Хуштова фатима гидовна краевые задачи для дифференциальных уравнений с оператором бесселя и частными



Pdf көрінісі
бет5/5
Дата15.05.2020
өлшемі0.6 Mb.
түріДиссертация
1   2   3   4   5

Глава 3
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
џ 3.1. Задача Коши
В области ? = {(x, y) : ?? < x < ?, 0 < y < T } рассмотрим уравнение
L u(x, y) ? B
x
u(x, y) ? D
?
0y
u(x, y) = 0.
(3.1.1)
Регулярным решением уравнения (3.1.1) в области ? будем называть
функцию u = u(x, y), удовлетворяющую уравнению (3.1.1) в области ?, и
такую, что y
1??
u ? C( Ї
?), B
x
u, D
?
0y
u ? C(?), Ї
?
 замыкание области ?.
Задача 3.1.1. Найти регулярное в области ? решение уравнения (3.1.1),
удовлетворяющее условию
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = ?(x), ?? < x < ?,
(3.1.2)
где ?(x)  заданная функция.
Теорема 3.1.1. Пусть ?(x) ? C(??, ?) и выполняется условие
lim
|x|??
?(x) exp

?? |x|
2
2??

= 0,
? < (2 ? ?) 2
?
2
2??
( ? / T )
?
2??
.
Тогда функция
u(x, y) =
?
Z
??
|?|
1?2?
?
?, ?
(x, ?, y) ?(?) d?,
(3.1.3)
где ?
?, ?
(x, ?, y)
определяется из (2.1.3), является регулярным решением за-
дачи 3.1.1.


72
Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих при некото-
ром положительном k условию
lim
|x|??
y
1??
u(x, y) exp ? k |x|
2
2??
 = 0.
(3.1.4)
Доказательство теоремы 3.1.1. Из свойств 1
?
, 2
?
и 7
?
функции
?
?, ?
(x, ?, y)
следует, что функция (3.1.3) является регулярным решением
уравнения (3.1.1) в области ?. Выполнимость условия (3.1.2) следует из свой-
ства 4
?
функции ?
?, ?
(x, ?, y).
Докажем единственность. Пусть h
r
(?)
 дважды непрерывно дифферен-
цируемая функция, обладающая следующими свойствами:
h
r
(?) =
(
1, |?| 6 r,
0, |?| > r + 1,
(3.1.5)
0 6 h
r
(?) 6 1, |h
0
r
(?)| + |h
00
r
(?)| 6 H, где H  постоянная, не зависящая от r.
Рассмотрим функцию
v(x, ?, y ? ?) = h
r
(?) ?
?, ?
(x, ?, y ? ?).
Учитывая, что функция ?
?, ?
(x, ?, y ? ?)
удовлетворяет уравнению (2.1.20),
получим
L
?
v(x, ?, y ? ?) = 2 h
0
r
(?) ?
?
(x, ?, y ? ?)+
+
b
?
h
0
r
(?) ?(x, ?, y ? ?) + h
00
r
(?) ?(x, ?, y ? ?).
(3.1.6)
Докажем сначала, что, если ?(x) ? 0, то u(x, y) ? 0 при 0 < y < ? для
достаточно малого ?. Из теоремы 2.2.1 следует, что регулярное в области ?
r
=
{(x, y) : |x| < r, 0 < y < ?}
решение однородной задачи, соответствующей


73
задаче 3.1.1, представимо в виде
u(x, y) =
r+1
Z
?r?1
y
Z
0
|?|
1?2?
u(?, ?) L
?
v(x, ?, y ? ?) d? d?.
Из (3.1.5) и (3.1.6) следует, что L
?
v(x, ?, y ? ?) = 0,
если |?| 6 r, откуда
u(x, y) =
?
?
?r
Z
?r?1
+
r+1
Z
r
?
?
y
Z
0
|?|
1?2?
u(?, ?) L
?
v(x, ?, y ? ?) d? d?.
Далее, в силу свойств функции h
r
(?)
и оценок (1.1.60), из (3.1.6) получим
| L
?
v(x, ?, y ? ?) | 6 const · P
1
(x, ?, y ? ?) exp
h
? ?
0
|x ? ?|
2
2??
(y ? ?)
?
?
2??
i
.
Учитывая эту оценку, а также условие (3.1.4), находим
|u(x, y)| 6 const
?
?
?r
Z
?r?1
+
r+1
Z
r
?
?
y
Z
0
P (x, ?, y, ?) Ч
Ч exp
h
? ?
0
|x ? ?|
2
2??
(y ? ?)
?
?
2??
+ k ?
2
2??
i
d? d?,
где P (x, ?, y, ?) = |?|
1?2?
?
??1
P
1
(x, ?, y ? ?).
Правая часть последнего неравенства при r ? ? будет стремиться к
нулю, если будет существовать внутренний интеграл. Это можно обеспечить
выбором ? < (?
0
/k)
(2??)/?
.
Тогда u(x, y) ? 0 в области ?
1
= {(x, y) : ?? <
x < ?, 0 < y < ?}.
Докажем, что u(x, y) ? 0 для любого y > 0. Пусть t = y ? ?, ? 6 y < 2?.
Рассмотрим функцию w(x, t) = u(x, ? + t). Так как u(x, y) ? 0 при 0 < y < ?,
то
D
?
0y
u(x, y) = D
?
?y
u(x, y) = D
?
0t
w(x, t).


74
Отсюда следует, что функция w(x, t) удовлетворяет уравнению
B
x
w(x, t) ? D
?
0t
w(x, t) = 0,
условиям (3.1.4) и
lim
t?0
D
??1
0t
w(x, t) = 0, ?? < x < ?.
Тогда, согласно выше доказанному, w(x, t) ? 0 в ?
2
= {(x, t) : ?? < x <
?, 0 < t < ?},
то есть u(x, y) ? 0 в ?
2
= {(x, y) : ?? < x < ?, ? < y < 2?}.
Точно так же доказывается, что u(x, y) ? 0 в полосах (n ? 1) ? 6 y < n ?,
n = 3, 4, ...
Неулучшаемость показателя степени в условии единственности
решения задачи Коши. Отметим, что условие (3.1.4) имеет место и в слу-
чае задачи Коши для уравнения дробной диффузии. Теоремы единственности
решения задачи Коши в классе ограниченных функций и в классе функций
экспоненциального роста для многомерного уравнения дробной диффузии
с оператором Капуто были доказаны в работе А.Н. Кочубея [22], теорема
единственности решения задачи Коши в классе функций экспоненциально-
го роста для многомерного диффузионно-волнового уравнения с оператором
ДжрбашянаНерсесяна  в работе А.В. Псху [48]. В этих же работах пост-
роены примеры, показывающие, что увеличение показателя 2/(2??) ведет к
потере единственности решения соответствующих задач. При ? = 1 условие
(3.1.4) совпадает с хорошо известным условием Тихонова
lim
|x|??
u(x, y) exp ? k |x|
2
 = 0.
Как известно, пример неединственности решения задачи Коши для уравне-
ния теплопроводности был впервые построен А.Н. Тихоновым в основопола-
гающей работе [105] (см. также [53]).


75
Разовьјм эти идеи применительно к задаче 3.1.1. Покажем, что показатель
2/(2 ? ?)
в условии (3.1.4) нельзя увеличить. Действительно, рассмотрим
функцию
T
µ
(z, ?) =
?
X
n=0
z
?+n
n! ?(1 + ? + n)
? (??, µ ? ?? ? ?n; ??) .
(3.1.7)
Как следует из (1.1.38), ряд (3.1.7) сходится абсолютно для любых z ? C,
? > 0, ?, ?, ? ? (0; 1), µ ? R.
Лемма 3.1.1. Если 0 < ? < ? < 1, µ > 0, то при любых x ? R, y > 0
справедливо неравенство
y
µ?1
T
µ
 x
2
4y
?
,
1
y
?

6
C |x|
2[1??(1??)]
2???
y
µ
?(µ + 1)
exp
h
k
1
|x|
2
2??
? k
2
y
?
?
1??
i
,
(3.1.8)
где C, k
1
, k
2
 положительные постоянные, зависящие только от ?, ? и
?.
Доказательство леммы 3.1.1. Из (1.1.36) следует оценка
y
?????n?1
?

??, ??? ? ?n; ?
1
y
?

6
? (1/? + ?? + ?n)
? ? (aC
?
)
1/?+??+?n
?

??, 1; ?
1 ? a
y
?

,
где ? = ?/?, a ? (0; 1), C
?
=
cos ???
??
, ? ? (1/2; ?
0
), ?
0
= min{1, 1/(2?)}.
С помощью последней оценки получим
y
µ?1
T
µ
 x
2
4y
?
,
1
y
?

=
=
D

0y
?
X
n=0
|x|
2?+2n
2
2?+2n
n! ?(1 + ? + n)
y
?????n?1
?

??, ??? ? ?n; ?
1
y
?

6
6
|x|
2?
y
µ
?

??, µ + 1; ?
1?a
y
?

2
2?
? ? (aC
?
)
1/?+??
?
X
n=0
? (1/? + ?? + ?n)
n! ?(1 + ? + n)

x
2
4 (aC
?
)
?

n
.
(3.1.9)
Степенной ряд, стоящий справа от неравенства (3.1.9), представляет собой


76
обобщенную функцию Райта
1
?
1
?
?
z
1/? + ??, ?

1 + ?, 1

?
?
=
?
X
n=0
? (1/? + ?? + ?n)
n! ?(1 + ? + n)
z
n
, z =
x
2
4(aC
?
)
?
.
Из ее асимптотических свойств при z ? ? следует [107]
1
?
1
?
?
z
1/? + ??, ?

1 + ?, 1

?
?
= Z
1/???(1??)?1
e
Z
"
M ?1
X
m=0
A
m
Z
?m
+ O Z
?M

#
,
где Z = (2 ? ?) ?
?
2??
z
1
2??
, ? < 2,
а коэффициенты A
m
, m = 0, 1, 2, ...,
зависят
только от ?, ? и ?.
Учитывая, что a  произвольное число из интервала (0; 1), из последней
оценки и соотношений (3.1.9), (1.1.35) получаем (3.1.8). Лемма 3.1.1 доказана.
Покажем, что функция y
µ?1
T
µ

x
2
4y
?
,
1
y
?

является решением уравнения
(3.1.1). Из (3.1.7) и (1.2.68) имеем
B
x
T
µ
 x
2
4y
?
,
1
y
?

=
= y
??
?
X
n=1
1
(n ? 1)! ?(? + n)
 x
2
4y
?

?+n?1
?

??, µ ? ?? ? ?n; ?
1
y
?

=
= y
??
?
X
k=0
1
k! ?(1 + ? + k)
 x
2
4y
?

?+k
?

??, µ ? ? ? ?? ? ?k; ?
1
y
?

=
= y
??
T
µ??
 x
2
4y
?
,
1
y
?

,
D
?
0y
y
µ?1
T
µ
 x
2
4y
?
,
1
y
?

= y
µ???1
T
µ??
 x
2
4y
?
,
1
y
?

.
(3.1.10)
Из последних двух равенств следует, что
B
x
? D
?
0y
 y
µ?1
T
µ
 x
2
4y
?
,
1
y
?

= 0.
(3.1.11)


77
Из равенства (3.1.10) и оценки (3.1.8) также имеем
lim
y?0
D
??1
0y
y
µ?1
T
µ
 x
2
4y
?
,
1
y
?

= 0.
(3.1.12)
Таким образом, из соотношений (3.1.8), (3.1.11) и (3.1.12) следует, что
нетривиальная функция
u(x, y) = y
µ?1
T
µ
 x
2
4y
?
,
1
y
?

является решением однородного уравнения (3.1.1), удовлетворяет однород-
ному условию, соответствующему условию (3.1.2) (?(x) ? 0), и для лю-
бого положительного сколь угодно малого ?, некоторых положительных
постоянных k и C, а также параметра ?, выбранного из условия ? =
[? (2 + ?(2 ? ?))] / [2 (? + ?(2 ? ?))]
имеет место оценка
|u(x, y)| 6 const · exp

k |x|
?+
2
2??

.
Последняя оценка показывает, что увеличение показателя 2/(2 ? ?) в усло-
вии (3.1.4) ведет к неединственности решения задачи 3.1.1 и в этом смысле
условие (3.1.4) является необходимым.
Неоднородное уравнение. Рассмотрим в области ? задачу Коши для
уравнения
B
x
u(x, y) ? D
?
0y
u(x, y) = f (x, y)
(3.1.13)
с условием
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = 0, ?? < x < ?.
(3.1.14)
Теорема 3.1.2. Пусть функция f(x, y) представима в виде
f (x, y) = D
??
0y
g(x, y),
? > ?(1 ? ?)/2 > 0,
(3.1.15)


78
и выполняется условие
lim
|x|??
y
1??
f (x, y) exp

?? |x|
2
2??

= 0,
? < (2 ? ?) 2
?
2
2??
( ? / T )
?
2??
.
Тогда функция
u(x, y) = ?
y
Z
0
?
Z
??
|?|
1?2?
?
?, ?
(x, ?, y ? ?) f (?, ?) d? d?,
(3.1.16)
где ?
?, ?
(x, ?, y)
определяется из (2.1.3), является регулярным решением за-
дачи (3.1.13), (3.1.14).
Доказательство теоремы 3.1.2. Учитывая представление (3.1.15) и
формулу дробного интегрирования по частям (1.2.65), представим функцию
(3.1.16) в виде
u(x, y) = ?
y
Z
0
?
Z
??
|?|
1?2?
D
??
y?
?
?, ?
(x, ?, y ? ?)g(?, ?) d? d?.
(3.1.17)
Из свойств 1
?
и 7
?
функции ?
?, ?
(x, ?, y)
следует, что
?
?x
u(x, y) = ?
y
Z
0
?
Z
??
|?|
1?2?
?
?x
D
??
y?
?
?, ?
(x, ?, y ? ?)g(?, ?) d? d?.
(3.1.18)
Разбивая внутренний интеграл от ?? до x и от x до ?, и учитывая свой-
ство 8
?
,
будем иметь
B
x
u(x, y) = ?
y
Z
0
?
Z
??
|?|
1?2?
D
??
y?
B
x
?
?, ?
(x, ?, y ? ?)g(?, ?) d? d?+
+
1
?(?)
y
Z
0
g(x, ?)
(y ? ?)
1??
d?.
(3.1.19)


79
С другой стороны, из свойств 1
?
и 7
?
также имеем
D
?
0y
u(x, y) = ?
y
Z
0
?
Z
??
|?|
1?2?
D
???
y?
?
?, ?
(x, ?, y ? ?)g(?, ?) d? d?.
(3.1.20)
Подставляя (3.1.19) и (3.1.20) в (3.1.13) и учитывая (3.1.15) и свойство 2
?
функции ?
?, ?
(x, ?, y),
видим, что (3.1.13) обращается в тождество.
В силу оценки
D
??1
0y
D
?
0y
?
?, ?
(x, ?, y)
6 C|x?|
??1/2
|x ? ?|
??
y
????+?
,
которая следует из свойства 7
?
,
получаем
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = 0.
џ 3.2. Первая краевая задача
Уравнение (3.1.1) рассмотрим в области ?
+
= {(x, y) : 0 < x < ?, 0 <
y < T }.
Регулярным решением уравнения (3.1.1) в области ?
+
будем назы-
вать функцию u = u(x, y), удовлетворяющую уравнению (3.1.1) в области ?
+
,
и такую, что y
1??
u ? C( Ї
?
+
), B
x
u, D
?
0y
u ? C(?
+
), Ї
?
+
 замыкание области
?
+
.
Для уравнения (3.1.1) первую краевую задачу в области ?
+
сформулируем
следующим образом.
Задача 3.2.1. Найти регулярное в области ?
+
решение уравнения
(3.1.1), удовлетворяющее краевым условиям
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = ?(x), 0 < x < ?,
(3.2.21)
u(0, y) = ? (y), 0 < y < T,
(3.2.22)


80
где ?(x) и ?(y)  заданные функции.
Обозначим через
K
?, ?
(x, y) =
x
?
y
???/2?1
2
?
?(?)
J
?, ?, 2+?
?

x
y
?/2

,
(3.2.23)
G
?, µ, ?
(x, ?, y ? ?) = A
?, µ
t
g(x, ?, t)
t=y??
,
(3.2.24)
где
g(x, ?, t) =
x
?
?
?
2t
e
?
x2+?2
4t
I
?
 x?
2t

.
(3.2.25)
В случае µ = 0 будем обозначать G
?, 0, ?
= G
?, ?
.
Теорема 3.2.1. Пусть ?(x) ? C[0, ?), y
1??
? (y) ? C[0, T ],
lim
x??
?(x) exp

?? x
2
2??

= 0,
? < (2 ? ?) 2
?
2
2??
( ? / T )
?
2??
,
(3.2.26)
и выполнено условие согласования lim
y?0
D
??1
0y
? (y) = ?(0).
Тогда функция
u(x, y) =
?
Z
0
?
1?2?
G
?, ?
(x, ?, y) ?(?) d? +
y
Z
0
K
?, ?
(x, y ? ?) ? (?) d?
(3.2.27)
является регулярным решением задачи 3.2.1.
Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих при некото-
ром положительном k условию
lim
x??
y
1??
u(x, y) exp ? k x
2
2??
 = 0.
(3.2.28)
Для доказательства теоремы 3.2.1 предварительно докажем две леммы,
которые будут обеспечивать законность перестановок знаков производных и
интегралов при дифференцировании по x и взятии дробной производной по
y
порядка ?.
Лемма 3.2.1. Для функции (3.2.24) при x? < 2y справедливы следующие


81
оценки:
?
n
?x
n
G
?, µ, ?
(x, ?, y)
6 const · x
2??n
?
2?
y
???+µ?1
, ? 6= 1/2,
(3.2.29)
?
2n
?x
2n
G
?, µ, 1/2
(x, ?, y)
6 const · x ? y
??(2n+1)/2+µ?1
,
?
2n+1
?x
2n+1
G
?, µ, 1/2
(x, ?, y)
6 const · ? y
??(2n+1)/2+µ?1
,
D
?
0y
G
?, µ, ?
(x, ?, y)
6 const · x
2?
?
2?
y
?????+µ?1
,
при x? > 2y  оценки:
?
n
?x
n
G
?, µ, ?
(x, ?, y)
6 const · P
n
(x, ?, y) exp
h
? ?
0
|x ? ?|
2
2??
y
?
?
2??
i
,
D
?
0y
G
?, µ, ?
(x, ?, y)
6 const · P
2
(x, ?, y) exp
h
? ?
0
|x ? ?|
2
2??
y
?
?
2??
i
,
где ?
0
и P
n
(x, ?, y)
определяются из (2.1.6) и (2.1.7), n = 0, 1, 2, ...
Оценки леммы 3.2.1 нетрудно получить аналогично оценкам для функции
?
?, µ, ?
(x, ?, y)
(свойство 1
?
).
Для получения оценок производных по x высоких порядков, а также про-
изводной по y, воспользуемся формулами (1.1.21), (1.1.22) и реккурентными
соотношениями (1.1.23), (1.1.24). Тогда из поведения функции I
?
(z)
при ма-
лых значениях z (1.1.19), а также условия 0 < e
?z
< 1, z > 0,
получим оценки
для функции (3.2.25) при x? < 2y
?
n
?x
n
g(x, ?, y)
6 const · x
2??n
?
2?
y
???1
, ? 6= 1/2,
?
2n
?x
2n
g(x, ?, y)
6 const · x ? y
?n?3/2
, ? = 1/2,
?
2n+1
?x
2n+1
g(x, ?, y)
6 const · ? y
?n?3/2
, ? = 1/2,


82
?
?y
g(x, ?, y)
6 const · x
2?
?
2?
y
???2
,
где n = 0, 1, 2, ...
Применяя к найденным оценкам преобразование A
?, µ
по переменной y
с помощью формулы (1.3.75), в силу свойств (1.3.71) и (1.3.74), приходим к
оценкам леммы 3.2.1 при x? < 2y.
Оценки при x? > 2y такие же как и для функции (2.1.3).
Лемма 3.2.2. Для функции (3.2.23) при x < (y ? ?)
?/2
справедливы сле-
дующие оценки:
?
n
?x
n
K
?, ?
(x, y ? ?)
6 const · x
2??n
(y ? ?)
????1
, ? 6= 1/2,
?
2n
?x
2n
K
?, 1/2
(x, y ? ?)
6 const · x (y ? ?)
??(2n+1)/2?1
,
?
2n+1
?x
2n+1
K
?, 1/2
(x, y ? ?)
6 const · (y ? ?)
??(2n+1)/2?1
,
D
?
?y
K
?, ?
(x, y ? ?)
6 const · x
2?
(y ? ?)
??????1
,
при x > (y ? ?)
?/2
 оценки:
?
n
?x
n
K
?, ?
(x, y ? ?)
6 const · Q
n
(x, y ? ?) exp
h
? ?
0
x
2
2??
(y ? ?)
?
?
2??
i
,
D
?
?y
K
?, ?
(x, y ? ?)
6 const · Q
2
(x, y ? ?) exp
h
? ?
0
x
2
2??
(y ? ?)
?
?
2??
i
,
где ?
0
= (2 ? ?) ?
?
2??
2
?
2
2??
, Q
n
(x, y) = x
n?+2?
2??
y
?
?(n+?)
2??
?1
, n = 0, 1, 2, ...
Для получения оценок леммы 3.2.2 покажем, что представление функции
(3.2.23) эквивалентно представлению
K
?, ?
(x, y) =
x
2?
2
2?
?(?)
A
?
y
y
???1
e
?
x2
4y
.
(3.2.30)
Действительно, применяя к правой части (3.2.30) формулу (1.3.81) при


83
µ = 0, ? = ??, c = x
находим
K
?, ?
(x, y) =
y
?1
?(?)
H
2, 0
1, 2
?
?
x
2
4 y
?
0, ?

?, 1
, 0, 1 
?
?
.
Тогда из формулы (1.1.58) при r = ?, ? = ? и µ = 0 получим (3.2.23).
Обозначим через
k(x, y) = x
2?
y
???1
e
?
x2
4y
.
При x <
?
y
и ? 6= 1/2 получим
?
n
?x
n
k(x, y)
6 const · x
2??n
y
???1
,
при ? = 1/2 
?
2n
?x
2n
k(x, y)
6 const · xy
?n?3/2
,
?
2n+1
?x
2n+1
k(x, y)
6 const · y
?n?3/2
,
где n = 0, 1, 2, ...
Для производной по y получим оценку
?
?y
k(x, y)
6 const · x
2?
y
???2
.
Применяя к полученным оценкам преобразование A
?
по переменной y с помо-
щью формулы (1.3.75), в силу свойств (1.3.71) и (1.3.74), приходим к оценкам
леммы 3.2.2 при x < y
?/2
.
При x >
?
y
производные по x n-го порядка, где n = 0, 1, 2, ..., и произ-
водная по y от функции k(x, y) будут иметь следующие оценки
?
n
?x
n
k(x, y)
6 const · x
2?+n
y
???n?1
e
?
x2
4y
,


84
?
?y
k(x, y)
6 const · x
2?+2
y
???3
e
?
x2
4y
.
Применим теперь к последним оценкам преобразование A
?
по переменной
y
с помощью формулы (1.3.81), затем воспользуемся асимптотической фор-
мулой (1.1.60). Тогда, в силу свойств (1.3.71) и (1.3.74), приходим к оценкам
леммы 3.2.2 при x > y
?/2
.
Доказательство теоремы 3.2.1. Представим функцию (3.2.27) в виде
u(x, y) = u
0
(x, y) + u
1
(x, y),
где
u
0
(x, y) =
?
Z
0
?
1?2?
G
?, ?
(x, ?, y) ?(?) d?,
(3.2.31)
u
1
(x, y) =
y
Z
0
K
?, ?
(x, y ? ?) ? (?) d?.
(3.2.32)
Докажем, что функция u
0
(x, y)
удовлетворяет уравнению (3.1.1) и усло-
виям
lim
y?0
D
??1
0y
u
0
(x, y) = ?(x), 0 < x < ?,
(3.2.33)
u
0
(0, y) = 0, 0 < y < T,
(3.2.34)
а функция u
1
(x, y)
 уравнению (3.1.1) и условиям
lim
y?0
D
??1
0y
u
1
(x, y) = 0, 0 < x < ?,
(3.2.35)
u
1
(0, y) = ? (y), 0 < y < T.
(3.2.36)
Проведем сначала доказательство для функции (3.2.31). То, что эта функ-
ция удовлетворяет уравнению (3.1.1) нетрудно проверить, если заметить, что
g(x, ?, t) = 2 g
2
(x, ?, t),
где g
2
(x, ?, t)
определяется из (2.1.10). Перестановки
знаков производных и интегралов при дифференцировании по x и взятии
дробной производной по y порядка ? допустимы в силу леммы 3.2.1.


85
Проверим выполнимость условия (3.2.33). Согласно формуле (1.3.73),
можно записать
lim
y?0
D
??1
0y
u
0
(x, y) = lim
y?0
?
Z
0
?
1?2?
g(x, ?, y) ?(?) d? =
= lim
y?0
?
?
?
Z
0
?
1?2?
g(x, ?, y) [?(?) ? ?(x)] d? + ?(x)
?
Z
0
?
1?2?
g(x, ?, y) d?
?
?
=
= lim
y?0
[J
1
(x, y) + J
2
(x, y)] .
Разбивая промежуток интегрирования на части, представим J
1
(x, y)
в виде
суммы трех слагаемых
J
1
(x, y) =
x??
Z
0
?
1?2?
g(x, ?, y) [?(?) ? ?(x)] d?+
+
x+?
Z
x??
?
1?2?
g(x, ?, y) [?(?) ? ?(x)] d? +
?
Z
x+?
?
1?2?
g(x, ?, y) [?(?) ? ?(x)] d? =
= J
11
(x, y) + J
12
(x, y) + J
13
(x, y),
(3.2.37)
где ?  произвольное малое положительное число.
Из (1.1.20) и представления (3.2.25) следует оценка
| g(x, ?, y) | 6 const · (x?)
??1/2
y
?1/2
e
?
(x??)2
4y
, x? > 2y,
(3.2.38)
откуда получаем, что lim
y?0
J
11
(x, y) = lim
y?0
J
13
(x, y) = 0.
Обозначим через ?(?) = sup |?(x) ? ?(?)|, где ? ? [x ? ?, x + ?]. Так как
функция ?(x) непрерывна, то ?(?) ? 0 при ? ? 0. По формуле (3.2.38) мы


86
можем записать
|J
12
(x, y)| 6 ?(?)
x
??1/2
?
y
x+?
Z
x??
?
1/2??
e
?
(x??)2
4y
d?.
Сделав в последнем интеграле замену ? = x + 2
?
y t,
получим
|J
12
(x, y)| 6 ?(?) x
??1/2
?
2
?
y
Z
?
?
2
?
y
(x + 2
?
y t)
1/2??
e
?t
2
dt.
(3.2.39)
Применяя к интегралу в правой части (3.2.39) обобщенную теорему о среднем
значении [57, с. 114] и используя затем оценку
?
2
?
y
Z
?
?
2
?
y
e
?t
2
dt <
?
Z
??
e
?t
2
dt =
?
?,
находим lim
y?0
J
12
(x, y) =
const · ?(?). Отсюда, в силу непрерывности функции
?(x)
и произвольности выбора ?, получаем lim
y?0
J
12
(x, y) = 0.
Вычислим интеграл J
2
(x, y)
. Для этого воспользуемся формулой (1.1.25).
Придавая параметрам в этой формуле значения ? = 2 ? ?, p = 1/(4y), ? = ?,
c = x/(2y),
получим
J
2
(x, y) =
x
2?
y
??
e
?
x2
4y
?(x)
2
2?
?(1 + ?)
1
F
1

1; 1 + ?;
x
2
4y

.
Воспользовавшись теперь асимптотической формулой при z ? ? [28]
1
F
1
(a; b; z) =
?(b)
?(a)
e
z
z
?(b?a)
1 + O(|z|
?1
)
 , | arg z| <
?
2
,
a, b 6= 0, ?1, ?2, ...,
будем иметь lim
y?0
J
2
(x, y) = ?(x).
Таким образом,
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = ?(x).


87
Выполнимость однородного условия (3.2.34) следует из оценки (3.2.29)
при n = 0.
Перейдем теперь к доказательству для функции u
1
(x, y).
Докажем, что
она удовлетворяет уравнению (3.1.1) и краевым условиям (3.2.35), (3.2.36).
Продифференцируем (3.2.32), используя формулу (1.1.56) при ? = µ = ?,
? = 2 + ?, r = ?.
В результате будем иметь
?
?x
u
1
(x, y) =
y
Z
0
?
?x
K
?, ?
(x, y ? ?) ? (?) d?,
(3.2.40)
где
?
?x
K
?, ?
(x, y) =
x
?
y
???/2??/2?1
2
?
?(?)
J
?, ?, 3+?
??1

x
y
?/2

.
(3.2.41)
Умножим (3.2.41) на x
1?2?
и продифференцируем полученное равенство по
x,
используя формулу (1.1.55) при ? = µ = ?, ? = 3 + ?, r = ? ? 1. Умножим
затем полученное равенство на x
2??1
.
В итоге получим
B
x
u
1
(x, y) =
y
Z
0
B
x
K
?, ?
(x, y ? ?) ? (?) d?,
(3.2.42)
где
B
x
K
?, ?
(x, y) = ?
x
?
y
???/2???1
2
?
?(?)
J
?, ?, 4+?
?

x
y
?/2

.
Далее, из формулы (1.2.69) при ? = ? = µ = ?, ? = 2 + ?, r = ?, a = ? и
? = x
следует
D
?
0y
u
1
(x, y) =
y
Z
0
? (?) D
?
?y
K
?, ?
(x, y ? ?) d?,
(3.2.43)
где
D
?
?y
K
?, ?
(x, y ? ?) =
x
?
(y ? ?)
???/2???1
2
?
?(?)
J
?, 0, 2+?
?

x
(y ? ?)
?/2

.


88
Из равенств (3.2.42) и (3.2.43), а также формулы (1.1.57) при n = 1, за-
ключаем, что функция (3.2.32) удовлетворяет уравнению (3.1.1).
Проверим теперь выполнимость граничного условия (3.2.36). Для этого
запишем (3.2.32) в виде
u
1
(x, y) =
y??
Z
0
 ?
1??
? (?) ? y
1??
? (y)
 ?
??1
K
?, ?
(x, y ? ?) d?+
+
y
Z
y??
 ?
1??
? (?) ? y
1??
? (y)
 ?
??1
K
?, ?
(x, y ? ?) d?+
+ y
1??
? (y)
y
Z
0
?
??1
K
?, ?
(x, y ? ?) d? = J
1
(x, y) + J
2
(x, y) + J
3
(x, y),
где ?  произвольное малое положительное число.
При x ? 0 из леммы 3.2.2 имеем оценку
K
?, ?
(x, y ? ?)
6 const · x
2?
(y ? ?)
????1
.
Так как ? > 0, то отсюда следует равенство lim
x?0
J
1
(x, y) = 0.
Представим интеграл J
2
(x, y)
в виде суммы интегралов J
21
(x, y)
и J
22
(x, y)
по отрезкам [ y ? ?, y ? x
2/?
]
и [ y ? x
2/?
, y ]
соответственно. Обозначим через
?(?) = sup | ?
1??
? (?) ? y
1??
? (y)|,
где ? ? [y ??, y]. Так как функция y
1??
? (y)
непрерывна в окрестности точки y, то ?(?) ? 0 при ? ? 0. С учетом введен-
ных обозначений оценим интеграл J
2
(x, y)
|J
2
(x, y)| 6 ?(?) { |J
21
(x, y)| + |J
22
(x, y)| }.
(3.2.44)


89
Из леммы 3.2.2 при ? 6 y ? x
2/?
и любого фиксированного y > ? > 0 следует
|J
21
(x, y)| 6 const · x
2?
y?x
2/?
Z
y??
?
??1
(y ? ?)
????1
d?,
откуда после замены переменной интегрирования t = x
2/?
(y ? ?)
?1
,
получим
|J
21
(x, y)| 6 const ·
1
Z
?
?1
x
2/?

y ? t
?1
x
2/?

??1
t
???1
dt.
Функция g (t) = y ? t
?1
x
2/?

??1
является убывающей, поэтому на от-
резке [ ?
?1
x
2/?
, 1 ]
имеет место ограничение g (t) 6 (y ? ?)
??1
.
Тогда в силу
?? > 0
получим lim
x?0
J
21
(x, y) =
const · (y ? ?)
??1
.
При ? > y ? x
2/?
и фиксированного y из леммы 3.2.2 следует
|J
22
(x, y)| 6 const·x
2?
2??
y
Z
y?x
2/?
?
??1
(y ??)
?
??
2??
?1
exp
h
? ?
0
x
2
2??
(y ? ?)
?
?
2??
i
d?.
Сделав в последнем интеграле замену t = x
2
2??
(y ? ?)
?
?
2??
,
будем иметь
|J
22
(x, y)| 6 const ·
?
Z
1

y ? x
2/?
t
1?2/?

??1
t
??1
exp [ ? ?
0
t ] dt,
откуда lim
x?0
J
22
(x, y) =
const · y
??1
.
Тогда в силу непрерывности функции y
1??
? (y)
при y > 0 и произвольно-
сти выбора ?, из (3.2.44) получаем lim
x?0
J
2
(x, y) = 0.
В интеграле J
3
(x, y)
произведем замену переменной интегрирования по
формуле t = y ? ?. В результате получим
J
3
(x, y) = y
1??
? (y)
y
Z
0
(y ? t)
??1
K
?, ?
(x, t) dt =


90
= y
1??
? (y) ? (?) D
??
0y
K
?, ?
(x, y).
(3.2.45)
Применяя формулу (1.2.69) при ? = ??, ? = µ = ?, ? = 2 + ?, r = ?, a = 0
и ? = x к функции (3.2.23), находим
D
??
0y
K
?, ?
(x, y) =
x
?
y
????/2?1
2
?
?(?)
J
?, 2?, 2+?
?

x
y
?/2

.
Переходя в последнем равенстве с помощью формулы (1.1.51) к пределу при
x ? 0,
приходим к равенству
lim
x?0
D
??
0y
K
?, ?
(x, y) =
y
??1
?(?)
.
Тогда из (3.2.45) имеем lim
x?0
J
3
(x, y) = ? (y).
Таким образом, u
1
(0, y) = ? (y).
Далее, применяя оператор дробного интегрирования порядка ? ? 1
к функции (3.2.32) по формуле (1.2.69), получим
D
??1
0y
u
1
(x, y) =
y
Z
0
? (?) D
??1
?y
K
?, ?
(x, y ? ?) d?,
(3.2.46)
где
D
??1
?y
K
?, ?
(x, y ? ?) =
x
?
(y ? ?)
???/2??
2
?
?(?)
J
?, 1, 2+?
?

x
(y ? ?)
?/2

.
Отсюда, в силу непрерывности подынтегральной функции в (3.2.46), имеем
lim
y?0
D
??1
0y
u
1
(x, y) = 0.
Представления решения в частных случаях. Заметим, что из
(3.2.24) и (3.2.25) при ? = 1/2 (b = 0), в силу первого из представлений
(1.1.27), получим
G
?, 1/2
(x, ?, y) = A
?
y
g(x, ?, y),
g(x, ?, y) =
1
2
?
?y

e
?
(x??)2
4y
? e
?
(x+?)2
4y

.


91
С другой стороны, учитывая представление (1.1.39), функцию g(x, ?, y) мож-
но записать в виде
g(x, ?, y) =
1
2
?
y

?

?
1
2
,
1
2
; ?
|x ? ?|
?
y

? ?

?
1
2
,
1
2
; ?
x + ?
?
y

.
Применяя к последнему равенству преобразование A
?
по переменной y с
помощью формулы (1.3.77), получим, что функция
u
0
(x, y) =
?
Z
0
G
?, 1/2
(x, ?, y) ?(?) d?,
где
G
?, 1/2
(x, ?, y) =
y
??1
2

?

??, ?; ?
|x ? ?|
y
?

? ?

??, ?; ?
x + ?
y
?

, ? =
?
2
,
совпадает с решением краевой задачи (3.2.33), (3.2.34) для уравнения диф-
фузии дробного порядка, приведенным в [8].
В случае, когда ?(x) является степенной функцией координаты x, то есть
?(x) = x
?
,
где ? > 0, из (3.2.31) имеем
u
0
(x, y) =
?
Z
0
?
1+??2?
G
?, ?
(x, ?, y) d?.
Подставляя в последний интеграл функцию G
?, ?
(x, ?, y)
из (3.2.24), меняя
затем порядок интегрирования, получим
u
0
(x, y) = A
?
y
J
4
(x, y),
где
J
4
(x, y) =
x
?
2y
e
?
x2
4y
?
Z
0
?
1+???
e
?
?2
4y
I
?
 x?
2y

d?.


92
Интеграл в последнем равенстве вычислим по формуле (1.1.25). При ? =
2 + ? ? ?, ? = ?, p = 1/(4y)
и c = x/(2y) из нее находим
J
4
(x, y) =
?(1 + ?/2)
?(1 + ?)
x
2?
(4y)
?/2??
e
?
x2
4y
1
F
1

1 + ?/2; 1 + ?;
x
2
4y

.
Найденное значение J
4
(x, y)
подставим в интеграл (1.3.70) при µ = 0, затем
сделаем в нем замену t = y
?
?.
В результате будем иметь
u
0
(x, y) =
?(1 + ?/2)
2
???
?(1 + ?)
x
?
y
???(???)/2?1
?
Z
0
K
1

a
?

K
2
(? )
d?
?
,
(3.2.47)
где
K
1
(? ) = ?
?/2
e
??
1
F
1
(1 + ?/2; 1 + ?; ? ) ,
K
2
(? ) = ?
1?(???)/2
? (? ?, 0; ? ? ) , a =
x
2
4y
?
.
Интеграл в (3.2.47) вычислим с помощью метода, изложенного в [33, с. 9].
Из строки 12.2(1) џ 10 [33, с. 263] базовой таблицы найдем преобразование
Меллина функции e
??
1
F
1
(1 + ?/2; 1 + ?; ? )
?(1 + ?)
?(? ? ?/2)
?(s)?(? ? ?/2 ? s)
?(1 + ? ? s)
, 0 <
Re s < ? ? ?/2, ? < 2?.
Тогда, в силу свойства 1.4 џ 10 [33, с. 130], образом функции K
1
(? )
будет
K
?
1
(s) =
?(1 + ?)
?(? ? ?/2)
?(?/2 + s)?((? ? ?)/2 ? s)
?(1 + ?/2 ? s)
,
где ??/2 < Re s < (? ? ?)/2, ? < 2?.
Преобразование Меллина функции ?(??, 0; ??) можно найти из формулы
(1.3.75), приведенной выше в настоящей работе. Положив в ней µ = 0, ? = s
и используя определение (1.3.70), в котором произведем замену t = y
?
?,


93
получим
?
Z
0
?
s?1
? (? ?, 0; ? ? ) d? =
?(s)
?(? s)
,
Re s > 0.
Тогда, в силу свойства 1.4 џ 10 [33, с. 130], образ второй функции K
2
(? )
най-
дем, если в правой части заменим s на 1 ? (? ? ?)/2 + s, то есть
K
?
2
(s) =
?(1 ? (? ? ?)/2 + s)
?(? ? ?(? ? ?)/2 + ? s)
,
Re s > (? ? ?)/2 ? 1.
Перемножив образы K
?
i
(s), i = 1, 2,
имеем
K
?
(s) =
?(1 + ?)
?(? ? ?/2)
?(1 ? (? ? ?)/2 + s)?(?/2 + s)?((? ? ?)/2 ? s)
?(? ? ?(? ? ?)/2 + ? s)?(1 + ?/2 ? s)
,
где ? min { ?/2, 1 ? (? ? ?)/2 } < Re s < (? ? ?)/2, ? < 2?.
Вычисляя теперь прообраз функции K
?
(s),
получим значение искомого
интеграла в (3.2.47)
?(1 + ?)
?(? ? ?/2)
Ч
Ч
1
2?i
Z
L
i?
?(1 ? (? ? ?)/2 + s)?(?/2 + s)?((? ? ?)/2 ? s)
?(? ? ?(? ? ?)/2 + ? s)?(1 + ?/2 ? s)

x
2
4 y
?

?s
ds =
=
?(1 + ?)
?(? ? ?/2)
J
?, ?, ???
?

x
y
?/2

,
где L
i?
= (? ? i?, ? + i?), ? min { ?/2, 1 ? (? ? ?)/2 } < ? < (? ? ?)/2,
? < 2?.
Подставив полученное выражение в (3.2.47), приходим к функции
u
0
(x, y) =
?(1 + ?/2)
2
???
?(? ? ?/2)
x
?
y
???(???)/2?1
J
?, ?, ???
?

x
y
?/2

,
которая является решением задачи (3.1.1), (3.2.33), (3.2.34) в случае, когда
?(x) = x
?
, 0 < ? < 2?.
Из (1.1.48) при ? = µ = ?, ? = 2 + ?, r = ? следует представление


94
функции J
?, ?, 2+?
?
(z)
в (3.2.23) в виде ряда
J
?, ?, 2+?
?
(z) =
?
X
k=0
a
k

z
2

?+2k
+ b
k

z
2

??+2k
,
(3.2.48)
где
a
k
=
(?1)
k
k!
?(?? ? k)
?(??? ? ?k)
, b
k
=
(?1)
k
k!
?(? ? k)
?(??k)
.
Тогда из (3.2.23), (3.2.32) и (3.2.48) при ? = 1/2, ? = 1 можно получить
известное представление решения задачи (3.2.35), (3.2.36) для уравнения теп-
лопроводности [54]
u
1
(x, y) =
x
2
?
?
y
Z
0
? (?)
(y ? ?)
3/2
e
?
x2
4(y??)
d?.
Единственность решения доказывается аналогично доказательству един-
ственности решения задачи 3.1.1, с той лишь разницей, что вместо функции
(3.1.5) следует рассматривать функцию
h
r
(?) =
(
1, 0 6 ? 6 r,
0, ? > r + 1,
а вместо функции ?
?, ?
(x, ?, y ? ?)
 фунцию (3.2.24) при µ = 0, ?
r
= {(x, y) :
0 < x < r + 1, 0 < y < T }.
џ 3.3. Вторая краевая задача
Для уравнения (3.1.1) сформулируем вторую краевую задачу в области
?
+
.


95
Задача 3.3.1. Найти регулярное в области ?
+
решение уравнения
(3.1.1), удовлетворяющее краевым условиям
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = ?(x), 0 < x < ?,
(3.3.49)
lim
x?0
x
b
u
x
(x, y) = ?(y),
0 < y < T,
(3.3.50)
где ?(x) и ?(y)  заданные функции.
Обозначим через
K
?, ?
(x, y) = ?
x
?
y
??/2?1
2
1??
?(1 ? ?)
J
?, ?, 2??
??

x
y
?/2

,
(3.3.51)
G
?, µ, ?
(x, ?, y ? ?) = A
?, µ
t
g(x, ?, t)
t=y??
,
(3.3.52)
где
g(x, ?, t) =
x
?
?
?
2t
e
?
x2+?2
4t
I
??
 x?
2t

.
(3.3.53)
В случае µ = 0 будем обозначать G
?, 0, ?
= G
?, ?
.
Теорема 3.3.1. Пусть ?(x) ? C[0, ?), y
1??
?(y) ? C[0, T ]
и выполнено
условие (3.2.26). Тогда функция
u(x, y) =
?
Z
0
?
1?2?
G
?, ?
(x, ?, y) ?(?) d? +
y
Z
0
K
?, ?
(x, y ? ?) ?(?) d?,
(3.3.54)
где G
?, ?
(x, ?, y)
определяется из (3.3.52), является регулярным решением
задачи 3.3.1.
Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих условию
(3.2.28).
Как и в случае доказательства теоремы 3.2.1, предварительно докажем
две леммы, которые будут обеспечивать законность перестановок знаков про-
изводных и интегралов при дифференцировании по x и взятии дробной про-


96
изводной по y порядка ?.
Лемма 3.3.1. Для функции (3.3.52) при x? < 2y справедливы следующие
оценки:
?
2n
?x
2n
G
?, µ, ?
(x, ?, y)
6 const · y
????n+µ?1
,
?
2n+1
?x
2n+1
G
?, µ, ?
(x, ?, y)
6 const · x y
????n??+µ?1
,
(3.3.55)
D
?
0y
G
?, µ, ?
(x, ?, y)
6 const · y
????+µ?1
,
при x? > 2y  оценки:
?
n
?x
n
G
?, µ, ?
(x, ?, y)
6 const · P
n
(x, ?, y) exp
h
? ?
0
|x ? ?|
2
2??
y
?
?
2??
i
,
D
?
0y
G
?, µ, ?
(x, ?, y)
6 const · P
2
(x, ?, y) exp
h
? ?
0
|x ? ?|
2
2??
y
?
?
2??
i
,
где ?
0
и P
n
(x, ?, y)
определяются из (2.1.6) и (2.1.7), n = 0, 1, 2, ...
Для получения оценок производных по x высоких порядков, а также про-
изводной по y, воспользуемся формулами (1.1.21), (1.1.22) и реккурентными
соотношениями (1.1.23), (1.1.24). Тогда из поведения функции I
?
(z)
при ма-
лых значениях z (1.1.19), а также условия 0 < e
?z
< 1, z > 0,
получим оценки
для функции (3.3.53) при x? < 2y
?
2n
?x
2n
g(x, ?, y)
6 const · y
??n?1
,
?
2n+1
?x
2n+1
g(x, ?, y)
6 const · x y
??n?2
,
?
?y
g(x, ?, y)
6 const · y
??2
,
где n = 0, 1, 2, ...
Применяя к найденным оценкам преобразование A
?, µ
по переменной y
с помощью формулы (1.3.75), в силу свойств (1.3.71) и (1.3.74), приходим к


97
оценкам леммы 3.3.1 при x? < 2y.
Оценки при x? > 2y для функции (3.3.52) такие же как и для функций
(2.1.3) и (3.2.24).
Лемма 3.3.2. Для функции (3.3.51) при x < (y ? ?)
?/2
справедливы сле-
дующие оценки:
?
2n
?x
2n
K
?, ?
(x, y ? ?)
6 const · (y ? ?)
????n?1
,
?
2n+1
?x
2n+1
K
?, ?
(x, y ? ?)
6 const · x (y ? ?)
????n???1
,
D
?
?y
K
?, ?
(x, y ? ?)
6 const · (y ? ?)
?????1
,
при x > (y ? ?)
?/2
 оценки:
?
n
?x
n
K
?, ?
(x, y ? ?)
6 const · Q
n
(x, y ? ?) exp
h
? ?
0
x
2
2??
(y ? ?)
?
?
2??
i
,
D
?
?y
K
?, ?
(x, y ? ?)
6 const · Q
2
(x, y ? ?) exp
h
? ?
0
x
2
2??
(y ? ?)
?
?
2??
i
,
где ?
0
= (2 ? ?) ?
?
2??
2
?
2
2??
, Q
n
(x, y) = x
n?+2?(1??)
2??
y
?
? (n??)
2??
?1
, n = 0, 1, 2, ...
Для получения оценок леммы 3.3.2 покажем, что представление функции
(3.3.51) эквивалентно представлению
K
?, ?
(x, y) = ?
2
2??1
?(1 ? ?)
A
?
y
y
??1
e
?
x2
4y
.
(3.3.56)
Действительно, из формулы (1.3.81) при µ = 0, ? = ?, c = x имеем
K
?, ?
(x, y) = ?
x
2?
y
?1
2 ?(1 ? ?)
H
2, 0
1, 2
?
?
x
2
4 y
?
0, ?

? ?, 1
, 0, 1 
?
?
.
Отсюда, согласно (1.1.58) при r = ??, ? = ? и µ = 0, приходим к (3.3.51).


98
Обозначим через
k(x, y) = y
??1
e
?
x2
4y
.
При x <
?
y
получим
?
2n
?x
2n
k(x, y)
6 const · y
??n?1
,
?
2n+1
?x
2n+1
k(x, y)
6 const · x y
??n?2
,
где n = 0, 1, 2, ...
Для производной по y приходим к оценке
?
?y
k(x, y)
6 const · y
??2
.
Применяя к полученным оценкам преобразование A
?
по переменной y с помо-
щью формулы (1.3.75), в силу свойств (1.3.71) и (1.3.74), приходим к оценкам
леммы 3.3.2 при x < y
?/2
.
При x >
?
y
для производных по x n-го порядка, где n = 0, 1, 2, ..., и
производной по y от функции k(x, y) получим оценки
?
n
?x
n
k(x, y)
6 const · x
n
y
??n?1
e
?
x2
4y
,
?
?y
k(x, y)
6 const · x
2
y
??3
e
?
x2
4y
.
Как и для оценок леммы 3.2.2, применим к полученным оценкам преоб-
разование A
?
по переменной y с помощью формулы (1.3.81), затем восполь-
зуемся асимптотической формулой (1.1.60). Тогда, в силу свойств (1.3.71) и
(1.3.74), приходим к оценкам леммы 3.3.2 при x > y
?/2
.
Доказательство теоремы 3.3.1. Предствим функцию (3.3.54) в виде


99
u(x, y) = u
0
(x, y) + u
1
(x, y),
где
u
0
(x, y) =
?
Z
0
?
1?2?
G
?, ?
(x, ?, y) ?(?) d?,
(3.3.57)
u
1
(x, y) =
y
Z
0
K
?, ?
(x, y ? ?) ?(?) d?.
(3.3.58)
Докажем, что функция u
0
(x, y)
удовлетворяет уравнению (3.1.1) и усло-
виям
lim
y?0
D
??1
0y
u
0
(x, y) = ?(x), 0 < x < ?,
(3.3.59)
lim
x?0
x
b
?
?x
u
0
(x, y) = 0, 0 < y < T,
(3.3.60)
а функция u
1
(x, y)
 уравнению (3.1.1) и условиям
lim
y?0
D
??1
0y
u
1
(x, y) = 0, 0 < x < ?,
(3.3.61)
lim
x?0
x
b
?
?x
u
1
(x, y) = ?(y), 0 < y < T.
(3.3.62)
То, что функция (3.3.57) удовлетворяет уравнению (3.1.1) следует из ра-
венства g(x, ?, t) = 2 g
1
(x, ?, t),
где функция g
1
(x, ?, t)
определяется из (2.1.9).
Проверим выполнимость условия (3.3.59). Согласно формуле (1.3.73) за-
пишем
lim
y?0
D
??1
0y
u
0
(x, y) = lim
y?0
?
Z
0
?
1?2?
g(x, ?, y) ?(?) d? =
= lim
y?0
?
?
?
Z
0
?
1?2?
g(x, ?, y) [?(?) ? ?(x)] d? + ?(x)
?
Z
0
?
1?2?
g(x, ?, y) d?
?
?
=
= lim
y?0
[J
1
(x, y) + J
2
(x, y)] .


100
Разбивая промежуток интегрирования на части, представим J
1
(x, y)
в виде
J
1
(x, y) =
x??
Z
0
?
1?2?
g(x, ?, y) [?(?) ? ?(x)] d?+
+
x+?
Z
x??
?
1?2?
g(x, ?, y) [?(?) ? ?(x)] d? +
?
Z
x+?
?
1?2?
g(x, ?, y) [?(?) ? ?(x)] d? =
= J
11
(x, y) + J
12
(x, y) + J
13
(x, y),
(3.3.63)
где ?  произвольное малое положительное число.
Из (1.1.20) и представления (3.3.53) следует оценка
| g(x, ?, y) | 6 const · x
??1/2
?
??1/2
y
?1/2
e
?
(x??)2
4y
, x? > 2y,
(3.3.64)
откуда получаем, что lim
y?0
J
11
(x, y) = lim
y?0
J
13
(x, y) = 0.
Обозначив через ?(?) = sup |?(x)??(?)|, где ? ? [x??, x+?], в силу непре-
рывности функции ?(x) и произвольности выбора ? нетрудно убедиться, что
lim
y?0
J
12
(x, y) = 0.
Выполнимость однородного условия (3.3.60) следует из оценки (3.3.55)
при n = 0.
Вычислим интеграл J
2
(x, y).
Из представления (3.3.53) следует
J
2
(x, y) =
x
?
?(x)
2y
e
?
x2
4y
?
Z
0
?
1??
e
?
?2
4y
I
??
 x?
2y

d?.
(3.3.65)
Тогда из формулы (1.1.26) при p = 1/(4y), ? = ??, c = x/(2y) получим
?
Z
0
?
1??
e
?
?2
4y
I
??
 x?
2y

d? =
2y
x
?
e
x2
4y
.
Подставляя полученное выражение в (3.3.65), находим J
2
(x, y) = ?(x).


101
Таким образом, lim
y?0
D
??1
0y
u
0
(x, y) = ?(x).
Перейдем к доказательству для функции u
1
(x, y).
Продифференцируем
равенство (3.3.58), используя формулу (1.1.55) при ? = µ = ?, ? = 2 ? ?,
r = ??.
В результате получим
?
?x
u
1
(x, y) =
y
Z
0
?
?x
K
?, ?
(x, y ? ?) ?(?) d?,
(3.3.66)
где
?
?x
K
?, ?
(x, y) =
x
?
y
??/2??/2?1
2
1??
?(1 ? ?)
J
?, ?, 3??
1??

x
y
?/2

.
(3.3.67)
Умножим (3.3.67) на x
1?2?
и продифференцируем полученное равенство по
x,
используя формулу (1.1.56) при ? = µ = ?, ? = 3 ? ?, r = 1 ? ?. Умножим
затем полученное равенство на x
2??1
.
В итоге получим
B
x
u
1
(x, y) =
y
Z
0
B
x
K
?, ?
(x, y ? ?)?(?) d?,
(3.3.68)
где
B
x
K
?, ?
(x, y) =
x
?
y
??/2???1
2
1??
?(1 ? ?)
J
?, ?, 4??
??

x
y
?/2

.
Далее, из формулы (1.2.69) при ? = ? = µ = ?, ? = 2 ? ?, r = ??, a = ? и
? = x
следует, что
D
?
0y
u
1
(x, y) =
y
Z
0
?(?) D
?
?y
K
?, ?
(x, y ? ?) d?,
(3.3.69)
где
D
?
?y
K
?, ?
(x, y ? ?) = ?
x
?
y
??/2???1
2
1??
?(1 ? ?)
J
?, 0, 2??
??

x
y
?/2

.
Из равенств (3.3.68), (3.3.69) и формулы (1.1.57) при n = 1 заключаем,
что функция (3.3.58) удовлетворяет уравнению (3.1.1).
Проверим теперь выполнимость граничного условия (3.3.62). Для этого


102
запишем равенство (3.3.66) в виде
?
?x
u
1
(x, y) =
y??
Z
0
 ?
1??
?(?) ? y
1??
?(y)
 ?
??1
?
?x
K
?, ?
(x, y ? ?) d? +
+
y
Z
y??
 ?
1??
?(?) ? y
1??
?(y)
 ?
??1
?
?x
K
?, ?
(x, y ? ?) d? +
+ y
1??
?(y)
y
Z
0
?
??1
?
?x
K
?, ?
(x, y ? ?) d? = J
1
(x, y) + J
2
(x, y) + J
3
(x, y),
где ?  произвольное малое положительное число.
При x ? 0 из леммы 3.3.2 имеем оценку
?
?x
K
?, ?
(x, y ? ?)
6 const · x (y ? ?)
?????1
.
В силу ? < 1 отсюда следует равенство lim
x?0
x
1?2?
J
1
(x, y) = 0.
Представим интеграл J
2
(x, y)
в виде суммы интегралов J
21
(x, y)
и J
22
(x, y)
по отрезкам [ y ? ?, y ? x
2/?
]
и [ y ? x
2/?
, y ]
соответственно. Обозначим через
?(?) = sup | ?
1??
?(?) ? y
1??
?(y)|,
где ? ? [y ??, y]. Так как функция y
1??
?(y)
непрерывна в окрестности точки y, то ?(?) ? 0 при ? ? 0. Оценим теперь
интеграл J
2
(x, y)
|J
2
(x, y)| 6 ?(?) { |J
21
(x, y)| + |J
22
(x, y)| }.
(3.3.70)
Из леммы 3.3.2 при ? 6 y ? x
2/?
и любого фиксированного y > ? > 0 следует
|J
21
(x, y)| 6 const · x
y?x
2/?
Z
y??
?
??1
(y ? ?)
?????1
d?,


103
откуда после замены переменной интегрирования t = x
2/?
(y ? ?)
?1
,
получим
|J
21
(x, y)| 6 const · x
2??1
1
Z
?
?1
x
2/?

y ? t
?1
x
2/?

??1
t
? (1??)?1
dt.
Функция g (t) = y ? t
?1
x
2/?

??1
является убывающей, поэтому на отрезке
[ ?
?1
x
2/?
, 1 ]
имеет место ограничение g (t) 6 (y ??)
??1
.
Тогда в силу условия
? (1 ? ?) > 0
получим lim
x?0
x
1?2?
J
21
(x, y) =
const · (y ? ?)
??1
.
При ? > y ? x
2/?
и фиксированного y из леммы 3.3.2 следует
|J
22
(x, y)| 6 const·x
?+2?(1??)
2??
y
Z
y?x
2/?
?
??1
(y??)
?
?(1??)
2??
?1
exp
"
? ?
0
x
2
2??
(y ? ?)
?
2??
#
d?.
Сделав в последнем интеграле замену t = x
2
2??
(y ? ?)
?
?
2??
,
будем иметь
|J
22
(x, y)| 6 const · x
2??1
?
Z
1

y ? x
2/?
t
1?2/?

??1
t
??
exp [ ? ?
0
t ] dt,
откуда lim
x?0
x
1?2?
J
22
(x, y) =
const · y
??1
.
Тогда в силу непрерывности функции y
1??
?(y)
при y > 0 и произвольно-
сти выбора ?, из (3.3.70) получаем lim
x?0
x
1?2?
J
2
(x, y) = 0.
В интеграле J
3
(x, y)
произведем замену переменной интегрирования по
формуле t = y ? ?. В результате будем иметь
J
3
(x, y) = y
1??
?(y)
y
Z
0
(y ? t)
??1
?
?x
K
?, ?
(x, t) dt =
= y
1??
?(y) ? (?) D
??
0y
?
?x
K
?, ?
(x, y).
(3.3.71)
Применяя формулу (1.2.69) при ? = ??, ? = µ = ?, ? = 3 ? ?, r = 1 ? ?,


104
a = 0
и ? = x к функции (3.3.67), находим
D
??
0y
?
?x
K
?, ?
(x, y) =
x
?
y
??/2+?/2?1
2
1??
?(1 ? ?)
J
?, 2?, 3??
1??

x
y
?/2

.
Домножив обе части последнего равенства на x
1?2?
и переходя с помощью
формулы (1.1.51) к пределу при x ? 0, приходим к равенству
lim
x?0
x
1?2?
D
??
0y
?
?x
K
?, ?
(x, y) =
y
??1
?(?)
.
Тогда из (3.3.71) получим lim
x?0
x
1?2?
J
3
(x, y)
=
?(y).
Таким образом,
lim
x?0
x
1?2? ?
?x
u
1
(x, y) = ?(y).
Далее, применяя оператор дробного интегрирования порядка ? ? 1
к функции (3.3.58) по формуле (1.2.69), получим
D
??1
0y
u
1
(x, y) =
y
Z
0
?(?) D
??1
?y
K
?, ?
(x, y ? ?) d?,
(3.3.72)
где
D
??1
?y
K
?, ?
(x, y ? ?) = ?
x
?
(y ? ?)
??/2??
2
1??
?(1 ? ?)
J
?, 1, 2??
??

x
(y ? ?)
?/2

.
Отсюда, в силу непрерывности подынтегральной функции в (3.3.72), имеем
lim
y?0
D
??1
0y
u
1
(x, y) = 0.
Представления решения в частных случаях. Заметим, что из
(3.3.52) и (3.3.53) при ? = 1/2 (b = 0), в силу второго представления (1.1.27),
а также (1.1.39) и (1.3.77), получим решение краевой задачи (3.3.59), (3.3.60)
для уравнения диффузии дробного порядка в виде
u
0
(x, y) =
?
Z
0
G
?, 1/2
(x, ?, y) ?(?) d?,


105
где
G
?, 1/2
(x, ?, y) =
y
??1
2

?

??, ?; ?
|x ? ?|
y
?

+ ?

??, ?; ?
x + ?
y
?

, ? =
?
2
.
При ?(x) = x
?
, 0 < ? < 2?,
решение задачи (3.1.1), (3.3.59), (3.3.60)
нетрудно получить, повторив рассуждения, аналогичные проведенным в слу-
чае первой краевой задачи в полуполосе для уравнения (3.1.1),
u
0
(x, y) =
?(1 ? ? + ?/2)
2
???
?(??/2)
x
?
y
???(???)/2?1
J
?, ?, ???
??

x
y
?/2

.
Из (1.1.48) при ? = µ = ?, ? = 2 ? ?, r = ?? следует представление
функции J
?, ?, 2??
??
(z)
в (3.3.51) в виде ряда
J
?, ?, 2??
??
(z) =
?
X
k=0
a
k

z
2

??+2k
+ b
k

z
2

?+2k
,
(3.3.73)
где
a
k
=
(?1)
k
k!
?(? ? k)
?(?? ? ?k)
, b
k
=
(?1)
k
k!
?(?? ? k)
?(??k)
.
При ? = 1/2, ? = 1 из (3.3.58), (3.3.51) и (3.3.73) нетрудно получить известное
представление решения задачи (3.3.61), (3.3.62) для уравнения теплопровод-
ности [54]
u
1
(x, y) = ?
1
?
?
y
Z
0
?(?)
?
y ? ?
e
?
x2
4(y??)
d?.
Единственность решения доказывается аналогично доказательству един-
ственности решения задачи 3.2.1, только вместо функции (3.2.24) нужно рас-
сматривать функцию (3.3.52) при µ = 0.


106
џ 3.4. Краевые задачи для уравнения с производной Капуто
В области ? = {(x, y) : ?? < x < ?, 0 < y < T } рассмотрим уравнение
B
x
u(x, y) ? ?
?
0y
u(x, y) = 0,
(3.4.74)
где |b| < 1, 0 < ? 6 1.
Регулярным решением уравнения (3.4.74) в области ? будем называть
функцию u = u(x, y), удовлетворяющую уравнению (3.4.74) в области ?, и
такую, что u ? C(Ї?), B
x
u, ?
?
0y
u ? C(?).
Сформулируем задачу Коши для уравнения (3.4.74).
Задача 3.4.1. Найти регулярное в области ? решение уравнения
(3.4.74), удовлетворяющее условию
u(x, 0) = ?(x), ?? < x < ?,
(3.4.75)
где ?(x)  заданная функция.
Теорема 3.4.1. Пусть функция ?(x) удовлетворяет условиям теоре-
мы 3.1.1 и условию Гельдера по переменной x. Тогда функция
u(x, y) =
?
Z
??
|?|
1?2?
?
?, 1??, ?
(x, ?, y) ?(?) d?,
(3.4.76)
где ?
?, 1??, ?
(x, ?, y)
определяется из (2.1.3), является регулярным решением
задачи 3.4.1.
Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих при некото-
ром положительном k условию
lim
|x|??
u(x, y) exp ? k |x|
2
2??
 = 0.
Доказательство теоремы 3.4.1. Если u ? C(Ї?), то, как следует из


107
(1.2.64), справедливо соотношение
?
?
ay
u(x, y) = D
?
ay
u(x, y) ?
u(x, 0)
?(1 ? ?)
y
??
.
(3.4.77)
Тогда, если функция u(x, y) является регулярным решением уравнения
(3.4.74) и удовлетворяет условию (3.4.75), то она является решением урав-
нения
B
x
u(x, y) ? D
?
0y
u(x, y) = ?
?(x) y
??
?(1 ? ?)
,
(3.4.78)
причем, очевидно, что
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) ? 0.
(3.4.79)
Из теоремы 2.2.1 следует, что решение задачи (3.4.78), (3.4.79) имеет вид
u(x, y) =
1
?(1 ? ?)
?
Z
??
y
Z
0
|?|
b
?(?) ?
??
?
?, ?
(x, ?, y ? ?) d? d? =
=
?
Z
??
|?|
b
?(?) D
??1
0y
?
?, ?
(x, ?, y) d?.
Отсюда с помощью формулы (1.2.68) приходим к (3.4.76). Далее доказатель-
ство проводится так же, как и доказательство теоремы 3.1.1.
Рассмотрим теперь уравнение (3.4.74) в области ?
+
.
Регулярным реше-
нием уравнения (3.4.74) в области ?
+
будем называть функцию u = u(x, y),
удовлетворяющую уравнению (3.4.74) в области ?
+
,
и такую, что u ? C(Ї?
+
),
B
x
u, ?
?
0y
u ? C(?
+
).
Первая краевая задача для уравнения (3.4.74) в области ?
+
формули-
руется следующим образом.
Задача 3.4.2. Найти регулярное в области ?
+
решение уравнения


108
(3.4.74), удовлетворяющее краевым условиям
u(x, 0) = ?(x), 0 < x < ?,
(3.4.80)
u(0, y) = ? (y), 0 < y < T.
(3.4.81)
Теорема 3.4.2. Пусть функция ?(x) ? C[0, ?) удовлетворяет условию
Гельдера по переменной x, ?(y) ? C[0, T ], ?(0) = ?(0) и выполнено условие
(3.2.26). Тогда функция
u(x, y) =
?
Z
0
?
1?2?
G
?, 1??, ?
(x, ?, y) ?(?) d? +
y
Z
0
K
?, ?
(x, y ??) ? (?) d?,
(3.4.82)
где G
?, 1??, ?
(x, ?, y)
определяется из (3.2.24), K
?, ?
(x, y)
 из (3.2.23), явля-
ется регулярным решением задачи 3.4.2.
Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих при некото-
ром положительном k условию
lim
x??
u(x, y) exp ? k x
2
2??
 = 0.
(3.4.83)
Сформулируем вторую краевую задачу для уравнения (3.4.74) в области
?
+
.
Задача 3.4.3. Найти регулярное в области ?
+
решение уравнения
(3.4.74), удовлетворяющее краевым условиям (3.4.80) и
lim
x?0
x
b
u
x
(x, y) = ?(y), 0 < y < T.
(3.4.84)
Теорема 3.4.3. Пусть функция ?(x) ? C[0, ?) удовлетворяет условию
Гельдера по переменной x, ?(y) ? C[0, T ] и выполнено условие (3.2.26). Тогда


109
функция
u(x, y) =
?
Z
0
?
1?2?
G
?, 1??, ?
(x, ?, y) ?(?) d? +
y
Z
0
K
?, ?
(x, y ??) ?(?) d?,
(3.4.85)
где G
?, 1??, ?
(x, ?, y)
определяется из (3.3.52), K
?, ?
(x, y)
 из (3.3.51), явля-
ется регулярным решением задачи 3.4.3.
Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих условию
(3.4.83).
Представления (3.4.82) и (3.4.85) следуют из соотношения (3.4.77) и тео-
ремы 2.2.1. Далее доказательства теорем 3.4.2 и 3.4.3 аналогичны доказатель-
ствам теорем 3.2.1 и 3.3.1.
џ 3.5. Уравнение с переменным младшим коэффициентом
В области ? = {(x, y) : ?? < x < ?, 0 < y < T } рассмотрим уравнение
L u(x, y) ? B
x
u(x, y) ? D
?
0y
u(x, y) + c(x, y)u(x, y) = f (x, y),
(3.5.86)
где c(x, y)  непрерывная функция.
Функцию u = u(x, y), удовлетворяющую уравнению (3.5.86) в области
?,
и такую, что ограниченная функция y
1??
u ? C( Ї
?), B
x
u, D
?
0y
u ? C(?),
назовем регулярным решением уравнения (3.5.86) в области ?.
Перепишем уравнение (3.5.86) в виде
B
x
u(x, y) ? D
?
0y
u(x, y) = f (x, y) ? c(x, y)u(x, y)
(3.5.87)
и будем рассматривать правую часть (3.5.87) как известную функцию.
Тогда эквивалентным уравнению (3.5.87) и условию
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = 0, ?? < x < ?,
(3.5.88)


110
будет интегральное уравнение
u(x, y) =
y
Z
0
?
Z
??
|?|
1?2?
?
?, ?
(x, ?, y ? ?) c(?, ?) u(?, ?) d? d??
?
y
Z
0
?
Z
??
|?|
1?2?
?
?, ?
(x, ?, y ? ?) f (?, ?) d? d?,
(3.5.89)
где ?
?, ?
(x, ?, y)
определяется из (2.1.3).
Умножим обе части равенства (3.5.89) на y
1??
и введем обозначения
v(x, y) = y
1??
u(x, y),
Av = y
1??
y
Z
0
?
Z
??
|?|
1?2?
?
??1
?
?, ?
(x, ?, y ? ?) c(?, ?) v(?, ?) d? d?,
F = ? y
1??
y
Z
0
?
Z
??
|?|
1?2?
?
?, ?
(x, ?, y ? ?) f (?, ?) d? d?.
Тогда уравнение (3.5.89) можно записать в виде
v = Av + F.
(3.5.90)
Пусть c
0
= sup
(x,y)? Ї
?
|c(x, y)|, v
0
= sup
(x,y)? Ї
?
|v(x, y)|.
В силу свойства 5
?
функции
?
?, ?
(x, ?, y)
имеем
|Av| 6 c
0
v
0
y
1??
y
Z
0
?
??1
?
Z
??
|?|
1?2?
?
?, ?
(x, ?, y ? ?) d? d?.
(3.5.91)
Согласно равенству (2.1.24) внутренний интеграл равен
?
Z
??
|?|
1?2?
?
?, ?
(x, ?, y ? ?) d? =
(y ? ?)
??1
?(?)
.


111
Тогда, учитывая равенство
y
Z
0
?
??1
(y ? ?)
??1
d? = y
2??1
B(?, ?),
ограничение y < T и формулу (1.1.5), из (3.5.91) получим
|Av| 6
?(?) T
?
?(2?)
c
0
v
0
.
Согласно общей теории операторных уравнений [25], [49], если kAk < 1, то
уравнение (3.5.90) имеет единственное решение, которое определяется рядом
Неймана
v = F + AF + A
2
F + ... + A
n
F + ...
(3.5.92)
Таким образом, если
sup
(x,y)? Ї
?
|c(x, y)| <
?(2?)
?(?) T
?
,
то ряд Неймана (3.5.92) сходится к непрерывной функции v, а интеграль-
ное уравнение (3.5.89) имеет единственное решение в указанном выше клас-
се. Пользуясь далее свойствами функции ?
?, ?
(x, ?, y),
нетрудно показать,
что построенная таким образом функция является решением задачи Коши
(3.5.86), (3.5.88) в области ?.


112
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В диссертации, посвященной исследованию краевых задач для дифферен-
циальных уравнений с оператором Бесселя и частными производными дроб-
ного порядка, получены следующие основные результаты:
1. Построено фундаментальное решение дифференциального уравнения с
оператором Бесселя, действующим по пространственной переменной,
и дифференциальным оператором РиманаЛиувилля, действующим по
временной переменной. Исследованы основные свойства построенного
фундаментального решения. Доказана теорема об общем представлении
решения в прямоугольной области.
2. Построены функции Грина первой, второй и смешанных краевых задач
в прямоугольной области для дифференциального уравнения с опера-
тором Бесселя и частной производной РиманаЛиувилля.
3. Исследована задача Коши для дифференциальных уравнений с опера-
тором Бесселя, частными производными РиманаЛиувилля и Капуто.
4. Исследованы первая и вторая краевые задачи в полуполосе для диф-
ференциальных уравнений с оператором Бесселя, частными производ-
ными РиманаЛиувилля и Капуто.
5. Доказана единственность решения краевых задач в неограниченных об-
ластях в классах функций, удовлетворяющих аналогу условию Тихо-
нова. Показана неулучшаемость показателя степени в условии един-
ственности.


113
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эр-
дейи.  М.: Наука, 1965.  Т. 1.
2. Ватсон, Г. Н. Теория бесселевых функций / Г. Н. Ватсон.  М.: Изда-
тельство иностранной литературы, 1949.  787 с.
3. Ворошилов, А. А. Задача Коши для диффузионно-волнового уравне-
ния с частной производной Капуто / А. А. Ворошилов, А. А. Килбас //
Дифференц. уравнения.  2006.  Т. 42, ќ 5.  С. 599609.
4. Ворошилов, А. А. Задача типа Коши для диффузионно-волнового урав-
нения с частной производной РиманаЛиувилля / А. А. Ворошилов,
А. А. Килбас // Доклады Академии наук.  2006.  Т. 406, ќ 1.  C.
1216.
5. Гарипов, И. Б. Краевая задача для одного параболического уравнения с
оператором Бесселя с интегральным условием первого рода / И. Б. Га-
рипов, Р. М. Мавлявиев // Известия ТулГУ. Естественные науки. 
2013.  Вып. 1.  С. 512.
6. Гарипов, И. Б. Краевая задача для одного параболического уравне-
ния с оператором Бесселя с интегральным условием второго рода /
И. Б. Гарипов, Р. М. Мавлявиев // Известия ТулГУ. Естественные нау-
ки.  2014.  Вып. 1, Ч. 1.  С. 1421.
7. Геккиева, С. Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с
дробной по времени производной / С. Х. Геккиева // Доклады Адыгской
(Черкесской) Международной академии наук.  2000.  Т. 5, ќ 1. 
С. 1619.
8. Геккиева, С. Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса
с дробной производной в полубесконечной области / С. Х. Геккиева //
Известия КБНЦ РАН.  2002.  ќ 1 (8).  С. 68.


114
9. Горьков, Ю. П. О представлении решения одной краевой задачи для
стационарного уравнения броуновского движения / Ю. П. Горьков //
Вычислительные методы и программирование.  2004.  Т. 5.  С. 118
123.
10. Горьков, Ю. П. Об асимптотике решения броуновского движения /
Ю. П. Горьков // Вычислительные методы и программирование. 
2003.  Т. 4.  С. 1925.
11. Горьков, Ю. П. Построение фундаментального решения параболичес-
кого уравнения с вырождением / Ю. П. Горьков // Вычислительные
методы и программирование.  2005.  Т. 6.  С. 6670.
12. Джрбашян, М. М. Интегральные преобразования и представления
функций в комплексной области / М. М. Джрбашян.  М.: Наука,
1966.  672 c.
13. Динариев, О. Ю. Фильтрация в трещиноватой среде с фрактальной гео-
метрией трещин / О. Ю. Динариев // Механика жидкости и газа. 
1990.  ќ 5.  С. 6670.
14. Диткин, В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисле-
ние / В. А. Диткин, А. П. Прудников.  М.: Физматлит, 1961.  524 с.
15. Житомирский, Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в
частных производных с дифференциальными операторами типа Бес-
селя / Я. И. Житомирский // Математический сборник.  1955. 
Т. 36(78), ќ 2.  С. 299310.
16. Зеленый, Л. М. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории
перколяции к проблемам космической электродинамики / Л. М. Зеле-
ный, А. В. Милованов // Успехи физических наук.  2004.  Т. 178, ќ 8. 
С. 809852.
17. Катрахов, В. В. Метод операторов преобразования и краевые задачи
для сингулярных эллиптических уравнений / В. В. Катрахов, С. М. Сит-


115
ник // Современная математика. Фундаментальные направления. 
2018.  Т. 64, ќ 2.  С. 211426.
18. Килбас, А. А. Теория и приложения дифференциальных уравнений
дробного порядка (курс лекций) / А. А. Килбас // Методологическая
школа-конференция ѕМатематическая физика и нанотехнологииї. Са-
мара, 2009.  121 с.
19. Киприянов, И. А. О краевых задачах в областях общего вида для сингу-
лярных параболических систем уравнений / И. А. Киприянов, В. В. Ка-
трахов, В. М. Ляпин // ДАН СССР.  1976.  Т. 230, ќ 6.  С. 12711274.
20. Киприянов, И. А. Оптимальное управление процессами, описываемыми
сингулярными уравнениями параболического типа / И. А. Киприянов,
А. А. Куликов // Дифференц. уравнения.  1994.  Т. 30, ќ 11.  С. 1982
1987.
21. Киприянов, И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи /
И. А. Киприянов.  М.: Наука. Физматлит, 1997.  208 с.
22. Кочубей, А. Н. Диффузия дробного порядка / А. Н. Кочубей // Диф-
ференц. уравнения.  1990.  Т. 26, ќ 4.  С. 660670.
23. Кочубей, А. Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного
порядка / А. Н. Кочубей // Дифференц. уравнения.  1989.  Т. 25,
ќ 8.  С. 13591368.
24. Кочубей, А. Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного
порядка / А. Н. Кочубей, С. Д. Эйдельман // Доклады АН.  2004. 
Т. 394, ќ 2.  С. 159161.
25. Краснов, М. Л. Интегральные уравнения / М. Л. Краснов.  М.: Наука,
1975.  304 c.
26. Кузнецов, Д. С. Специальные функции / Д. С. Кузнецов.  М.: Высшая
школа, 1962.  248 c.


116
27. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного /
М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат.  М.: Наука, 1965.  716 c.
28. Лебедев, Н. Н. Специальные функции и их приложения / Н. Н. Лебе-
дев.  М.: Физматлит, 1963.  359 c.
29. Ляхов, Л. Н. Задача Коши для параболических систем дифференциаль-
ных уравнений с D
B
-оператором Бесселя / Л. Н. Ляхов, Л. Б. Райхель-
гауз // Вестник Воронежского государственного университета. Серия:
Физика. Математика.  2010.  ќ 2.  С. 118125.
30. Ляхов, Л. Н. Фундаментальное решение сингулярных дифференциаль-
ных уравнений с D
B
-оператором Бесселя / Л. Н. Ляхов // Труды Мате-
матического института им. В. А. Стеклова.  2012.  Т. 278.  С. 148160.
31. Мальшаков, А. В. Уравнения гидродинамики для пористых сред со
структурой порового пространства, обладающей фрактальной геомет-
рией / А. В. Мальшаков // Инженерно-физический журнал.  1992. 
Т. 62, ќ 3.  С. 405410.
32. Мамчуев, М. О. Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с
частными производными дробного порядка / М. О. Мамчуев.  Наль-
чик.: Изд-во КБНЦ РАН, 2013.  200 c.
33. Маричев, О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций
(теория и таблицы формул) / О. И. Маричев.  Мн.: Наука и техника,
1978.  312 с.
34. Матiйчук, M. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi / M. I. Матiй-
чук.  КиЁ?в: Iн-т математики НАН УкраЁ?ни, 1999.  176 с.
35. Нахушев, А. М. О правильной постановке краевых задач для парабо-
лических уравнений со знакопеременной характеристической формой /
А. М. Нахушев // Дифференциальные уравнения.  1973.  Т. 9, ќ 1. 
С. 130135.
36. Нахушев, А. М. Дробное исчисление и его применение / А. М. Наху-
шев.  М.: Физматлит, 2003.  272 c.


117
37. Нахушева, З. А. Задача Самарского для уравнения фрактальной диф-
фузии / З. З. Нахушева // Математические заметки.  2014.  Т. 95,
вып. 6.  С. 878883.
38. Новоженова, О. Г. Биография и научные труды Алексея Никифоро-
вича Герасимова. О линейных операторах, упруго-вязкости, элевтерозе
и дробных производных / О. Г. Новоженова.  М.: Перо, 2018.  235 c.
39. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Т. 2. Специальные функции /
А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев.  М.: Наука, 1983. 
752 с.
40. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Т. 3. Дополнительные главы /
А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев.  М.: Наука, 1986. 
800 с.
41. Псху, А. В. Об обращении интегрального преобразования Б. Станко-
вича / А. В. Псху // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной
академии наук.  2013.  Т. 15, ќ 2.  С. 6467.
42. Псху, А. В. Интегральное преобразование с функцией Райта в ядре /
А. В. Псху // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной акаде-
мии наук.  2002.  Т. 6, ќ 1.  С. 3547.
43. Псху, А. В. Первая краевая задача для дробного диффузионно-
волнового уравнения в нецилиндрической области / А. В. Псху // Из-
вестия РАН. Серия математическая.  2017.  Т. 81, ќ 6.  С. 158179.
44. Псху, А. В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного
порядка методом функции Грина / А. В. Псху // Дифференц. уравне-
ния.  2003.  Т. 39, ќ 10.  С. 14301433.
45. Псху, А. В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии
дробного порядка / А. В. Псху // Дифференц. уравнения.  2003.  Т. 39,
ќ 9.  С. 1286-1289.


118
46. Псху, А. В. Уравнение дробной диффузии с оператором дискретно рас-
пределенного дифференцирования / А. В. Псху // Сибирские электрон-
ные математические известия.  2016.  Т. 13.  С. 1078-1098.
47. Псху, А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка /
А. В. Псху.  М.: Наука, 2005.  199 c.
48. Псху, А. В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравне-
ния / А. В. Псху // Известия РАН. Серия математическая.  2009. 
Т. 73, ќ 2.  С. 141182.
49. Садовничий, В.А. Теория операторов / В.А. Садовничий.  М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1986.  368 с.
50. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев.  Мн.:
Наука и техника, 1987.  688 с.
51. Ситник, С.М. Метод операторов преобразования для дифференциаль-
ных уравнений с операторами Бесселя / С. М. Ситник, Э. Л. Шишки-
на.  М.: Физматлит, 2018.  246 с.
52. Терсенов, С. А. Параболические уравнения с меняющимся направле-
нием времени / С. А. Терсенов.  М.: Наука. Сибирское отделение,
1985.  105 с.
53. Тихонов, А. Н. Собрание научных трудов: в десяти томах. II. Мате-
матика. Ч. 2. Вычислительная математика. 1956-1979. Математическая
физика. 1933-1948. / Ред.-сост. Т.А. Сушкевич, А.В. Гулин.  М.: Наука,
2009.  590 с.
54. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов,
А. А. Самарский.  М.: Наука, 1977.  736 с.
55. Толстов, Г. П. Ряды Фурье / Г. П. Толстов.  М.: Физматлит, 1960. 
390 с.


119
56. Учайкин, В. В. Анизотропия космических лучей в дробно-
дифференциальных моделях аномальной диффузии / В. В. Учайкин //
ЖЭТФ.  2013.  Т. 143. вып. 6.  С. 10391047.
57. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчис-
ления. Т. II / Г. М. Фихтенгольц.  М.: Наука, 1969.  800 с.
58. Хуштова, Ф. Г. Первая краевая задача в полуполосе для уравнения
параболического типа с оператором Бесселя и производной Римана
Лиувилля / Ф. Г. Хуштова // Математические заметки.  2016.  Т. 99,
вып. 6.  С. 921928.
59. Хуштова, Ф. Г. Вторая краевая задача в полуполосе для уравне-
ния параболического типа с оператором Бесселя и частной производ-
ной РиманаЛиувилля / Ф. Г. Хуштова // Математические заметки. 
2018.  Т. 103, вып. 3.  С. 460470.
60. Хуштова, Ф. Г. Фундаментальное решение модельного уравнения ано-
мальной диффузии дробного порядка / Ф. Г. Хуштова // Вестник Са-
марского государственного технического университета. Серия: Физико-
математические науки.  2015.  Т. 19, ќ 4.  C. 722735.
61. Хуштова, Ф. Г. Задача Коши для уравнения параболического ти-
па с оператором Бесселя и частной производной РиманаЛиувилля /
Ф. Г. Хуштова // Вестник Самарского государственного технического
университета. Серия: Физико-математические науки.  2016.  Т. 20,
ќ 1.  С. 7484.
62. Хуштова, Ф. Г. Вторая краевая задача в полуполосе для уравнения
параболического типа с оператором Бесселя и производной Римана
Лиувилля / Ф. Г. Хуштова // Известия вузов. Математика.  2017. 
ќ 7.  С. 8493.
63. Хуштова, Ф. Г. Первая краевая задача в полуполосе для дробно-
дифференциального уравнения с оператором Бесселя и частной про-


120
изводной РиманаЛиувилля / Ф. Г. Хуштова // Уфимский математи-
ческий журнал.  2017.  Т. 9, вып. 4.  С. 117128.
64. Хуштова, Ф. Г. Первая краевая задача для нагруженного уравнения
параболического типа / Ф. Г. Хуштова // Материалы Международной
конференции ѕДифференциальные уравнения и их приложенияї.  Бел-
город.  2013.  C. 243244.
65. Хуштова, Ф. Г. Краевая задача для нагруженного уравнения парабо-
лического типа в неограниченной области / Ф. Г. Хуштова // Матери-
алы Всероссийской научной конференции молодых ученых ѕCовремен-
ные вопросы математической физики, математической биологии и ин-
форматикиї, посвященная памяти академика А.А. Самарского.  Наль-
чик.  2014.  С. 130132.
66. Хуштова, Ф. Г. Первая краевая задача в видоизмененной постановке
для нагруженного уравнения параболического типа / Ф. Г. Хуштова //
Материалы конференции ѕСовременные методы и проблемы теории
операторов и гармонического анализа и их приложение-Vї.  Ростов-
на-Дону.  2015.  С. 146147.
67. Хуштова, Ф. Г. Первая краевая задача в полуполосе для вырождающе-
гося уравнения параболического типа с оператором РиманаЛиувилля /
Ф. Г. Хуштова // Материалы I Международной научной конференции
ѕОсенние математические чтения в Адыгееї.  Майкоп.  2015.  С. 220
222.
68. Хуштова, Ф. Г. Первая и вторая краевые задачи в полуполосе для
уравнения параболического типа с оператором Бесселя и производной
РиманаЛиувилля / Ф. Г. Хуштова // Труды десятой Всероссийской на-
учной конференции с международным участием ѕМатематическое мо-
делирование и краевые задачиї. Ч. 3: Дифференциальные уравнения и
краевые задачи.  Самара: СамГТУ.  2016.  С. 8588.


121
69. Хуштова, Ф. Г. Первая краевая задача в полуполосе для дифферен-
циального уравнения с оператором Бесселя и производной Римана
Лиувилля / Ф. Г. Хуштова // Тезисы докладов Международной науч-
ной конференции ѕАктуальные проблемы теории уравнений в частных
производныхї.  М.: МАКС Пресс.  2016.  С. 60.
70. Хуштова, Ф. Г. Задача Коши для уравнения дробной диффузии с опе-
ратором Бесселя / Ф. Г. Хуштова // Материалы Международной на-
учной конференции ѕАктуальные проблемы прикладной математики и
физикиї.  Нальчик.  2017.  С. 215216.
71. Хуштова, Ф. Г. Смешанная краевая задача для дифференциального
уравнения с оператором Бесселя и частной производной РиманаЛиу-
вилля / Ф. Г. Хуштова // Материалы IV Международной научной кон-
ференции ѕАктуальные проблемы прикладной математикиї.  Наль-
чик.  2018.  С. 269.
72. Хуштова, Ф. Г. К единственности решения задачи Коши для дробного
уравнения диффузии с оператором Бесселя / Ф. Г. Хуштова // Тезисы
докладов Международной школы-конференции ѕСоболевские чтенияї,
посвященная 110-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева. 
Новосибирск: Изд-во Института математики.  2018.  С. 184.
73. Alexiades, V. Generalized axially symmetric heat potentials and singular
parabolic initial boundary value problems / V. Alexiades // Archive for
Rational Mechanics and Analysis.  1982.  V. 79,  Issue 4.  pp. 325350.
74. Arena, O. On a degenerate elliptic-parabolic equation / O. Arena // Comm.
in partial dierential equations.  1978.  3 (11).  pp. 10071040.
75. Arena, O. On a Singular Parabolic Equation Related to Axiallly Symmetric
Heat Potentials / O. Arena // Annali di Mat. Pura Appl.  1975.  Ser. IV.
105.  pp. 347393.
76. Calton, D. Cauchy's problem for a singular parabolic partial dierential
equation / D. Calton // Di. Equations.  1970.  V. 8, ќ 2.  pp. 250257.


122
77. Gevrey, M.
Sur les equations aux derivees Partielles du type
parabolique /M. Gevrey // Journal de mathematiques pures et appliquees. 
1913.  6
e
serie.  V. 9.  pp. 305476.
78. Gevrey, M. Sur les equations aux derivees Partielles du type parabolique
(suite) /M. Gevrey // Journal de mathematiques pures et appliquees. 
1914.  6
e
serie. V. 10.  pp. 105148.
79. Giona, M. Fractional diusion equation on fractals: one-dimensional case
and asymptotic behavior / M. Giona, H. E. Roman // Physica A: Math.
Gen.  1992.  T. 25.  pp. 20932105.
80. Goreno, R. Analytical properties and applications of the Wright function /
R. Goreno, Y. Luchko, F. Mainardi // Fract. Calc. Appl. Anal.  1999. 
V. 2, ќ 4.  pp. 383414.
81. Kepinski, S. Integration der Dierentialgleichung
?
2
j
??
2
?
1
?
?j
?t
=
0
/
S. Kepinski // Bull. Int. de l'Acad. des Sci. de Cracovie.  1905.  pp. 198
205.
82. Kepinski, S. ЁUber die Dierentialgleichung
?
2
z
?x
2
+
m+1
x
?z
?x
?
n
x
?z
?t
= 0
/
S. Kepinski // Math. Ann.  1905.  V. 61, Issue 3.  pp. 397405.
83. Khushtova F. G. The second boundary value problem in a half-
strip for a degenerate parabolic equation with the RiemannLiouville
operator / F. G. Khushtova // Proceedings of International Russian-Chinese
Conference ѕActual Problems of Applied Mathematics and Physicsї and
School for Young Scientists ѕNonlocal Boundary Problems and Modern
Problems of Algebra, Analysis and Informaticsї.  Elbrus.  2015.  pp. 90
92.
84. Kilbas, A. A. H-Transform. Theory and Applications / A. A. Kilbas,
M. Saigo.  Chapman and Hall/CRC, Boca Raton-London-New York-
Washington, D.C. 2004.


123
85. Kilbas, A. A. Theory and Applications of Fractional Dierential Equation /
A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo.  North-Holland Mathematics
Studies. Vol. 204. Elsevier, Amsterdam etc., 2006.
86. Kochubei, A. N. Asymptotic Properties of Solutions of the Fractional
Diusion-Wave Equation / A. N. Kochubei // Fract. Calc. Appl. Anal. 
2014.  V. 17, ќ 3.  pp. 881896.
87. Kochubei, A. N. Cauchy Problem for Fractional Diusion-Wave Equations
with Variable Coecients / A. N. Kochubei // Journal Applicable
Analysis.  2014.  V. 93, ќ 19.  pp. 22112242.
88. Kochubei, A. N. Distributed Order Calculus and Equations of Ultraslow
Diusion / A. N. Kochubei // J. Math. Anal. Appl.  2008.  V. 340, ќ 1. 
pp. 252281.
89. Mainardi, F. The fundamental solutions for the fractional diusion-wave
equation /F. Mainardi // Applied Mathematics Letters.  1996.  V. 9,
ќ 6.  pp. 2328.
90. Mainardi, F. The fundamental solution of the space-time fractional diusion
equation / F. Mainardi, Yu. Luchko, G. Pagnini // Fract. Calc. Appl. Anal. 
2001.  V. 4, ќ 2.  pp. 153192.
91. Mainardi, F. The time fractional diusion-wave equation /F. Mainardi //
Radiophysics and Quantum Electronics.  1995.  V. 38, ќ 1-2.  pp. 1324.
92. Mathai, A. M. The H-function. Theory and Applications / A. M. Mathai,
R. K. Saxena, H. J. Haubold.  Springer, 2010.  270 p.
93. Metzler, R. Fractional model equation for anomalous diusion / R. Metzler,
W. G. Glockle, T. F. Nonnenmacher // Physica A.  1994.  T. 211.  pp. 13
24.
94. Metzler, R. The random walk's guide to anomalous diusion: a fractional
dynamics approach / R. Metzler, J. Klafter // Physics Reports.  2000. 
T. 339.  pp. 177.


124
95. Metzler, R. The restaurant at the end of the random walk: recent
developments in the description of anomalous transport by fractional
dynamics / R. Metzler, J. Klafter // Physica A: Math. Gen.  2004. 
T. 37.  pp. R161R208.
96. Myller-Lebede, W. ЁUber die Anwendung der Integralgleichungen in einer
parabolischen Randwertaufgabe / W. Myller-Lebede // Math. Ann. 
1908.  V. 66, Issue 3.  pp. 325330.
97. O'Shaugnessy, B. Analytical Solutions for Diusion on Fractal Objects /
B. O'Shaugnessy, I. Procaccia // Phys. Rev. Lett.  1985.  V. 54.  pp. 455
458.
98. Pagani, C. D. On the parabolic equation and a related one / C. D. Pagani //
Ann. mat. pura ed appl.  1974.  T. 99, ќ 4.  pp. 333339.
99. Pagnini, G. A stochastic solution with Gaussian stationary increments
of the symmetric space-time fractional diusion equation / G. Pagnini,
P. Paradisi// Fract. Calc. Appl. Anal.  2016.  V. 19, ќ 2.  pp. 408
440.
100. Pagnini, G. The M-Wright function as a generalization of the Gaussian
density for fractional diusion processes / G. Pagnini // Fract. Calc. Appl.
Anal.  2013.  V. 16, ќ 2.  pp. 436453.
101. Podlubny, I. Fractional Dierential Equations / I. Podlubny.  Academic
Press. San Diego etc., 1999.  366 p.
102. Pskhu, A. V. Multi-time fractional diusion equation / A. V. Pskhu // Eur.
Phys. J. Special Topics.  2013.  V. 222, ќ 8.  pp. 19391950.
103. Stankovic, B.
On the function of E.M. Wright / B. Stankovic //
Publications de L'institut Mathematique (Beograd).  1970.  V. 10(24) 
pp. 113124.
104. Stankovic, B. Inversion et invariantes de la transformation generalisee
de Hankel / B. Stankovic // Publications de L'institut Mathematique
(Beograd).  1955.  V. 8  pp. 3752.


125
105. Tychono, A.
Theoremes d'unicite pour l'equation de la chaleur /
A. Tychono // Mat. sb.  1935.  V. 42, ќ 2.  pp. 199216.
106. Uchaikin, V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. V. I.
Background and Theory / V. V. Uchaikin.  HEP/Springer, 2013.  385 p.
107. Wright, E. M. The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric
function / E. M. Wright // Proceedings of the London Mathematical
Society.  1940.  V. s2-46.  pp. 389408.


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5




©engime.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет