Хуштова фатима гидовна краевые задачи для дифференциальных уравнений с оператором бесселя и частными



Pdf көрінісі
бет3/5
Дата15.05.2020
өлшемі0.6 Mb.
түріДиссертация
1   2   3   4   5

Глава 1
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
џ 1.1. Некоторые специальные функции
Гамма-функция. Гамма-функцией или эйлеровским интегралом вто-
рого рода называется функция ?(s), определяемая равенством [1, с. 15], [26,
с. 8], [28, с. 11]
?(s) =
?
Z
0
e
?t
t
s?1
dt,
Re s > 0.
(1.1.1)
Функция ?(s) аналитична в комплексной плоскости s всюду, кроме точек
s = ?n, n = 0, 1, 2, ...,
в которых имеет полюсы первого порядка с вычетами
(?1)
n
/n!, n = 0, 1, 2, ...
Имеют место формулы
?(s + n) = (s)
n
?(s),
(1.1.2)
?(s + 1 ? n) =
(?1)
n
?(s + 1)
(?s)
n
,
(1.1.3)
где n = 0, 1, 2, ..., (s)
n
 так называемый символ Похгаммера, определяемый
равенствами
(s)
n
= s(s + 1)(s + 2)...(s + n ? 1),
(s)
0
= 1.
(1.1.4)
Бета-функция. Бета-функцией или эйлеровским интегралом первого
рода называется функция B(?, ?), определяемая равенством [1, с. 23], [26,
с. 5], [28, с. 25]
B(?, ?) =
1
Z
0
t
??1
(1 ? t)
??1
dt,
Re ? > 0, Re ? > 0,


24
и связана с гамма-функцией формулой
B(?, ?) =
?(?)?(?)
?(? + ?)
.
(1.1.5)
Функции Бесселя. Функция J
?
(z),
определяемая рядом [2], [26, с. 95],
[28, с. 127]
J
?
(z) =
?
X
k=0
(?1)
k
k! ?(? + k + 1)
 z
2

?+2k
,
(1.1.6)
называется цилиндрической или бесселевой функцией первого рода порядка ?.
При |z| ? 0 функция J
?
(z)
имеет следующее поведение
J
?
(z) ?
1
?(? + 1)
 z
2

?
.
(1.1.7)
При |z| ? ? для функции J
?
(z)
справедливо асимптотическое представ-
ление
J
?
(z) =
r
2
?z
cos

z ?
??
2
?
?
4

+ O(|z|
?
3
2
).
(1.1.8)
Имеют место формулы дифференцирования
d
dz
[z
??
J
?
(z)] = ?z
??
J
?+1
(z),
d
dz
[z
?
J
?
(z)] = z
?
J
??1
(z),
(1.1.9)
и рекуррентные формулы
? J
?
(z) ? z J
0
?
(z) = z J
?+1
(z), ? J
?
(z) + z J
0
?
(z) = z J
??1
(z),
(1.1.10)
z [J
??1
(z) + J
?+1
(z)] = 2? J
?
(z).
(1.1.11)
Функция Бесселя порядка, равного половине целого нечетного числа, вы-
ражается через элементарные функции, в частности
J
1
2
(z) =
r
2
?z
sin z, J
?
1
2
(z) =
r
2
?z
cos z,
(1.1.12)


25
J
3
2
(z) =
r
2
?z
 sin z
z
? cos z

.
(1.1.13)
Имеет место равенство [39, с. 690]
?
X
m=1
J
?
(?
m
z)
?
m
J
1+?
(?
m
)
=
z
?
2
,
0 6 z < 1,
(1.1.14)
где ?
m
 положительные корни уравнения J
?
(?) = 0.
Докажем следующее равенство
2
2??
?(?)
?
X
m=1
J
?
(?
m
z)
?
2??
m
J
2
1+?
(?
m
)
= z
??
? z
?
,
0 < z 6 1,
(1.1.15)
где ?
m
 как и в (1.1.14), положительные корни уравнения J
?
(?) = 0.
Разложим функцию f(z) = z
??
? z
?
,
заданную в интервале (0; 1), в ряд
ФурьеБесселя [28, с. 163]
f (z) =
?
X
m=1
c
m
J
?
(?
m
z) ,
(1.1.16)
где ? > ?1/2, коэффициенты c
m
вычисляются по формуле
c
m
=
2
J
2
1+?
(?
m
)
1
Z
0
zJ
?
(?
m
z) f (z) dz, m = 1, 2, ...
(1.1.17)
Условия, обеспечивающие сходимость ряда (1.1.16) к рассматриваемой функ-
ции f(z), будут выполнены, если ?1/2 < ? < 3/2 [28, с. 165].
Подставляя функцию f(z) = z
??
? z
?
в (1.1.17) и вычисляя полученный
интеграл с помощью формул (1.1.9) и учитывая при этом (1.1.7), получим
1
Z
0
z
1??
? z
1+?
 J
?
(?
m
z) dz = ?
1
?
m
[J
??1
(?
m
) + J
?+1
(?
m
)] +
?
??2
m
2
??1
?(?)
.


26
Тогда из (1.1.17), используя (1.1.11) и условие J
?
(?
m
) = 0, m = 1, 2, ...,
будем
иметь
c
m
=
2
2??
?(?)
?
??2
m
J
2
1+?
(?
m
)
.
Подставляя найденные коэффициенты c
m
в (1.1.16), приходим к (1.1.15).
Функция I
?
(z),
определяемая рядом
I
?
(z) =
?
X
k=0
1
k! ?( ? + k + 1)
 z
2

?+2k
,
(1.1.18)
называется модифицированной цилиндрической или бесселевой функцией
первого рода порядка ? [26, с. 129], [28, с. 139].
При |z| ? 0 функция I
?
(z)
имеет следующее поведение
I
?
(z) ?
1
?(? + 1)
 z
2

?
.
(1.1.19)
При |z| ? ? справедлива асимптотическая формула
I
?
(z) =
e
z
?
2?z
 1 + O |z|
?1
 .
(1.1.20)
Имеют место следующие формулы дифференцирования
d
dz
[z
?
I
?
(z)] = z
?
I
??1
(z),
(1.1.21)
d
dz
z
??
I
?
(z)
 = z
??
I
?+1
(z),
(1.1.22)
и рекуррентные формулы
z I
0
?
(z) + ? I
?
(z) = z I
??1
(z),
(1.1.23)
z I
0
?
(z) ? ? I
?
(z) = z I
?+1
(z).
(1.1.24)


27
Справедлива формула [39, с. 306]
?
Z
0
?
??1
e
? p ?
2
I
?
(c ?) d? =
c
?
p
?
?+?
2
?
?+?
2

2
1+?
?( 1 + ?)
1
F
1
 ? + ?
2
; 1 + ?;
c
2
4p

,
(1.1.25)
где
1
F
1
(a; b; z)
 вырожденная гипергеометрическая функция [28].
В частности,
?
Z
0
?
1+?
e
? p ?
2
I
?
(c ?) d? =
c
?
e
c2
4p
(2p)
1+?
.
(1.1.26)
Модифицированная цилиндрическая функция I
?
(z)
порядков ? = 1/2 и
? = ?1/2
выражается через элементарные функции
I
1
2
(z) =
e
z
? e
?z
?
2?z
,
I
?
1
2
(z) =
e
z
+ e
?z
?
2?z
.
(1.1.27)
Функция K
?
(z)
, определяемая формулой
K
?
(z) =
?
2
I
??
(z) ? I
?
(z)
sin ??
, ? 6= 0, ±1, ±2, ...,
(1.1.28)
называется модифицированной цилиндрической или бесселевой функцией
второго рода порядка ?, или функцией Макдональда [26, с. 131]. Функция
K
?
(z)
при целом ? = n определяется формулой
K
n
(z) = lim
??n
K
?
(z), n = 0, ±1, ±2, ...
При |z| ? ? справедлива асимптотическая формула
K
?
(z) =
r ?
2z
e
?z
 1 + O(|z|
?1
)
 .
(1.1.29)
Для функции K
?
(z)
имеют место следующие формулы дифференцирова-
ния
d
dz
[z
?
K
?
(z)] = ?z
?
K
??1
(z),
(1.1.30)


28
d
dz
z
??
K
?
(z)
 = ?z
??
K
?+1
(z).
(1.1.31)
Функция Райта. Функция ? (?, ?; z), определяемая рядом [47], [80]
? (?, ?; z) =
?
X
n=0
z
n
n! ?( ? n + ? )
, ? > ?1,
(1.1.32)
называется функцией Райта.
Для любого ? ? R справедлива формула [47, с. 28]
d
dz
?(??, ?; z) = ?(??, ? ? ?; z).
(1.1.33)
Имеет место неравенство [47, с. 29]
x
µ?1
y
??1
?

??, ?; ?
x
?
y
?

6 Cx
µ????1
y
?+???1
,
? ? [0, 1],
(1.1.34)
где константа C не зависит от x, y и ?.
Если ? > 1, то для любого положительного x справедливо неравенство [47,
с. 47]
? (??, ?; ?x) 6
1
? (?)
exp
h
?(1 ? ?) ?
?
1??
x
1
1??
i
.
(1.1.35)
Если ? < 1, то для любых положительных x и y, a ? (0; x), ? ? (1/2; ?
0
),
?
0
= min{1, 1/(2?)},
справедливы неравенства [47, с. 49]
y
??1
?

??, ?; ?
x
y
?

6
? ((1 ? ?)/?)
? ? [aC
?
(?, ?)]
(1??)/?
?

??, 1; ?
x ? a
y
?

,
(1.1.36)
y
??1
?

??, ?; ?
x
y
?

6
? ((1 ? ?)/?)
? ? [xC
?
(?, ?)]
(1??)/?
,
(1.1.37)
y
??1
?

??, ?; ?
x
y
?

6
? (1 ? ?)
? [yC
?
(1, ?)]
1??
,
(1.1.38)
где C
?
(?, ?) =
cos ???
??
, C
?
(1, ?) = ?
cos ??
?
.
При ? = ?1/2 и ? = 1/2 функция ? (?, ?; z) выражается через экспонен-


29
циальную функцию по формуле [47, с. 88]
?
? ?

?
1
2
,
1
2
; ?z

= e
?
z2
4
.
(1.1.39)
Функция типа Миттаг-Леффлера. Функцией типа Миттаг-
Леффлера называется функция, определяемая степенным рядом [12, с. 117]
E
1
?
(z; µ) =
?
X
k=0
z
k
?(µ + k?)
, ? > 0.
(1.1.40)
Справедлива формула
E
1
?
(z; µ) =
1
?(µ)
+ zE
1
?
(z; µ + ?).
(1.1.41)
При |z| ? ? и ? > 1/2 имеет место асимптотическое представление
функции типа Миттаг-Леффлера
E
1
?
(z; µ) =
1
?
z
(1?µ)/?
e
z
1/?
?
n
X
k=1
z
?k
?(µ ? k/?)
+ O(|z|
?n?1
), | arg z| 6 ?,
E
1
?
(z; µ) = ?
n
X
k=1
z
?k
?(µ ? k/?)
+ O(|z|
?n?1
), ? 6 | arg z| 6 ?,
(1.1.42)
где ?  любое вещественное число, удовлетворяющее условию
?
2?
< ? <
min
n
?,
?
?
o
.
При ? = µ = 1 функция типа Миттаг-Леффлера совпадает с экспонентой
E
1
(?z; 1) = e
?z
.
(1.1.43)


30
Специальный случай функции Фокса. Пусть 0 < ? 6 2, µ, ? и
r ? C, Re (? + r)/2 /
? Z. Обозначим
J
?, µ, ?
r
(z) = H
2, 1
2, 3
?
?
z
2
4
1 ? ?/2, 1
, µ ? ? ?/2, ? 
r/2, 1
, 1 ? ?/2, 1 , ? r/2, 1 
?
?
,
(1.1.44)
где H
2,1
2,3
[...]
 H-функция Фокса [40, с. 528], [84, с. 1], [92, с. 2].
Приведјм здесь некоторые свойства функции (1.1.44), которые понадобят-
ся далее в работе. Нижеследующие свойства 1-3 будут следовать из известных
свойств H-функции [40, с. 528, 529], [84, с. 1-6], [92, с. 2, 19], свойства 4 и 5
докажем самостоятельно.
1. Имеет место интегральное представление
J
?, µ, ?
r
(z) =
1
2?i
Z
L
i?
?(s)

z
2

?2s
ds, z ? C,
(1.1.45)
где L
i?
= (? ? i?, ? + i?),
?
1
< ? < ?
2
,
?
1
= ? min {
Re r/2, 1 ? Re ?/2 }, ?
2
=
Re ?/2,
(1.1.46)
?(s) =
? (r/2 + s) ? (1 ? ?/2 + s) ? (?/2 ? s)
? (µ ? ? ?/2 + ? s) ? (1 + r/2 ? s)
.
(1.1.47)
Интеграл (1.1.45) абсолютно сходится, если:
? < 2, 0 6 | arg z| < ? (1 ? ?/2) /2, z 6= 0,
? = 2, arg z = 0,
Re (µ ? ?) > 1/2, z 6= 0,
? < 2, 0 6 | arg z| = ? (1 ? ?/2) /2, Re µ ? ? Re ?/2 > (2 ? ?) ? + 1/2, z 6= 0.


31
2. Пусть ? < 2, 0 < |z| < ? или ? = 2, 0 < |z| < 1. Тогда
J
?, µ, ?
r
(z) =
?
X
k=0
a
k

z
2

r+2k
+
?
X
k=0
b
k

z
2

2??+2k
,
(1.1.48)
где
a
k
=
(?1)
k
k!
? 1 ? (? + r)/2 ? k
 ? (? + r)/2 + k
? µ ? ? (? + r)/2 ? ? k
 ? 1 + r + k
,
(1.1.49)
b
k
=
(?1)
k
? (? + r)/2 ? 1 ? k

? µ ? ? ? ? k
 ? 2 ? (? ? r)/2 + k
.
(1.1.50)
3. Пусть ? 6 2. Тогда имеет место асимптотическое разложение
J
?, µ, ?
r
(z) = a
0

z
2

r
+ b
0

z
2

2??
+ o z
?
 , z ? 0,
(1.1.51)
где a
0
и b
0
определяются из (1.1.49) и (1.1.50) при k = 0; ? = min { Re r, 2 ?
Re ?}.
Пусть ? 6 2, причем 0 6 | arg z| < ?(1 ? ?/2)/2, если ? < 2. Тогда
J
?, µ, ?
r
(z) = c
0

z
2

??
+ o z
??
 , z ? ?,
(1.1.52)
где
c
0
=
? (? + r)/2

?(µ) ? 1 ? (? ? r)/2
 .
4. Справедливы следующие формулы дифференцирования:
d
n
(z dz)
n
 J
?, µ, ?
r
(z)
z
r

= (?1)
n
J
?, µ, ?+n
r+n
(z)
z
r+n
,
(1.1.53)
d
n
(z dz)
n
[z
r
J
?, µ, ?
r
(z)] = z
r?n
J
?, µ, ?+n
r?n
(z),
(1.1.54)
n = 0, 1, 2, ...


32
Действительно, положив z
2
= t,
продифференцируем n раз по t равенство
t
?r/2
J
?, µ, ?
r
(
?
t ) =
t
?r/2
2?i
Z
L
i?
?(s)

?
t
2

?2s
ds.
В результате получим
d
n
dt
n
h
t
?r/2
J
?, µ, ?
r
(
?
t )
i
=
(?1)
n
t
?r/2?n
2?i
Z
L
i?
?(s) r/2 + s

n

?
t
2

?2s
ds,
где (s)
n
определяется из (1.1.4). Воспользовавшись далее формулой (1.1.2) и
учитывая представление (1.1.47), получаем
d
n
d (z
2
)
n
 J
?, µ, ?
r
(z)
z
r

=
(?1)
n
2
n
J
?, µ, ?+n
r+n
(z)
z
r+n
,
откуда и следует (1.1.53).
Продифференцировав теперь n раз по t равенство
t
r/2
J
?, µ, ?
r
(
?
t ) =
t
r/2
2?i
Z
L
i?
?(s)

?
t
2

?2s
ds,
получим
d
n
dt
n
h
t
r/2
J
?, µ, ?
r
(
?
t )
i
=
(?1)
n
t
r/2?n
2?i
Z
L
i?
?(s) (?r/2 + s)
n

?
t
2

?2s
ds.
Тогда из формулы (1.1.3) и представления (1.1.47), будем иметь
d
n
d (z
2
)
n
[z
r
J
?, µ, ?
r
(z)] =
z
r?n
2
n
J
?, µ, ?+n
r?n
(z),
откуда следует (1.1.54).


33
Полагая в (1.1.53) и (1.1.54) n = 1, получим формулы
d
dz
 J
?, µ, ?
r
(z)
z
r

= ?
J
?, µ, ?+1
r+1
(z)
z
r
,
(1.1.55)
d
dz
[z
r
J
?, µ, ?
r
(z)] = z
r
J
?, µ, ?+1
r?1
(z).
(1.1.56)
5. Имеет место формула автотрансформации
J
?, µ, ?+2n
r
(z) = (?1)
n
J
?, µ?n?, ?
r
(z), n = 0, 1, 2, ...
(1.1.57)
Из интегрального представления (1.1.45) имеем
J
?, µ, ?+2n
r
(z) =
=
1
2?i
Z
L
i?
? (r/2 + s) ? (1 ? (? + q)/2 + s ? n) ? ((? + q)/2 ? s + n)
? (µ ? n? ? ? (? + q)/2 + ? s) ? (1 + r/2 ? s)
 z
2

?2s
ds.
Воспользовавшись далее формулами (1.1.2) и (1.1.3), получим
J
?, µ, ?+2n
r
(z) =
=
(?1)
n
2?i
Z
L
i?
? (r/2 + s) ? (1 ? ?/2 + s) ? (?/2 ? s)
? (µ ? n? ? ? ?/2 + ? s) ? (1 + r/2 ? s)
 z
2

?2s
ds,
что и доказывает равенство (1.1.57).
6. Справедливо представление

z
2

r
J
?, µ+?, 2+r
r
(z) = H
2, 0
1, 2
?
?
z
2
4
µ, ?

r, 1
, 0, 1 
?
?
.
(1.1.58)


34
Действительно, согласно представлению (1.1.44), можно записать
J
?, µ+?, 2+r
r
(z) = H
2, 1
2, 3
?
?
z
2
4
? r/2, 1
, µ ? r/2, ? 
r/2, 1
,
? r/2, 1
,
? r/2, 1

?
?
.
Воспользовавшись формулой [40, с. 529]
H
m, n
p, q
?
?
z
[a
p
, A
p
]
[b
q?1
, B
q?1
], (a
1
, A
1
)
?
?
= H
m, n?1
p?1, q?1
?
?
z
(a
2
, A
2
), ..., (a
p
, A
p
)
[b
q?1
, B
q?1
]
?
?
,
будем иметь
J
?, µ+?, 2+r
r
(z) = H
2, 0
1, 2
?
?
z
2
4
µ ? r/2, ?

r/2, 1
,
? r/2, 1

?
?
.
Применяя теперь к последнему равенству формулу [40, с. 529]
z
h
H
m, n
p, q
?
?
z
[a
p
, A
p
]
[b
q
, B
q
]
?
?
= H
m, n
p, q
?
?
z
[a
p
+ h A
p
, A
p
]
[b
q
+ h B
q
, B
q
]
?
?
(1.1.59)
при h = r/2, получим (1.1.58).
Приведјм здесь ещј асимптотическую оценку при z ? ? [84, с. 18], [92,
с. 20]
H
2, 0
1, 2
?
?
z
µ, ?

r, 1
, 0, 1 
?
?
= O

z
r?µ
2??
exp
h
? (2 ? ?) ?
?
2??
z
1
2??
i
.
(1.1.60)
џ 1.2. Операторы дробного интегро-дифференцирования
Оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле РиманаЛиу-
вилля порядка ? ? R с началом в точке a и c концом в точке y, определяется


35
следующим образом [36], [47], [50]
D
?
ay
g(y) =
sign(y ? a)
?(??)
y
Z
a
g(t)
|y ? t|
?+1
dt,
? < 0,
(1.2.61)
D
?
ay
g(y) = g(y), ? = 0,
D
?
ay
g(y) =
sign
n
(y ? a)
d
n
dy
n
D
??n
ay
g(y), n ? 1 < ? 6 n, n ? N.
(1.2.62)
Регуляризованная дробная производная (производная Капуто) опреде-
ляется равенством [36], [47]
?
?
ay
g(y) =
sign
n
(y ? a)D
??n
ay
g
(n)
(y), n ? 1 < ? 6 n, n ? N,
(1.2.63)
и связана с производной РиманаЛиувилля соотношением
?
?
ay
g(y) = D
?
ay
g(y) ?
n?1
X
k=0
g
(k)
(a)
?(k ? ? + 1)
|y ? a|
k??
,
(1.2.64)
где n ? 1 < ? 6 n, n ? N.
В случае, когда порядок дифференцирования ? = n является целым,
имеет место соотношение
D
n
ay
g(y) = ?
n
ay
g(y) =
sign
n
(y ? a)
d
n
dy
n
g(y),
n ? N.
Отметим, что оператор (1.2.63) в научной литературе также известен под
названием оператора ГерасимоваКапуто [18], [38].
Справедлива формула дробного интегрирования по частям
b
Z
a
g(s)D
µ
ay
h(s)ds =
b
Z
a
h(s)D
µ
by
g(s)ds, µ 6 0.
(1.2.65)
Для любого положительного µ и произвольного ? ? R справедливы фор-


36
мулы [47, с. 15]
D
?
ay
|y ? a|
µ?1
=
?(µ)
?(µ ? ?)
|y ? a|
µ???1
,
(1.2.66)
D
?
ay
|y ? a|
µ?1
E
1
µ
(?c |y ? a|
?
; ?) = |y ? a|
µ???1
E
1
µ
(?c |y ? a|
?
; µ ? ?).
(1.2.67)
В случае, когда ? ? N, значение µ может быть произвольным, в том числе
равняться нулю, либо быть отрицательным.
Для любого ? ? R справедлива формула [47, с. 26]
D
?
0y
y
??1
?(??, ?; ?c y
??
) = y
????1
?(??, ? ? ?; ?c y
??
).
(1.2.68)
Обозначим µ
1
= min{
Re (µ ? ?), Re (µ ? ? ? ?)}.
Пусть ? ? R, ? 6 2, причем µ
1
> 1/2
при ? = 2. Тогда, если Re µ > 0,
то справедлива следующая формула дробного интегрирования и дифферен-
цирования
D
?
ay

|y ? a|
µ?? ?/2?1
J
?, µ, ?
r

? |y ? a|
??/2


=
= |y ? a|
µ???? ?/2?1
J
?, µ??, ?
r

? |y ? a|
??/2

.
(1.2.69)
Согласно интегральному представлению (1.1.45) функции J
?, µ, ?
r
(z)
и
J
?, µ??, ?
r
(z)
существуют, если ? 6 2, причем µ
1
> 1/2
при ? = 2. Из раз-
ложения (1.1.52) следует, что левая часть (1.2.69) существует, если Re µ > 0.
Из интегрального представления (1.1.45) и формулы (1.2.66) имеем
D
?
ay

|y ? a|
µ?? ?/2?1
J
?, µ, ?
r

? |y ? a|
??/2


=
=
1
2?i
Z
L
i?
?(s)
 ?
2

?2s
D
?
ay
|y ? a|
µ?? ?/2+?s?1
ds =
=
|y ? a|
µ???? ?/2?1
2?i
Ч


37
Ч
Z
L
i?
?(s)
? µ ? ? ?/2 + ? s

? µ ? ? ? ? ?/2 + ? s

 ? |y ? a|
??/2
2

?2s
ds,
откуда в силу (1.1.47) получаем формулу (1.2.69).
џ 1.3. Интегральное преобразование Станковича
В работе [104] Б. Станкович рассмотрел обобщенное преобразование Хан-
келя в виде
G(x) =
?
Z
0
? ?, µ + 1; ? x
?
t
 t
µ
g(t) dt,
? > 0, µ > ?1.
В работе [42] (см. также [47, с. 72]) А. В. Псху определено преобразование
A
?, µ
v(y) = y
µ?1
?
Z
0
? ? ?, µ; ? t y
? ?
 v(t) dt,
0 < ? < 1, µ ? R. (1.3.70)
В случае, когда µ = 0, введено обозначение A
?, 0
v(y) = A
?
v(y).
Если преоб-
разование A
?, µ
применяется к функции, зависящей от нескольких перемен-
ных, то в случае необходимости с помощью нижнего индекса обозначается
переменная, по которой проводится преобразование. Например, A
?, µ
y
v(x, y).
В работе [41] рассмотрены различные формы обращения преобразования
(1.3.70).
Относительно функции v(y) предполагается, что v(y) ? L(a, b) для всех
a
и b, 0 < a < b < ?, и
lim
y?0
y
??
v(y) = 0,
lim
y??
exp ?y
?
 v(y) = 0,
где ? > ?1 и ? < 1/(1 ? ?) [47, с. 72].
Приведјм некоторые свойства преобразования A
?, µ
[47, с. 78, 80, 83].
1
?
.
Пусть v(y) непрерывна в точке y = 0 и дифференцируема при y > 0.


38
Тогда
D
?
0y
A
?, µ
v(y) = A
?, µ
v
0
(y) +
y
µ?1
?(µ)
v(0).
В частности, справедливы формулы
D
?
0y
A
?
v(y) = A
?
v
0
(y),
(1.3.71)
?
?
0y
A
?, 1??
v(y) = A
?, 1??
v
0
(y).
(1.3.72)
2
?
.
Пусть 0 6 µ 6 ? и lim
y?0
D
?µ/?
0y
v(y) = v
0
< ?.
Тогда
lim
y?0
D
??1
0y
A
?, µ
v(y) = v
0
.
(1.3.73)
3
?
.
Если u(y) 6 v(y) и µ > 0, то
A
?, µ
u(y) 6 A
?, µ
v(y).
(1.3.74)
Справедливы формулы [47, с. 74, 84]
A
?, µ
y
??1
= y
??+µ?1
?(?)
?(?? + µ)
, ? > 0, µ 6= 0; ? 6= 0, µ = 0,
(1.3.75)
A
?, µ
e
? y
= y
?+µ?1
E
1
?
(? y
?
; ? + µ),
(1.3.76)
A
?, µ
y
??1
? (?, ?; ? c y
?
) = y
??+µ?1
? (??, ?? + µ; ? c y
??
), ? > ?,
(1.3.77)
где ? ? C, c > 0.
Докажем ещј одну формулу
A
?, µ
y
??1
e
?
c2
4y
= y
? ?+µ?1
H
2, 0
1, 2
?
?
c
2
4 y
?
? ? + µ, ?

0, 1
, ?, 1 
?
?
,
(1.3.78)
где ? 6= 0, ±1, ±2, ...


39
Действительно, вычислим интеграл
A
?, µ
y
??1
e
?
c2
4y
= y
µ?1
?
Z
0
t
??1
e
?
c2
4t
? ? ?, µ; ? t y
? ?
 dt.
Сделав замену ? = t y
? ?
,
перепишем его в виде
A
?, µ
y
??1
e
?
c2
4y
= y
? ?+µ?1
?
Z
0
?
??1
e
?
c2
4y??
? (? ?, µ; ? ?) d?.
(1.3.79)
Интеграл
J =
?
Z
0
?
??1
e
?
c2
4y??
? (? ?, µ; ? ?) d?
(1.3.80)
вычислим, воспользовавшись методом, предложенным О.И. Маричевым в
[33]. Положив K
1
(? ) = e
??
, K
2
(? ) = ?
?
? (? ?, µ; ? ? ) , x =
c
2
4y
?
,
преобра-
зуем интеграл (1.3.80) к каноническому виду
J =
?
Z
0
K
1

x
?

K
2
(? )
d?
?
, x > 0.
Из строки 3.1 (1) џ 10 [33] базовой таблицы найдем образ первой функции
K
?
1
(s) = ?(s),
Re s > 0.
Преобразование Меллина функции Райта можно найти из формулы
(1.3.75), положив в ней ? = s,
?
Z
0
?
s?1
? (? ?, µ; ? ? ) d? =
?(s)
?(µ + ? s)
,
Re s > 0.
Тогда образ второй функции K
2
(? )
можно найти, если к подынтегральной
функции в последнем равенстве добавить множитель ?
?
,
а в правой части


40
заменить s на s + ?, то есть
K
?
2
(s) =
?(? + s)
?(µ + ? ? + ? s)
,
Re s > ? ?.
Перемножив образы K
?
i
(s), i = 1, 2,
придем к значению
K
?
(s) =
?(s) ?(? + s)
?(µ + ? ? + ? s)
,
Re s > max {? ?, 0}.
Вычисляя прообраз функции K
?
(s),
получим значение интеграла
J =
1
2?i
Z
L
?(s) ?(? + s)
?(µ + ? ? + ? s)

c
2
4 y
?

?s
ds = H
2, 0
1, 2
?
?
c
2
4 y
?
µ + ? ?, ?

0, 1
, ?, 1 
?
?
,
где L = L
??
 левая бесконечная петля, охватывающая в положительном
направлении все левые полюсы s = ?k, s = ?? ? k, k = 0, 1, 2, ..., ? 6=
0, ±1, ±2, ...
Подставляя найденное значение интеграла в (1.3.79), приходим
к (1.3.78).
Равенство (1.3.78) можно записать и в другом виде, воспользовавшись для
этого формулой (1.1.59) при h = ??. В этом случае будем иметь
J =

c
2
4 y
?

?
H
2, 0
1, 2
?
?
c
2
4 y
?
µ, ?

? ?, 1
, 0, 1 
?
?
.
Подставляя последнее значение интеграла в (1.3.79), получим
A
?, µ
y
??1
e
?
c2
4y
= y
µ?1

c
2

2?
H
2, 0
1, 2
?
?
c
2
4 y
?
µ, ?

? ?, 1
, 0, 1 
?
?
.
(1.3.81)


41

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5




©engime.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет