциалды теңдеу болу үшін кейбір бір байланысты D- облысында мына шарт орындалуы қажетті және жеткілікті. (1)-теңдеудің жалпы интегралы мына түрде болады немесе Кейбір жағдайларда , (1)- теңдеу толық дифференциалды теңдеу болмаса, кейбір -функциясын тауып, оны (1) ге көбейткенде, (1)- дің сол жағы толық дифференциалға айналадыратын жағдайды қарастыруға болады. - интегралдаушы көбейткіш деп аталынады. Осы интегралдаушы көбейткішті табудың кейбір жеңіл тәсілдері. 1. 2. №1 мысал-есеп: Шешуі: , - олай болса, интегралдаушы көбейткішті іздейміз. 1-ші жағдай бойынша: , , . Берілген теңдеуге табылған интегралдаушы көбейткішті көбейткенде, теңдеу толық дифференциалды теңдеуге айналады. . - шартын тексеруге болады, бұл шарт орындалады оның сол жағын - түрінде жазуға болады, бұдан . Бұл теңдеудің жалпы интегралы: . Теорема. Егер қарастырылатын G аймағында , дербес туындылары үзіліссіз болса, онда осы аймақта (1) теңдеу толық дифференциалдық теңдеу болуы үшін (3) теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікгі. ▼ Қажеттілігі. (1) теңдеу толық дифференциалдық теңдеу болсын, яғни қандай да бірU(x,y) функциясы үшін (2) тендіктер орындалсын. (2) теңдіктердің біріншісін у бойынша, ал екіншісін х бойынша дифференциалдайық: , . Теорема шарты бойынша, бұл теңдіктердің оң жақтары, олай болса сол жақтары да G аймағында үзіліссіз. Ал функцияның екінші ретті аралас туындылары олардың үзіліссіз нүктелерінде өзара тең болатын қасиеттен (3) тендікті аламыз. Демек, (1) теңдеу толық дифференциалдық теңдеу болуы үшін, (3) теңдіктің орындалуы қажет екен. Жеткіліктілігі. Енді (1) теңдеу толық дифференциалдық теңдеу болуы үшін, (3) теңдіктің орындалуы жеткілікті болатынын, басқаша айтқанда (3) шарт орындалса (2) теңдіктерді қанағаттандыратын U(x,y) функциясы табылатынын көрсетейік. (2) қатыстардың біріншісінен (4) алуға болады. Мұндағы х0 шешімнің бар болу аймағындағы кез-келген нүкте абциссасы. Және интегралдау амалы х бойынша жүретіндіктен у тұрақты деп есептеледі, сондықтан кез-келген интегралдау тұрақтысы у-ке тәуелді болуы мүмкін. Енді осы функциясын (2) қатыстардың екіншісі орындалатындай етіп таңдаймыз. Ол үшін (4) теңдіктің екі жағын у бойынша дифференциалдап, (2) теңдіктердің екінші шарты бойынша, Q(x, у)-ке теңестіреміз: . Бұл теңдікке (3) шартты пайдалансақ, немесе , ал бұдан немесе . Алынған өрнекті (4) теңдікке қойып аламыз. Мұндағы нүктесі, оның маңайында (1) дифференциалдық теңдеудің шешімі бар болатындай етіп алынады. Сонымен, (3) шарттың орындалуынан (2) қатыстарды қанағаттандыратын U(x,y) функциясын (қандай да бір тұрақтыға дейінгі дәлдікпен) алдық. ▲ Мысал. тендеуін шешу керек. ▼Берілген теңдеу толық дифференциалдық теңдеу. Өйткені, яғни (3) теңдік орындалады (х > 0). U(x,y) функциясын табайық. және (2’) қатыстарының біріншісінен (х > 0) (4’) аламыз. Алынған теңдікті у бойынша дифференциалдап, (2') қатыстарының екіншісіне апарып қоямыз: . С1 параметрін, мысалы, С1 = 0 деп алып, өрнегін (4') теңдікке қойсақ шығады. Жауабы. Бақылау сұрақтары: 1. дифференциалдық теңдеудің толық ДТ болу шарты? 2. Интегралдаушы көбейткіш не үшін табылады? Әдебиеттер: Дәріс 7. Туындыға қатысты шешілмеген бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер.
дифференциалдық теңдеуді шешу үшін алдымен оны туындысына қатысты шешіп алуға әрекет етуге болады. Егер оны іске асыра алсақ, онда түріндегі бір немесе бірнеше нормаль дифференциалдық теңдеу аламыз және олардың әрбіреуінің кез келген шешімі дифференциалдық теңдеудің де шешімі болады. Бірақ дифференциалдық теңдеудің де шешімдері дифференциалдық теңдеудің шешімдерін түгел қамтиды? Осыны байқап отыру керек. Мысалы, теңдеуін шешу үшін оның сол бөлігін көбейтіндіге тепе-тең түрлендірейік (оны квадрат үшмүшелікті көбейткіштерге жіктеу формуласы арқылы жасауға болады): Бұдан теңдеулерін аламыз, ал бұл теңдеулердің жалпы интегралдары сәйкес болатынын көру қиын емес. Мұндағы мен параметрлерінің дербес мәндеріне сәйкес алынатын функциялар дифференциалдық теңдеудің шешулері болатыны түсінікті. Бірақ соңғы екі дифференциалдық теңдеудің осы көрсетілген дербес шешімдерінен дифференциалдық теңдеудің басқа дербес шешімдерін тұрғызуға болады. Мысалы, функциясы дифференциалдық теңдеудің шешімі болады. Бұл интегралдық қисық, әртүрлі үйірлерге (жиынтықтарға) жататын екі интегралдық қисықтан құралған (28-сурет). Осы айтылған мәселемен қатар, дифференциалдық теңдеу туындысына қатысты шешілмейтін немесе шешілсе де, одан алынған дифференциалдық теңдеуді интегралдау қиынға соғатын жағдайлар кездеседі. Сондықтан, түрдегі дифференциалдық теңдеулерді көбінесе параметр енгізу әдісімен шығарады. Енді осы әдістің кейбір оңайлау варианттарын қарастырайық. Енді дифференциалдық теңдеу ізделінетін функциясына немесе аргументке қатысты шешілетін болса, яғни немесе болса, онда , теңдеулерді параметррін енгізу арқылы шешуге болады. Шынында да, осы параметрді теңдеуге қойып ал бұдан немесе ескеріп аламыз. Бұл соңғы теңдеу түріндегі бірінші ретті дифференциалдық теңдеу. Егер оның шешімі болса, онда бастапқы теңдеудің шешімін келесі параметрі арқылы жазуға болады: Егер параметрін дифференциалдық теңдеуге енгізсек, онда ал бұдан немесе түріндегі дифференциалдық теңдеу аламыз. Егер соңғы теңдеудің шешімі болса, онда дифференциалдық теңдеудің шешімі келесі параметрлік түрде жазылады Ескерту. Егер алынған параметрлік теңдеулердегі параметр шығарылып тасталса, онда берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралын (шешімін) аламыз. 1-мысал. теңдеуін шешу керек. Берілген теңдеуде деп алсақ, аламыз. Енді пен арасындағы тәуелділікті табу үшін алынған тнңдіктің екі жағын бойынша дифференциалдаймыз Сонымен, берілген теңдеудің шешімі U немесе p=0 мәнін екінші теңдеуге қойсақ 2-мысал. теңдеуін шншу керек. Егер деп алсақ, онда . Енді пен параметрінің тәуелділігін табу үшін, алынған теңдіктің екі жағын дифференциалдаймыз немесе екенін ескереміз . Егер бұл теңдеудің айнымалдарын ажыратып алып интегралдасақ, онда немесе Сонымен берілген теңдеудің шешімін параметр арқылы келесі түрде жазуға болады Ескерту. және теңдеулері сәйкес Ж.Лагранж және А.Клеро теңдеулері деп аталады. (18-ғас Француз математиктері ). Оларды жоғарыда көрсетілген әдіспен шешуге болады. Клеро теңдеуі Лагранж теңдеуінің дербес жағдайы. 3-мысал. теңдеуін шешу керек. Бұл Клеро теңдеуі. Мұнда деп алсақ, онда ; Енді x пен p арасындағы тәуелділікті табу үшін алынған теңдікті x бойынша дифференциалдаймыз: Сонымен, берілген Клеро теңдеудің шешімі және немесе p параметрін шығарып тастасақ, және Ерекше шешімдер (1) дифференциалдық теңдеуі берілсін. Егер жазықтығының нүктесінің маңайында шешімнің бар және оның жалғыз болуы туралы теоремасының шарттары орындалса,онда осы нүкте арқылы жалғыз интегралдық қисық өтеді. Егер шешімнің бар болуы теоремасының шарттары сақталмаса, онда әр түрлі жағдайлар болуы мүмкін: нүктесі арқылы жалғыз ғана интегралдық қисық немесе бірнеше интегралдық немесе ақырсыз жиын құрайтын интегралдық қисықтар өтуі мүмкін немесе нүктесі арқылы өтетін бірде-бір интегралдық қисық болмауы мүмкін. Егер бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің интегралдық қисығының әрбір нүктесі арқылы осы теңдеудің басқа интегралдық қисығы(жанамалап) өтетін болса, онда бұл шешімді ерекше деп атайды. (1) дифференциалдық теңдеудегі функциясы қандайда бір аймағында үзіліссіз, ал оның дербес туындысы аймағының барлық нүктелерінде ақырлы және үзіліссіз бола бермейтін жағдайлар жиі кездеседі. болатын да нүктелер кездеседі. Жалпы алғанда осындай нүктелердің әрбіреуінде (1) дифференциалдық теңдеудің жалғыз шешімінің бар болу шарты бұзылады, ал егер осындай нүктелер тегіс сызық құрса, онда бұл сызық дифференциалдық теңдеудің ерекше шешімі болуы мүмкін. Мысал, функциясы теңдеуінің ерекше шешімі. Өйткені оның әрбір нүктесі арқылы осы теңдеудің - шешіміне сәйкес келетін интегралдық қисықтар жанасады Әдебиеттер: Дәріс 8-9. Жоғары ретті дифференциялдық теңдеулер Сағат саны: 1 Мақсаты: Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді шешуге үйрету, реті төменділетін дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістерін меңгерту. Коши есебінің шешімін табуға үйрету Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер. Реті кемітілетін дифференциалдық теңдеулер. n-ретті дифференциялдық теңдеу немесе туындыға қатысты шешілген түрі. (1)-ші теңдеудің, мынадай шарттарды қанағатандыратын (2) шешімін іздеу есебі – Коши есебі деп аталады. Реті кемітілетін теңдеулердің кейбір түрлерін қарастырайық.. 1. - теңдеуін п-рет интегралдағаннан кейінжалпы шешімді алуға болады. 2. Белгісіз функция және оның k-1 ретіне дейін туындысы теңдеуде қатыспаған болса, -ауыстыруы арқылы, теңдеуді - бірлікке кемітуге болады.Онда (1) – ші теңдеу мына түрде болады . Соңғы теңдеуден анықтаймыз, содан соң у-ті теңдеуінен - рет интегралдап табамыз. 3. теңдеуінде тәуелсіз айнымалы қатыспаған жағдайда ауыстыруы теңдеу ретін кемітуге мүмкіндік береді. Мұндағы - белгісіз функция у- тен тәуелді. Барлық туындылар жаңа функция -дан және -тен алынады. т.с.с -мәндерін бастапқыда берілген теңдеуге қойып, ретті дифференциялдық теңдеуді аламыз. 4. теңдеуі теңдеуіне қатысты біртекті. -ауыстыруынан кейін теңдеу ретін бір бірлікке кемітуге болады, мұндағы - жаңа белгісіз функция . №1 мысал-есеп: жалпы шешімін табу керек. Шешуі:Біртіндеп интегралдаймыз. №2 мысал-есеп: бастапқы шарттарын қанағаттандыратын шешімді табу керек. Шешіуі:Бұл теңдеуді біртіндеп үш рет интегралдаймыз. бастапқы шартты қанағаттандыратын - қанағаттандыратын шешімді табамыз. тұрақтылар мәндерін аламыз, теңдеу мына түрге келеді №3 мысал-есеп: теңдеуін шешу Шешуі: Берілген теңдеуде және оның туындысы берілмеген сондықтан деп аламыз. Бұдан теңдеу мына түрге келеді . Айнымалыларды ажыратып және интегралдау арқылы, табамыз. -ны -ке ауыстырамыз, - бұл теңдеуді біртіндеп интегралдаймыз. және немесе нәтижесінде жалпы шешімді аламыз. Бақылау сұрақтары 1. Коши есебі қалай қойылады? 2. Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулерді шешу жолдары қандай? Жалпы ұғымдар және анықтамалар -ші ретті (1) дифференциялдық теңдеуді қарастырамыз. Мұндағы функциясы мен оның дербес өлшемді кеңістіктегі қандай да бір аймағының нүктелерінде үзіліссіз деп ұйғарайық. (1) теңдеуді жоғары туынды арқылы шешсек (2) аламыз. Теорема (шешімнің бар және оның жалғыз болуы туралы). (2) теңдеудің оң жағындағы айнымалды функциясы және оның дербес туындылары нүктесінің қандай да бір маңайында үзіліссіз болсын. Онда аралығында рет үзіліссіз дифференциалданатын, (2) теңдеуді, әрі (3) бастапқы шарттарды қанағаттандыратын жалғыз функциясы мен аралығы табылады. Сонымен, бұл теоремадағы функциясы- дифференциялдық теңдеудің (3) бастапқы шарттарды қанағаттандыратын шешімі. Тиянақты нүктесі үшін әрбір , сандар жүйесіне дифференциялдық теңдеудің түріндегі шешімі сәйкес келеді. Басқаша айтқанда, егер деп алсақ, онда тиянақты нүктесі үшін әрбір сандар жүйесіне дифференциялдық теңдеудің (4) түрінде жазуға болатын шешімі сәйкес келеді. Нәтижеде дифференциялдық теңдеудің параметрге тәуелді шешімдер жүйесін аламыз (оның әрбіреуінің өз анықталу аралығы болады). (1) немесе (2) дифференциялдық теңдеудің жалпы шешімі деп параметрлерінің кез-келген мәндерінде осы дифференциялдық теңдеудің шешімі болатын функциясын айтады. Жалпы шешімді айқын емес функция ретінде анықтайтын теңдеуін дифференциялдық теңдеудің жалпы интегралы деп атайды. Мысал. теңдеуінің (0,1) нүктесінен өтетін және осы нүктеде бұрыштық коэффициенті интегралдық қисықты табу керек. функциясы кез-келген мен тұрақтылары үшін берілген теңдеудің шешімі болатынын тексеру қиын емес.Бұл функциядан аламыз.Демек, бастапқы шарт орындалуы үшін деп алу керек екен. Сонымен ізделінген интегралдық қисық Әдебиеттер: Дәріс 10 -11. Ретін төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер Сағат саны: 1 Көп жағдайларда п -ретті дифференциалдық теңдеулерді жаңа белгісіз функциялар көмегімен реті төмендетілген дифференциялдық теңдеулерге келтіруге болады. Осындай теңдеулердің кейбір түрлерін қарастырамыз. а) у" = f{x) теңдеуінің жалпы шешімі, оны п-рет тікелей интегралдау арқылы алынады: Мысалы, yw =sin х теңдеуінің жалпы шешімін, оны төрт рет интегралдау арқылы табады. Мұндағы ерікті тұрақтыларды өзгертіп белгілеп, аламыз. б) Ізделінетін функция мен оның (к- 1) -ретке дейінгі туындылары теңдеуде айқын түрде болмайтын түріндегі теңдеулердің ретін у=р(х) алмастыруы арқылы к бірлікке төмендетуге болады: Егер соңғы алынған тендеудің жалпы шешімі болса, онда , яғни а) түрдегі к-рет тікелей интегралдау арқылы шешілетін теңдеуге келеміз. Мысал. теңдеуінің бастапқы шарттарды қанағаттандыратын шешімін табу керек. Берілген теңдеуде у пен айқын түрде қатыспаған. деп алсақ, берілген теңдеу түріне ие болады. Бұл - бірінші ретті сызықтық теңдеу. Оны, мысалы, Бернулли әдісімен шешіп, түріндегі жалпы шешімін аламыз. Бұл шешімнен бастапқы шартын пайдалансақ, -1= -1+С1 , С1=0 шығады. Осы мәнді орнына қойсақ , яғни а) түріндегі теңдеуді аламыз. Алынған теңдеуді тікелей интегралдасақ ,ал бұл шешімге шартын пайдалансақ С2 = 0. Тұрақтының осы мәнін орнына қойып аламыз да оны тағы бір рет интегралдасақ Осы шешімге бастапқы шарттың теңдігін пайдаланып С3 = 1 аламыз. Сонымен, ізделінген дербес шешім түріндегі гипербола екен. в) Тәуелсіз айнымал айқын түрде қатыспайтын теңдеуі алмастыруы арқылы реті бірге төмендетілген теңдеуге келеді. Бұл алмастыру үшін т.c.c. теңдіктер орындалады. Мысал. теңдеуін шешу керек. алмастыруын пайдалансақ аламыз. Алынған теңдеуді шешейік. Мұндағы екінші теңдеуден немесе оны р = 0 түріндегі бірінші теңдеумен біріктіріп (ол үшін шартын алып тастаймыз) ал бұдан аламыз. г) Егер (1) теңдеуінің сол жағы айнымалдарына қатысты т-дәрежелі біртекті функция болса, яғни теңдігі орындалса, онда бұл теңдеудің ретін y' = yz, у=0, түрінде жаңа функция енгізу арқылы төмендетуге болады. Мысал. теңдеуін шешу керек. Бұл теңдеу айнымалдарына қатысты 2 дәрежелі біртекті. y=0 түзуі берілген теңдеудің шешімі болатыны көрініп тұр. Біз деп ұйғарып келесі амалдарды орындаймыз Осы туындыларды берілген теңдеуге қойсақ ал бұдан екенін ескерсек сызықты теңдеуін аламыз. Ал, бұл теңдеудің сол жағы түрінде жазылатынын байқасақ болады. Соңғы теңдеуден аламыз. Енді бұған немесе теңдігін пайдаланып, оны интегралдаймыз: , Бұрынғы у=0 шешімді, осы жалпы шешім құрамында жазу үшін шартын алып тастаса болғаны. Сонымен, берілген теңдеу шешімі Әдебиеттер: Дәріс 12. Тұрақтыларды вариациалау әдісі (Лагранж әдісі) Сағат саны: 1 Тұрақты коэффициентті сызықты жоғарғы ретті біртекті дифференциалдық теңдеулер. Мақсаты Біртекті тұрақты дифференциалдық теңдеулерді шеше білуге үйрету. Характеристикалық теңдеудің әртүрлі шешімдері болған жағдайларда есептерді шешуге үйрету. Коэффициенттері тұрақты жоғарғы ретті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеулер . Сызықты бipтекті pi коэффициенттері тұрақты сандар болатын , (1) түріндегі п -шi peтті дифференциалдық теңдеу берілсін. Бұл теңдеудің дербес шешімдерін у = еkx, k-тұрақты сан, түрінде іздейміз. Онда , , болады. Бұл мәндерді (1)-теңдеуге қойып теңдігін аламыз. Бұдан еkx ≠ 0 болғандықтан (2) шығады. Егер k саны осы алгебралық теңдеудің түбірі болса, онда у = еkx - (1)-дифференциалдық теңдеудің шешімі және керісінше у = еkx -(1)-дифференциалдық теңдеудің шешімі болса, онда k-саны (2)-алгебралық теңдеудің түбірі болатынын көреміз. (2)-алгебралық теңдеу (1)-теңдеуді сипаттаушы теңдеу деп аталады. Сипаттаушы тендеуді алу үшін (1)-дифференциалдық теңдеудегі y(i)- туындыларын сәйкес ki-дәрежелерімен алмастырса болғаны (у ≡ у(0) деп есептелгендіктен y-тi k0=1-ге алмастырады). Kepiciнше (2)-сипаттаушы теңдеу бойынша (1)-біртекті дифференциалдық теңдеуді тұрғызуға болады. (2)-алгебралық теңдеудің түбірлерінің саны еселігімен қоса алғанда n-ге (теңдеудің үлкен дәреже көрсеткішіне) тең екенін білеміз. 1°. Сипаттаушы теңдеудің k1,k2,...,kn түбірлері әр түрлі (өзара тең емес) сандар болсын. Онда келесі n-функциясының: (3) әpбipeyi (1)дифференциалдық, теңдеудің дербес шешімі және (3)-функциялары (-∞;+∞) аралығында сызықты тәуелсіз болады, олай болса олар (1)-біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің іргелі жүйесін құрады. Бұл жағдайда (1)-дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін келесі түрде жазылады Егер рi -коэффициенттері нақты сандар болып (2)-сипаттаушы теңдеудің түбірлерінің ішінде қандай да бip түбір ki комплекс сан болса: ki=α+iβ, онда қалған түбірлердің ішінде оған түйіндес ks=α-iβ комплекс түбip болуы тиіс. -түбіріне -функциясы сәйкес келеді және ол (2) теңдеуінің шешімі болады. Эйлер көрсеткендей комплекс функцияның нақты бөлігі мен жорамал бөлігін бөліп жазайық: , . Лемма: Егер - функциясы нақты айнымалы комплекс функциясы болса, мұндағы -нақты функциялар және қанағаттандырса, онда функциялары да теңдеуін қанағаттандырады. Осы лемманың негізінде функциялары да (1) теңдеуді қанағаттандырады. Сонда түбіріне екі шешім сәйкес келіп тұр, ал ks-түбірі жаңа шешім тудырмайды. Бұл функциялар жүйесі (-∞;∞) аралығында сызықты тәуелсіз болатынын дәлелдеуге болады. 2°. Сипаттаушы теңдеудің түбірлері әр түрлі емес, олардың арасында өзара тең түбірлері бар болсын: айталық k1 -түбipi m-еселі болсын. Онда бұларға сәйкес функциялар болады да (6.1)-жүйе сызықты тәуелсіз бола алмайды. Бұл жағдайда функцияларын сәйкес (4) функцияларымен алмастырамыз. (4)-функциялардың әpбipeyi (1)-дифференциалдық теңдеудің шешімі және барлық еселі түбірлері осылай етіп алмастырып алынған (4)-жүйе сызықты тәуелсіз болатынын дәлелдеуге болады. №1 мысал-есеп: теңдеуінің жалпы шешімін табу керек. Шешуі: Бұл теңдеудің шешімдерін түрінде іздейміз. Осы шешімнің k мәндерін табу үшін оның үшінші реттіге дейінгі туындыларын тауып дифференциалдық теңдеуге апарып қоямыз. Сонда теңдеуін болғандықтан , бөлеміз. Алынған характеристикалық теңдеудің , k түбірлерін табамыз. Бұл теңдеудің мәндері әр түрлі және нақты болғандықтан жалпы шешім түрінде болады. №2 мысал-есеп: теңдеуінің жалпы шешімін табу керек. Шешуі: Бұл дифференциалдық теңдеудің характеристикалық теңдеуі: . Характеристикалық теңдеудің түбірлері түйіндес комплекс санға тең. . О.б. жалпы шешім түрінде болады. №3 мысал-есеп: жалпы шешімін табу керек. Шешуі: Бұл теңдеудің характеристикалық теңдеуі . Бұдан . Характеристикалық теңдеудің түбірлерінің ішінде еселі түбірлер бар. Олай болса теориялық материал бойынша жалпы шешім: . Бақылау сұрақтары: 1. Тұрақты коэффициентті дифференциалдық теңдеу дегеніміз не? 2. Характеристикалық теңдеу дегеніміз не? 3. Коши есебін қалай шешеміз? 4. Біртекті емес тұрақты коэффициентті дифференциалдық теңдеуді қалай шешеміз? 5. Әртүрлі түбірлер болған жағдайда шешім қалайша жазылады? .
Дәріс 13. Біртекті емес сызықтық ші ретті дифференциалдық теңдеу
мұндағы асты сызылған қосылғыштарға (5) шартты қолдандық. Бұл үш туындыны және (4) функцияны (3) теңдеуге қоямыз және алынған қосылғыштарды сәйкес функцияларының туындыларына қатысты жеке-жеке топтаймыз. Ал функцияларының оң жақ бөлігін (3) теңдеуге қою үшін алдын-ала оларды сәйкес 1 коэффициенттеріне көбейтіп аламыз: Ал функцияларының (2) біртекті теңдеуінің шешімдері, яғни болатынын ескеріп, соңғы теңдіктен (6) үшінші теңдеуді аламыз. Сонымен, белгісіздеріне қатысты (7) үш сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін алдық. Бұл жүйенің анықтауышы сызықты тәуелсіз функцияларының Вронскианы, сондықтан ол нөлге тең емес. Демек, ( Кронекер-Капелли теоремасы) (7) жүйесінің белгісіздеріне қатысты жалғыз шешімі бар: . Мұндағы функциялары аралығында үзіліссіз болғандықтан Дербес шешім үшін деп алсақ болғаны. Бұл табылған функцияларды (4) теңдікке қойып (3) біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін аламыз. Ескерту. n-ші ретті (1) дифференциалдық теңдеу үшін (4) және (7) қатыстар сәйкес келесі түрде жазылады: ; Мысал. Егер біртекті дифференциалдық теңдеудің фундаментальды шешімдер жүйесі болса, онда біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі қандай? Біртекті теңдеудің жалпы шешімі (8) түрінде жазылады. Енді біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін (8) теңдіктегі тұрақтыларын вариациялау арқылы табамыз. Екінші n=2 ретті дифференциалдық теңдеу үшін (7) жүйенің жалпы түрін жазып алайық Мұндағы орнына, сәйкес ал орнына олардың туындысын қойып жүйесін аламыз. Бастапқы теңдеу үшін берілгендіктен соңғы жүйе келесі жүйеге пара-пар Бұл жүйені Крамер ережесі бойынша шешейік ( ол үшін қандай шарт орындалуы тиіс еді?): Бұларды интегралдап аламыз. Сонымен біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі ал оның жалпы шешімі Назарыңызға. функцияларын тұрақтыларымен бірге (8) теңдікке қойып, біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін бірден алуға болар еді. Осылай алынған жалпы шешім мен қосындысынан алынған жалпы шешім бірдей болатынына көз жеткізіңіз. Әдебиеттер: Дәріс 14. Коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті n-ші ретті дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімі Сағат саны: 1 Біз жоғарыда, егер біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімдерінің фүндаменталды жүйесі ( демек, жалпы шешімі) белгілі болса, онда біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін Лагранж әдісі арқылы табуға болатынын көрдік( мұнда біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің фундаменталды жүйесі белгілі деп есептеп келгенімізге тағы да назарыңызды аударамыз).Бірақ біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің фундаменталды жүйесін табудың жалпы жалпы жағдайда белгілі бір әдісі жоқ. Тек дербес жағдайларда, дифференциалдық теңдеудің кщэффициенттері тұрақты сандар болғанда , біртекті теңдеудің шешімдерінің іргелі жүйесін табу әдісі бар. Енді осы жағдайды қарастырамыз. Сонымен, коэффициенттері тұрақты сандар болатын сызықтық біртекті , (1) түріндегі n-ші ретті дифференцилдық теңдеу берілсін. Бұл теңдеудің дербес шешімдерін -тұрақты сан түрінде іздейміз. Бұл функцияны және оның туындыларын: (1) теңдеуге қойып, аламыз. Бұдан болғандықтан (2) шығады . Егер саны алгебралық теңдеудің түбірі болса , онда функциясы (1) дифференциалдық теңдеудің шешімі және керісінше функциясы (1) дифференциалдық теңдеудің шешімі болса, онда саны (2) алгебралық теңдеудің түбірі болатынын көреміз. (2) алгебралық теңдеу, (1) теңдеуді сипаттаушы теңдеу деп аталады. Сипаттаушы теңдеуді алу үшін (1( дифференциалдық теңдеудегі туындыларын,сәйкес дәрежелерімен алмастырса болғаны ( деп есептелгендіктен -ті -ге алмастырады). Керісінше , (2) сиппаттаушы теңдеу бойынша (1) біртекті дифференциалдық теңдеуді тұрғызуға болады. (2) алгебралық теңдеудің түбірлерінің саны еселігімен қоса алғанда -ге ( теңдеудің үлкен дәреже көрсеткішіне) тең болғандықтан (7.2.1 п. Қараңыз) дербес шешімінің жалпы саны еселігімен қоса алғанда тең болады. Сипаттаушы (2) теңдеудің түбірлері, әртүрлі ( өзара тең емес) сандар болсын. Онда (3) функцияларының әрбіреуі (1) дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі және (3) функциялар интервалында сызықты тәуелсіз (10.7.2. п. 2-мысал) болады, олай болса олар(1) біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің фундаменталды жүйесін құрайды. Сондықтан, бұл жағдайда (1) дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі (4) Түрінде жазылады. 1-мысал. теңдеудің жалпы шешімін табу керек. Берілген теңдеудің сипаттаушы теңдеуін шешейік: Бұлар өзара тең емес, әртүрлі түбірлер болғандықтан функциялары берілген дифференциалдық теңдеудің фундаменталды шешімдер жүйесін құрайды. Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі Ескеру. Егер коэффициенттері нақты сандар болып (2) сипаттаушы теңдеудің түбірлерінің ішінде қандайда бір түбір комплекс сан болса: , онда қалған түбірлердің ішінде оған түйіндес комплекс түбірі болуы тиіс. Онда бұл түбірлерге сәйкес келетін функциялары да және бұл екеуінің кез келген сызықтық комбинациясы мысалы, (5) және (6) Функциялары да осы (1) дифференциалдық теңдеудің шешімі (10.7.1.п. 1-теорема) . Түрлерін осылай етіп өзгертіп алған функциялар жүйесі интервалында сызықтық тәуелсіз болатынын дәлелдеуге болады. Нақты функциялар болғандықтан көбінесе функцияларын (5) пен (6) нақты фүнкцияларына алмастырып отырады. 2-мысал. теңдеуін шешу керек. Сипаттаушы теңдеуді құрамыз және оны шешеміз. Олай болса, функциялары берілген дифференциалдық теңдеудің фундаменталды шешімдер жүйесі. Егер мен функцияларын сәйкес функцияларымен алмастырсақ, жалпы шешімді келесі түрде жаза аламыз Сипаттаушы теңдеудің түбірлері әртүрлі емес, олардың арасында өзара тең түбірлері бар болсын: айталық, түбірі еселі болсын. Онда бұларға сәйкес функциялар болады да (3) жүйе сызықтық тәуелсіз бола алмайды. Сондықтан, бұл жағдайда функцияларына сәйкес (7) Функцияларымен алмастырады. (7) функциялардың әрбіреуі (1) дифференциалдық теңдеудің шешімі және барлық еселі түбірлері осылай етіп алмастырып алынған (3) жүйе сызықтық тәуелсіз болатынын дәлелдеуге болады. 3-мысал. теңдеуін шешу керек. Сипаттаушы теңдеудің төрт түбірі бар: және олар қос-қостан еселі. Сондықтан функцияларын (7) функцияларымен алмастырсақ аламыз. Әдебиеттер: Дәріс 15. Оң жағы арнайы түрде берілген коэффициенттері түрақты сызықтық біртекті емес теңдеулердің дербес шешімі.
Енді берілген біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін (3) функцияға сәйкес жазамыз = х2(Ах2+Вх + С) = Ах4 + Вхг +Сх2. (4) Бұл функцияның у",у" туындыларын тауып, оларды берілген дифференциалдық теңдеуге қоямыз. у' = 4Ах3 + 3Вх2 + 2Сх, у" = 12Ах2+6Вх + 2С, у"=24Ax+6B 24Ах + 6В - 12Ах2 - 6Вх - 2С = 12х2 + 6х, -12Ах2 + (24А - 6В)х + (6В - 2С) = \2х2 + 6х. Теңдіктің екі жақ бөлігіндегі ұқсас мүшелер коэффициенттерін теңестіреміз де алынған жүйені шешеміз. Бұл мәндерді (4) теңдікке қойып, аламыз. Берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі 2-мысал. у" +10у' + 25у = 4е~5х теңдеуін шешу керек. Сипаттаушы теңдеу — к2 + 10к + 25 = 0, ал оның түбірлері к1 —к2=- 5. у" +1Оу + 25у = 0 біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі Бақылау саны: a + ib= - 5 + 0 *i =-5 сипаттаушы теңдеудің екі еселі түбірі, демек, r = 2. Сонымен бірге s = 0 болғандықтан көпмүшелік нөлінші дәрежелі, оны A - деп алуға болады. Онда (3) функцияға сәйкес дербес шешім у — х2-А-е~5х түріне ие болады. Оның туындыларын табайық. = А(2хе-5х-5х2е-5х) = А(2х - 5х2)е'5х; Одан соң өрнектерін сәйкес 25, 10, 1 сандарына көбейтіп, алынған нәтижелерді қосамыз және -ке теңестіреміз Олай болса Ал берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі y=y 3-мысал. у"+ 3у'+ 2у = xsinx теңдеуінің дербес шешімінің түрін жазу керек (көпмүшеліктің коэффициенттерін табудың қажеті жоқ). Сипаттаушы теңдеу к2 + 3к + 2 = 0, ал оның түбірлері к2=-2. Бақылау саны: a + ib = 0 + l-i=i сипаттаушы теңдеу түбірі емес, демек, r= 0 және S=1 - екені түсінікті. Олай болса берілген біртекті емес дифференциаддық теңдеудің шешімі түрде жазылады. Назар аударыңыз. Егер біртекті емес дифференциалдық тендеудің оң жақ бөлігінің, яғни (1) түрдегі f(x) функциясының құрамында косинус пен синус функцияларының ең болмағанда біреуі қатысып тұрса, онда (3) түрде ізделінетін дербес шешім құрамында косинус пен синустың екеуі де жазылуы керек. Кейбір жағдайларда біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеудің оң жағы әртурлі формадагы функциялардың қосындысы болып келуі мүмкін: Онда шешімдер суперпозициясының принципі деп аталатын келесі әдіс қолданылады. Егер теңдеулерінің шешімдері сәйкес у1{х) және у2(х), яғни болса, онда қосындысы (5) тендеудің шешімі болады. Шынында да, 4-мысал. Келесі теңдеуді шешу керек: у"-2у' + 5у = 3ех +extg2x. (6) Алдымен біртекгі у" — 2у' + 5у = 0 теңдеуінің жалпы шешімін табайық. олай болса у0 = С, • ех cos2x + C2-ex sin2х. , Енді біртекгі емес (6) (7) теңдеулердің дербес шешімдерін жеке-жеке іздейміз. (6) теңдеудегі функция (1) арнайы берілген түрге жатады. Мұнда бақылау саны a+bi=1+i*0=1 сипаттаушы теңдеудің түбірі емес, яғни r= 0. Олай болса (6) теңдеудің дербес шешімін (3) сәйкес түрінде іздейміз. Сонда бұдан A=3/4; Сонымен Ал (7) теңдеудегі функциясы (1) арнайы түрге келмейді. Сондықтан (7) теңдеудің дербес шешімін Лагранж әдісі арқылы іздейміз. жүктеу/скачать 37,72 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|