Хуштова фатима гидовна краевые задачи для дифференциальных уравнений с оператором бесселя и частными



Pdf көрінісі
бет4/5
Дата15.05.2020
өлшемі0.6 Mb.
түріДиссертация
1   2   3   4   5

Глава 2
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
џ 2.1. Фундаментальное решение
Рассмотрим уравнение
L u ? B
x
u(x, y) ? D
?
0y
u(x, y) = f (x, y),
(2.1.1)
где
B
x
= |x|
?b
?
?x

|x|
b
?
?x

=
?
2
?x
2
+
b
x
?
?x
 оператор Бесселя [19], |b| < 1, 0 < ? 6 1.
Функцию w = w(x, y; ?, ?) назовем фундаментальным решением урав-
нения (2.1.1), если:
1) для любых фиксированных ? и ? функция w(x, y; ?, ?) как функция пере-
менных x и y, y > ?, удовлетворяет уравнению
B
x
w(x, y; ?, ?) ? D
?
?y
w(x, y; ?, ?) = 0;
2) для любой функции h(x) ? C[ x
1
; x
2
]
выполняется соотношение
lim
??y
x
2
Z
x
1
|?|
b
h(?) D
??1
y?
w(x, y; ?, ?) d? = h(x), x
1
< x < x
2
.
(2.1.2)
Обозначим через ? = (1 ? b)/2,
?
?, µ, ?
(x, ?, y) = A
?, µ
y
g(x, ?, y),
(2.1.3)
g(x, ?, y) =
|x?|
?
4y
e
?
x2+?2
4y

I
??
 |x?|
2y

+
sign(x?) I
?
 |x?|
2y

.
(2.1.4)
В случае µ = 0 будем обозначать ?
?, 0, ?
(x, ?, y) = ?
?, ?
(x, ?, y).


42
Справедливы следующие свойства функции ?
?, µ, ?
(x, ?, y).
Свойство 1
?
.
При |x?| < 2y имеют место оценки:
?
?, µ, ?
(x, ?, y)
6 const · y
??+µ?1
,
?
n+1
?x
n+1
?
?, µ, ?
(x, ?, y)
6 const · |x|
2??n?1
|?|
2?
y
???+µ?1
, ? 6= 1/2,
?
2n
?x
2n
?
?, µ, 1/2
(x, ?, y)
6 const · y
??(2n+1)/2+?+µ?1
,
?
2n+1
?x
2n+1
?
?, µ, 1/2
(x, ?, y)
6 const · |?| y
??(2n+1)/2+µ?1
,
D
?
0y
?
?, µ, ?
(x, ?, y)
6 const · y
????+µ?1
,
и при |x?| > 2y  оценки:
?
n
?x
n
?
?, µ, ?
(x, ?, y)
6 const · P
n
(x, ?, y) exp
h
? ?
0
|x ? ?|
2
2??
y
?
?
2??
i
,
(2.1.5)
D
?
0y
?
?, µ, ?
(x, ?, y)
6 const · P
2
(x, ?, y) exp
h
? ?
0
|x ? ?|
2
2??
y
?
?
2??
i
,
где n = 0, 1, 2, ...,
?
0
= (2 ? ?) 2
?
2
2??
?
?
2??
,
(2.1.6)
P
n
(x, ?, y) = |x?|
??
1
2
|x ? ?|
1??(1?n)?2µ
2??
y
?(1?2n)+4µ
2(2??)
?1
.
(2.1.7)
Доказательство. Из поведения функции I
?
(z)
при малых значениях z
(1.1.19), а также условия 0 < e
?z
< 1, z > 0,
получим оценку для функции
(2.1.4) при |x?| < 2y
g(x, ?, y)
6 const · y
??1
.
Для получения оценок производных по x высоких порядков, а также про-
изводной по y, воспользуемся формулами (1.1.21), (1.1.22) и рекуррентными


43
соотношениями (1.1.23), (1.1.24). Тогда при |x?| < 2y получим оценки
?
n+1
?x
n+1
g(x, ?, y)
6 const · |x|
2??n?1
|?|
2?
y
???1
, ? 6= 1/2,
?
2n
?x
2n
g(x, ?, y)
6 const · y
?(2n+1)/2
, ? = 1/2,
?
2n+1
?x
2n+1
g(x, ?, y)
6 const · |?| y
?(2n+1)/2?1
, ? = 1/2,
?
?y
g(x, ?, y)
6 const · y
??2
,
где n = 0, 1, 2, ...
Применяя к найденным оценкам преобразование A
?, µ
по переменной y
с помощью формулы (1.3.75), в силу свойств (1.3.71) и (1.3.74), приходим к
оценкам леммы при |x?| < 2y.
Далее, используя формулы (1.1.21)-(1.1.24), а также асимптотическую
формулу (1.1.20), из (2.1.4) при |x?| > 2y и n = 0, 1, 2, ... получим оценки
?
n
?x
n
g(x, ?, y)
6 const · |x|
??
1
2
|?|
??
1
2
|x ? ?|
n
y
?n?
1
2
exp

?
(x ? ?)
2
4y

,
?
?y
g(x, ?, y)
6 const · |x|
??
1
2
|?|
??
1
2
|x ? ?|
2
y
?
5
2
exp

?
(x ? ?)
2
4y

.
Применим теперь к последним оценкам преобразование A
?, µ
по переменной
y
с помощью формулы (1.3.81), затем воспользуемся асимптотической фор-
мулой (1.1.60). Тогда, в силу свойств (1.3.71) и (1.3.74), приходим к оценкам
леммы при |x?| > 2y.
Свойство 2
?
.
Функция ?
?, ?
(x, ?, y)
при y > 0 и фиксированном ? яв-
ляется решением уравнения
L ?
?, ?
(x, ?, y) = 0.
(2.1.8)


44
Доказательство. Обозначим
g
1
(x, ?, y) =
|x?|
?
4y
e
?
x2+?2
4y
I
??
 |x?|
2y

,
(2.1.9)
g
2
(x, ?, y) =
|x?|
?
4y
e
?
x2+?2
4y
I
?
 |x?|
2y

.
(2.1.10)
Продифференцируем равенство (2.1.3) по x, используя формулы (1.1.21)
и (1.1.22) при ? = ? и ? = ?? соответственно. В результате получим
?
?x
?
?, ?
(x, ?, y) = A
?
y
?
?x
g(x, ?, y),
(2.1.11)
где
?
?x
g(x, ?, y) =
?
?x
 g
1
(x, ?, y) +
sign(x?) g
2
(x, ?, y)
,
?
?x
g
1
(x, ?, y) =
sign(x)
 |x|
?
|?|
?+1
2(2y)
2
I
1??
 |x?|
2y

?
?
|x|
?+1
|?|
?
2(2y)
2
I
??
 |x?|
2y

e
?
x2+?2
4y
,
(2.1.12)
?
?x
g
2
(x, ?, y) =
sign(x)
 |x|
?
|?|
?+1
2(2y)
2
I
??1
 |x?|
2y

?
?
|x|
?+1
|?|
?
2(2y)
2
I
?
 |x?|
2y

e
?
x2+?2
4y
.
(2.1.13)
Умножим (2.1.12) на |x|
1?2?
и продифференцируем полученное равенство
по x, используя формулу (1.1.21) при ? = 1 ? ?. Воспользуемся затем фор-
мулой (1.1.24) при ? = ?? и умножим полученное равенство на |x|
2??1
.
Ана-
логично поступим и с равенством (2.1.13). Умножим его на |x|
1?2?
и продиф-
ференцируем полученное равенство по x, используя формулу (1.1.22) при
? = ? ? 1.
Воспользуемся затем формулой (1.1.23) при ? = ? и умножим
полученное равенство на |x|
2??1
.
В итоге получим
B
x
?
?, ?
(x, ?, y) = A
?
y
B
x
g(x, ?, y),
(2.1.14)


45
где
B
x
g(x, ?, y) = B
x
g
1
(x, ?, y) +
sign(x?) g
2
(x, ?, y)
,
B
x
g
1
(x, ?, y) =
 |x|
?+2
|?|
?
2(2y)
3
I
??
 |x?|
2y

+
|x|
?
|?|
?+2
2(2y)
3
I
??
 |x?|
2y

?
?
|x|
?
|?|
?
(2y)
2
I
??
 |x?|
2y

?
|x|
?+1
|?|
?+1
(2y)
3
I
0
??
 |x?|
2y

e
?
x2+?2
4y
,
(2.1.15)
B
x
g
2
(x, ?, y) =
 |x|
?+2
|?|
?
2(2y)
3
I
?
 |x?|
2y

+
|x|
?
|?|
?+2
2(2y)
3
I
?
 |x?|
2y

?
?
|x|
?
|?|
?
(2y)
2
I
?
 |x?|
2y

?
|x|
?+1
|?|
?+1
(2y)
3
I
0
?
 |x?|
2y

e
?
x2+?2
4y
.
(2.1.16)
Далее, из формулы (1.3.71) следует
D
?
0y
?
?, ?
(x, ?, y) = A
?
y
?
?y
g(x, ?, y),
(2.1.17)
где
?
?y
g(x, ?, y) =
?
?y
g
1
(x, ?, y) +
sign(x?) g
2
(x, ?, y)
,
?
?y
g
1
(x, ?, y) =
 |x|
?+2
|?|
?
2(2y)
3
I
??
 |x?|
2y

+
|x|
?
|?|
?+2
2(2y)
3
I
??
 |x?|
2y

?
?
|x|
?
|?|
?
(2y)
2
I
??
 |x?|
2y

?
|x|
?+1
|?|
?+1
(2y)
3
I
0
??
 |x?|
2y

e
?
x2+?2
4y
,
(2.1.18)
?
?y
g
2
(x, ?, y) =
 |x|
?+2
|?|
?
2(2y)
3
I
?
 |x?|
2y

+
|x|
?
|?|
?+2
2(2y)
3
I
?
 |x?|
2y

?
?
|x|
?
|?|
?
(2y)
2
I
?
 |x?|
2y

?
|x|
?+1
|?|
?+1
(2y)
3
I
0
?
 |x?|
2y

e
?
x2+?2
4y
.
(2.1.19)
Подставляя (2.1.14) и (2.1.17) в уравнение (2.1.8), видим, что оно обращается
в тождество.
Обозначим D
y
= {(?, ?) : r
1
< ? < r
2
, 0 < ? < y}.
Свойство 3
?
.
В области D
y
функция ?
?, ?
(x, ?, y ? ?)
при фиксированных x
и y, как функция переменных ? и ?, 0 < ? < y, является решением сопря-


46
женного уравнения
L
?
?
?, ?
(x, ?, y ? ?) ? B
?
?
?, ?
(x, ?, y ? ?) ? D
?
y?
?
?, ?
(x, ?, y ? ?) = 0.
(2.1.20)
Свойство 3
?
является следствием свойства 2
?
.
Свойство 4
?
.
Для любой функции h(x) ? C[ x
1
; x
2
]
выполняется соотноше-
ние
lim
??y
x
2
Z
x
1
|?|
b
h(?) D
??1
y?
?
?, ?
(x, ?, y ? ?) d? = h(x), x
1
< x < x
2
.
(2.1.21)
Доказательство. Обозначив через t = y ? ?, перепишем левую часть ра-
венства (2.1.21) в виде
lim
??y
x
2
Z
x
1
|?|
b
h(?) D
??1
y?
?
?, ?
(x, ?, y ? ?) d? =
= lim
t?0
x
2
Z
x
1
|?|
b
h(?) D
??1
0t
?
?, ?
(x, ?, t) d?.
Тогда, в силу формулы (1.3.73), можно записать
lim
t?0
x
2
Z
x
1
|?|
b
h(?) D
??1
0t
?
?, ?
(x, ?, t) d? =
= lim
t?0
?
?
x
2
Z
x
1
|?|
b
g(x, ?, t) [h(?) ? h(x)] d? + h(x)
x
2
Z
x
1
|?|
b
g(x, ?, t) d?
?
?
=
= lim
t?0
[ J
1
(x, t) + J
2
(x, t) ] .
Разбивая промежуток интегрирования на части, представим J
1
(x, t)
в виде


47
суммы трех слагаемых
J
1
(x, t) =
x??
Z
x
1
|?|
b
g(x, ?, t) [h(?) ? h(x)] d?+
+
x+?
Z
x??
|?|
b
g(x, ?, t) [h(?) ? h(x)] d? +
x
2
Z
x+?
|?|
b
g(x, ?, t) [h(?) ? h(x)] d?,
(2.1.22)
где ?  произвольное малое положительное число.
Из (1.1.20) и представления (2.1.4) следует оценка
| g(x, ?, t) | 6 const · |x?|
??1/2
t
?1/2
e
?
(x??)2
4t
, |x?| > 2t.
(2.1.23)
В силу оценки (2.1.23) первое и третье слагаемые в (2.1.22) стремятся к
нулю при t ? 0.
Обозначим через ?(?) = sup |h(x) ? h(?)|, ? ? [x ? ?, x + ?]. Так как
функция h(x) ? C[x??, x+?], то ?(?) ? 0 при ? ? 0. В силу произвольности
выбора ? и оценки (2.1.23) нетрудно заметить, что второе слагаемое в (2.1.22)
тоже стремится к нулю.
Преобразуем интеграл J
2
(x, t).
Для этого, учитывая (2.1.23), запишем
lim
t?0
J
2
(x, t) =
=
|x|
??1/2
h(x)
2
?
?
lim
t?0
?
?
x
Z
x
1
|?|
1/2??
?
t
e
?
(x??)2
4t
d? +
x
2
Z
x
|?|
1/2??
?
t
e
?
(x??)2
4t
d?
?
?
.
В последних двух интегралах сделаем замену переменной интегрирования по
формулам ? = x ? 2
?
t s
и ? = x + 2
?
t s
соответственно. В результате будем
иметь
lim
t?0
J
2
(x, t) =


48
=
|x|
??1/2
h(x)
?
?
lim
t?0
?
?
?
?
x?x1
2
?
t
Z
0
e
?s
2
ds
|x ? 2
?
t s|
??1/2
+
x2 ?x
2
?
t
Z
0
e
?s
2
ds
|x + 2
?
t s|
??1/2
?
?
?
?
.
Применяя к интегралам в правой части последнего равенства обобщенную
теорему о среднем значении [57, с. 114] и используя затем оценку
?
Z
0
e
?t
2
dt <
?
Z
0
e
?t
2
dt =
?
?
2
,
получим, что
lim
??y
x
2
Z
x
1
|?|
b
h(?) D
??1
y?
?
?, ?
(x, ?, y ? ?) d? = lim
t?0
J
2
(x, t) = h(x).
Из свойств 3
?
и 4
?
следует, что функция ?
?, ?
(x, ?, y),
определяемая ра-
венством (2.1.3) при µ = 0, является фундаментальным решением уравнения
(2.1.1).
При ? = 1/2 (b = 0) из (1.1.27), (2.1.3) и (2.1.4) следует
?
?, 1/2
(x, ?, y ? ?) = A
?
t
g(x, ?, t)
t=y??
, g(x, ?, t) =
e
?
(x??)2
4t
2
?
?t
.
Учитывая (1.1.39), последнее равенство можно записать в виде
g(x, ?, t) =
1
2
?
t
?

?
1
2
,
1
2
; ?
|x ? ?|
?
t

.
Тогда, используя формулу (1.3.77) при µ = 0, ? = 1/2, ? = ?1/2 и c = |x??|,
получим функцию
?
?, 1/2
(x, ?, y ? ?) =
(y ? ?)
??1
2
?

? ?, ?; ?
|x ? ?|
(y ? ?)
?

, ? =
?
2
,
которая совпадает с фундаментальным решением уравнения диффузии дроб-


49
ного порядка, приведенным в [47, с. 127].
Свойство 5
?
.
Для всех x, ? ? R, y > 0 имеет место неравенство
?
?, µ, ?
(x, ?, y) > 0.
Доказательство. Из равенства (1.1.28) и положительности функции
K
?
(z)
[28, с. 172] следует положительность g(x, ?, y) при x? < 0. При
x? > 0 положительность функции g(x, ?, y) следует из положительности
функции I
?
(z)
[28, с. 172] и формулы (1.1.19). Тогда в силу того, что функция
? (? ?, µ; ?z)
является положительной при ? ? (0, 1), µ > 0, z > 0 [46], [103],
из (2.1.3) и (1.3.70) заключаем, что ?
?, µ, ?
(x, ?, y) > 0.
Свойство 6
?
.
Для всех x ? R, y > 0 справедливо равенство
?
Z
??
|?|
1?2?
?
?, ?
(x, ?, y) d? =
y
??1
?(?)
.
(2.1.24)
Доказательство. Разбивая интеграл в (2.1.24) на два интеграла от ??
до 0 и от 0 до ?, и меняя переменную интегрирования ? на ??
1
в полученном
таким образом первом интеграле, будем иметь
?
Z
??
|?|
1?2?
?
?, ?
(x, ?, y) d? = 2
?
Z
0
?
1?2?
A
?
y
g
1
(x, ?, y) d?,
(2.1.25)
где g
1
(x, ?, y)
определяется из (2.1.9). Подставляя значение последней в
(2.1.25), меняя затем порядок интегрирования, в силу формул (1.1.26) и
(1.3.75) приходим к (2.1.24).
Свойство 7
?
.
Имеют место оценки
?
?, ?
(x, ?, y)
6 C|x?|
??1/2
|x ? ?|
??
y
?+???1
,


50
?
?x
?
?, ?
(x, ?, y)
6 C|x?|
??1/2
|x ? ?|
??
y
???1
,
B
x
?
?, ?
(x, ?, y)
6 C|x?|
??1/2
|x ? ?|
??
y
??+???1
,
D
?
0y
?
?, ?
(x, ?, y)
6 C|x?|
??1/2
|x ? ?|
??
y
??+???1
,
D
??
0y
?
?, ?
(x, ?, y)
6 C|x?|
??1/2
|x ? ?|
??
y
?+??+??1
,
где ? ? [0; 1], ? = ?/2, ? > 0.
Доказательство. Обозначим z = x?/(2y),
f
0
(z) =
p|z| e
?z
[I
??
(|z|) +
sign(z)I
?
(|z|)] /
?
2,
f
1
(z) =
p|z| e
?z
[I
1??
(|z|) +
sign(z)I
??1
(|z|)] /
?
2,
H(x, ?, y) = |x?|
??1/2
E(x, ?, y),
E(x, ?, y) =
1
2
?
?y
exp

?
(x ? ?)
2
4y

.
Из (2.1.4), (2.1.12) и (2.1.13) следует
g(x, ?, y) = H(x, ?, y) +
?
?H(x, ?, y)

f
0
(z) ?
1
?
?

,
?
?x
g(x, ?, y) =
sign(x) (|?| ? |x|)
2y
H(x, ?, y)+
+
sign(x)|?|
2y
?
?H(x, ?, y)

f
1
(z) ?
1
?
?

?
?
sign(x)|x|
2y
?
?H(x, ?, y)

f
0
(z) ?
1
?
?

.
(2.1.26)
Из (2.1.15), (2.1.16), (2.1.18) и (2.1.19) также получим
B
x
g(x, ?, y) =
 (|?| ? |x|)
2
(2y)
2
?
1 ? ?
y

H(x, ?, y)+
+
 |x|
2
+ |?|
2
(2y)
2
?
1 ? ?
y

?
?H(x, ?, y)

f
0
(z) ?
1
?
?

?


51
?
|x?|
2y
2
?
?H(x, ?, y)

f
1
(z) ?
1
?
?

,
?
?y
g(x, ?, y) =
 (|?| ? |x|)
2
(2y)
2
?
1 ? ?
y

H(x, ?, y)+
+
 |x|
2
+ |?|
2
(2y)
2
?
1 ? ?
y

?
?H(x, ?, y)

f
0
(z) ?
1
?
?

?
?
|x?|
2y
2
?
?H(x, ?, y)

f
1
(z) ?
1
?
?

.
Из (1.1.20) следует, что для больших значений z имеют место асимптоти-
ческие представления
f
0
(z) ?
1
?
?
=
1
?
?z
+ O z
?2
 ,
f
1
(z) ?
1
?
?
=
1
?
?z
+ O z
?2
 .
Тогда, учитывая неравенство ||a| ? |b|| 6 |a ? b|, можно записать
|g(x, ?, y)| 6 |x?|
??1/2
E(x, ?, y),
?
?x
g(x, ?, y)
6 |x?|
??1/2
?
?x
E(x, ?, y)
,
|B
x
g(x, ?, y)| 6 |x?|
??1/2
?
2
?x
2
E(x, ?, y)
,
?
?y
g(x, ?, y)
6 |x?|
??1/2
?
?y
E(x, ?, y)
.
Представив с помощью равенства (1.1.39) функцию E(x, ?, y) в виде
E(x, ?, y) =
1
2
?
y
?

?
1
2
,
1
2
; ?
|x ? ?|
?
y

,
с помощью формул (1.1.33) и (1.2.68), получим
?
?x
E(x, ?, y) = ?
sign(x ? ?)
y
?1
2
?

?
1
2
, 0; ?
|x ? ?|
?
y

,
(2.1.27)


52
?
2
?x
2
E(x, ?, y) =
y
?3/2
2
?

?
1
2
, ?
1
2
; ?
|x ? ?|
?
y

,
?
?y
E(x, ?, y) =
y
?3/2
2
?

?
1
2
, ?
1
2
; ?
|x ? ?|
?
y

.
Применяя к последним равенствам преобразование A
?
y
с помощью форму-
лы (1.3.77) и учитывая оценку (1.1.34), а также формулы (1.2.68) и (1.3.71),
получим оценки из свойства 7
?
.
Свойство 8
?
.
Для ? > 0 cправедливо равенство
lim
??x?0
D
??
0y
|?|
b
?
?x
?
?,?
(x, ?, y) ? lim
??x+0
D
??
0y
|?|
b
?
?x
?
?,?
(x, ?, y) = ?
y
??1
?(?)
.
(2.1.28)
Доказательство. Пусть для определенности x и ? положительны. Тогда
обозначив
h(x, ?, y) =
x
??1/2
?
?+1/2
2y
?
?E(x, ?, y)

f
1
(z) ?
1
?
?

?
?
x
?+1/2
?
??1/2
2y
?
?E(x, ?, y)

f
0
(z) ?
1
?
?

,
и учитывая представление (2.1.27), запишем (2.1.26) в виде
?
?x
g(x, ?, y) = ?
sign(x??)
(x?)
??1/2
2y
?

?
1
2
, 0; ?
|x ? ?|
?
y

+h(x, ?, y).
(2.1.29)
Применяя к (2.1.29) преобразование A
?
y
по формуле (1.3.77), затем оператор
D
??
0y
по формуле (1.2.68), будем иметь
D
??
0y
?
?x
?
?,?
(x, ?, y) = ?
sign(x ? ?)
2
(x?)
??1/2
y
??1
?

??, ?; ?
|x ? ?|
?
y

+
+D
??
0y
A
?
y
h(x, ?, y),
? = ?/2.
Отсюда в силу (1.1.32) и непрерывности функции h(x, ?, y) получаем тре-
буемое равенство (2.1.28).


53
џ 2.2. Общее представление решения
Пусть D = {(x, y) : r
1
< x < r
2
, 0 < y < T }, Ї
D
 замыкание области D.
Регулярным решением уравнения (2.1.1) в области D назовем функцию
u = u(x, y),
удовлетворяющую уравнению (2.1.1) в области D и такую, что
y
1??
u ? C( Ї
D), B
x
u, D
?
0y
u ? C(D).
Справедлива следующая теорема об общем представлении решения урав-
нения (2.1.1).
Теорема 2.2.1. Пусть y
1??
f (x, y) ? C( Ї
D), ?(x) ? C[r
1
; r
2
],
функция
v = v(x, y; ?, ?)
удовлетворяет условиям:
1)
в области D
y
функция v при фиксированных (x, y) ? D является
решением уравнения
L
?
v(x, y; ?, ?) = q(x, y; ?, ?),
(2.2.30)
где ?
1??
q ? L(D
y
);
2)
для любой функции h(x) ? C[x
1
; x
2
], r
1
6 x
1
< x
2
6 r
2
,
выполняется
соотношение
lim
??y
x
2
Z
x
1
|?|
b
h(?) D
??1
y?
v(x, y; ?, ?) d? = h(x), x
1
< x < x
2
;
(2.2.31)
3)
функция v непрерывна в Ї
D Ч Ї
D
y
\{y = ?}
вместе с |?|
b
v
?
, D
?
y?
v
и y
1??
v,
и для любых точек (x, y) ? D и (?, ?) ? D
y
выполняется неравенство
|v(x, y; ?, ?)| 6 const · (y ? ?)
???1
.
Если функция u(x, y) является регулярным решением уравнения (2.1.1),
имеет непрерывную и интегрируемую производную с весом |x|
b
u
x
(x, y)


54
вплоть до участков границы x = r
1
и x = r
2
,
и удовлетворяет условию
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = ?(x), r
1
< x < r
2
,
то для любой точки (x, y) ? D имеет место соотношение
u(x, y) =
r
2
Z
r
1
|?|
b
v(x, y; ?, 0) ?(?) d?+
+
y
Z
0
 |r
2
|
b
v(x, y; r
2
, ?) u
?
(r
2
, ?) ? |r
1
|
b
v(x, y; r
1
, ?) u
?
(r
1
, ?)?
?|r
2
|
b
v
?
(x, y; r
2
, ?) u(r
2
, ?) + |r
1
|
b
v
?
(x, y; r
1
, ?) u(r
1
, ?)
 d?+
+
r
2
Z
r
1
y
Z
0
|?|
b
[u(?, ?) q(x, y; ?, ?) ? v(x, y; ?, ?) f (?, ?)] d? d?.
(2.2.32)
Предварительно, воспользовавшись оператором
S
?
st
g
 (?) ? S
?
st
g(?) =
sign(t ? s)
?
t
Z
s
g(?)
? ? ?
? ? s
s ? ?
?
d?,
приведјм лемму [47, c. 118], которая понадобится при доказательстве теоремы
2.1.1.
Лемма 2.2.1. Пусть 0 6 ? < y
?
< y, y
?
= y ? ?.
Если g(?) 6 constЧ
Ч(y ? ?)
???1
,
то для любого ? ? [0; 1] справедлива оценка
|S
?
y
?
y
g(?)| 6 const · ?
??+???
(y
?
? ?)
????1
.


55
Доказательство теоремы 2.2.1. Рассмотрим выражение
r
2
Z
r
1
y
?
Z
0
|?|
b
 v(x, y; ?, ?) L u(?, ?) ? u(?, ?) L
?
v(x, y; ?, ?)
 d? d?,
(2.2.33)
где y
?
= y ? ?, ? > 0.
В работе [47, c. 121] доказано равенство
y
?
Z
0
v D
?
0?
u ? u D
?
y?
v
 d? = u(?, y
?
) D
??1
yy
?
v(x, y, ?, y
?
)?
? ?(?) v(x, y; ?, 0) + R (x, y, y
?
, ?),
(2.2.34)
где
R (x, y, y
?
, ?) = sin ?(? ? 1) ·
y
?
Z
0
S
1??
y
?
y
v · D
?
0?
u d? ? sin ?? · ?(?) S
1??
y
?
y
v
?=0
.
Учитывая (2.2.34) и соотношение
v
?
??

|?|
b
?u
??

? u
?
??

|?|
b
?v
??

=
?
??

|?|
b
v
?u
??
? |?|
b
u
?v
??

,
преобразуем (2.2.33)
r
2
Z
r
1
y
?
Z
0
|?|
b
 v(x, y; ?, ?) Lu(?, ?) ? u(?, ?) L
?
v(x, y; ?, ?)
d? d? =
=
y
?
Z
0
|?|
b
 v(x, y; ?, ?) u
?
(?, ?) ? v
?
(x, y; ?, ?) u(?, ?)

?=r
2
?=r
1
d?+
+
r
2
Z
r
1
|?|
b
 v(x, y; ?, 0) ?(?) +


56
+ u(?, y
?
) D
??1
yy
?
v(x, y; ?, y
?
) + R (x, y, y
?
, ?)
d?.
(2.2.35)
Из выше приведенной леммы 2.2.1 следует, что
lim
??0
r
2
Z
r
1
|?|
b
R (x, y, y
?
, ?) d? = 0.
Поэтому из (2.1.1), (2.2.30), (2.2.31) и (2.2.35), устремляя ? к нулю, получим
соотношение (2.2.32).
џ 2.3. Первая краевая задача
В прямоугольной области D
r
= {(x, y) : 0 < x < r, 0 < y < T }
сформу-
лируем первую краевую задачу для уравнения
L u ? B
x
u(x, y) ? D
?
0y
u(x, y) = 0.
(2.3.36)
Задача 2.3.1. Найти регулярное в области D
r
решение уравнения
(2.3.36), удовлетворяющее краевым условиям
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = ?(x), 0 < x < r,
(2.3.37)
u(0, y) = ?
0
(y), u(r, y) = ?
r
(y), 0 < y < T,
(2.3.38)
где ?(x), ?
0
(y)
и ?
r
(y)
 заданные функции.
Функцию G
?, ?
(x, ?, y ? ?),
которая является решением уравнения
L
?
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) = 0
(2.3.39)
и вместе с условиями 2) и 3) теоремы 2.2.1 удовлетворяет условиям
lim
??0
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) = 0, lim
??r
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) = 0, y 6= ?,
(2.3.40)


57
назовем функцией Грина первой краевой задачи для уравнения (2.3.36).
Докажем, что функция
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) = A
?
t
g(x, ?, t)|
t=y??
,
(2.3.41)
где
g(x, ?, t) =
1
2?i
?+i?
Z
??i?
e
ts
e
g(x, ?, s) ds, ? > 0,
(2.3.42)
e
g(x, ?, s) =
?
?
?
?(?, x, s), 0 6 ? 6 x,
?(x, ?, s), x 6 ? 6 r,
(2.3.43)
?(x, ?, s) = x
?
?
?
I
?
?
s x

I
?
?
s r

 I
?
?
s r
K
?
?
s ?
 ? K
?
?
s r
I
?
?
s ?
  ,
является функцией Грина первой краевой задачи.
Определим порядок величины функции
e
g(x, ?, s)
в интеграле (2.3.42).
Пусть
s = R e
i?
, 0 6 ? 6 ?
0
< ?, 0 < ? < x.
(2.3.44)
Тогда
|e
?
s (??r)
| < e
?
R (??r) cos
?
2
,
| sh
?
s (r ? x)| < e
?
R (r?x) cos
?
2
,
откуда, используя асимптотические формулы (1.1.20), (1.1.29), получим
|
e
g(x, ?, s) | <
const · R
?
1
2
e
?
?
R (x??) cos
?
2
.
(2.3.45)
Функция
e
g(x, ?, s)
является однозначной функцией s, и поэтому для
вычисления интеграла (2.3.42) воспользуемся контуром, изображенным на
рис. 1. Полюсы функции
e
g(x, ?, s)
совпадают с нулями функции I
?
(
?
sr),
то
есть располагаются в точках s = ??
2
m
,
где ±?
m
являются корнями уравнения


58
J
?
(?
m
r) = 0, m = 1, 2, ...
Тогда, согласно теореме Коши [27], интеграл (2.3.42)
равен произведению 2?i на сумму вычетов относительно полюсов подынте-
гральной функции.
Рис. 1
При 0 6 ? 6 x имеем
g(x, ?, t) = x
?
?
?
?
X
m=1
I
?
(i?
m
?) [ ?K
?
(i?
m
r) I
?
(i?
m
x) ]

d
ds
I
?
(
?
s r)

s=??
2
m
e
??
2
m
t
,
где суммирование ведется по положительным корням уравнения
J
?
(?
m
r) = 0,
занумерованным в порядке их возрастания.
Из равенств
d
ds
I
?
(
?
s r) =
r
2
?
s
I
0
?
(
?
s r),
I
0
?
(z)K
?
(z) ? I
?
(z)K
0
?
(z) =
1
z
и формулы (1.1.24) при ? = ? следует
g(x, ?, t) =
2 x
?
?
?
r
2
?
X
m=1
J
?
(?
m
x) J
?
(?
m
?)
J
2
1+?
(?
m
r)
e
??
2
m
t
.
(2.3.46)


59
Применяя к последнему выражению преобразование A
?
по переменной t
по формуле (1.3.76), для функции (2.3.41) приходим к виду
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) =
=
2
r
2
x
?
?
?
(y ? ?)
1??
?
X
m=1
J
?
(?
m
x) J
?
(?
m
?)
J
2
1+?
(?
m
r)
E
1
?
? ?
2
m
(y ? ?)
?
; ?
.
(2.3.47)
Вследствие симметричности выражения (2.3.47) относительно x и ? оно верно
и при x 6 ? 6 r. К форме (2.3.47) также придем, если будем строить функцию
Грина методом разделения переменных (методом Фурье).
Покажем, что ряд (2.3.47) и ряды, которые из него получаются при дву-
кратном дифференцировании по x и при взятии дробной производной по y
порядка ?, равномерно сходятся.
Обозначим через
X
m
(x) = x
?
J
?
(?
m
x) , m = 1, 2, ...
Функции X
m
(x)
являются собственными функциями уравнения
B
x
X(x) + ?X(x) = 0.
Из ортогональности цилиндрических функций первого рода [26, с. 148] сле-
дует, что система функций {X
m
(x)}
ортогональна с весом x
1?2?
r
Z
0
x
1?2?
X
m
(x)X
l
(x)dx =
?
?
?
0, m 6= l,
r
2
2
J
2
?+1
(?
m
r) , m = l.
(2.3.48)
Из оценки (1.1.8) и неравенства [55, с. 274]
?
Z
0
tJ
2
?
(t) dt > K?, K = const > 0,


60
которое справедливо для больших значений ?, согласно (2.3.48), получим, что
r
2
2
J
2
?+1
(?
m
r) =
r
Z
0
xJ
2
?
(?
m
x) dx =
1
?
2
m
?
m
r
Z
0
tJ
2
?
(t) dt >
rK
?
m
.
Тогда в силу оценок (1.1.8) и (1.1.42) для общего члена ряда (2.3.47) имеем
G
m
= O(?
?4
m
).
Далее, с помощью формул дифференцирования функции Бесселя (1.1.9)
и дробного дифференцирования функции типа Миттаг-Леффелера (1.2.67),
а также формулы (1.1.41), получим
B
x
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) =
= ?
2
r
2
x
?
?
?
(y ? ?)
1??
?
X
m=1
?
2
m
J
?
(?
m
x) J
?
(?
m
?)
J
2
1+?
(?
m
r)
E
1
?
? ?
2
m
(y ? ?)
?
; ?
,
(2.3.49)
D
?
0y
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) =
= ?
2
r
2
x
?
?
?
(y ? ?)
1??
?
X
m=1
?
2
m
J
?
(?
m
x) J
?
(?
m
?)
J
2
1+?
(?
m
r)
E
1
?
? ?
2
m
(y ? ?)
?
; ?
.
(2.3.50)
Тогда для общих членов последних рядов имеем
B
x
G
m
= O(?
?2
m
),
D
?
0y
G
m
= O(?
?2
m
).
Из полученных оценок следует абсолютная и равномерная сходимость рядов
(2.3.47), (2.3.49) и (2.3.50).
Убедимся теперь, что функция (2.3.41) действительно удовлетворяет
уравнению (2.3.36), условиям (2.3.40) и (2.2.31).
1. Покажем, что путь интегрирования L = (? ? i?, ? + i?) в (2.3.42) при
t > 0
и 0 < ? < r может быть заменен путем L
0
,
который начинается в бес-


61
конечно удаленной точке в направлении arg s = ? ?
1
,
где
?
2
< ?
1
< ?,
огибает
начало координат с правой стороны, причем все особенности подынтеграль-
ной функции остаются слева, и заканчивается в бесконечности в направлении
arg s = ?
1
(рис. 2).
Рис. 2
Для этого необходимо показать, что интеграл
Z
e
ts
e
g(x, ?, s) ds,
взятый вдоль дуг BB
0
B
00
и A
00
A
0
A
окружности радиуса R, стремится к нулю
при R ? ?.
При условиях (2.3.44) имеют место оценки
0 < e
?
?
R (x??) cos
?
2
< 1.
Обозначим через I
1
и I
2
интегралы вдоль дуг BB
0
и B
0
B
00
,
а на дуге BB
0


62
положим ? = arccos
?
R
.
Тогда из (2.3.45) найдем
|I
1
| <
const ·
?
R e
?t
?/2
Z
?
d? =
const ·
?
R e
?t
arcsin
?
R
.
Отсюда следует, что lim
R??
I
1
= 0.
Заменяя в (2.3.44) ?
0
через ?
1
>
?
2
и принимая во внимание оценку sin ? >
2?/?,
справедливую при 0 6 ? 6 ?/2, для интеграла I
2
получим
|I
2
| <
const ·
?
R
?
1
Z
?/2
e
R t cos ?
d? <
const ·
?
R
?
1
??/2
Z
0
e
?R t sin ?
d? <
<
const ·
?
R
?/2
Z
0
e
?
2R t ?
?
d? <
const
?
R t
.
откуда lim
R??
I
2
= 0.
Аналогичные рассуждения можно провести для интегралов вдоль дуг AA
0
и A
0
A
00
.
Таким образом, функцию g(x, ?, t) можно записать в виде
g(x, ?, t) =
1
2?i
Z
L
0
e
ts
e
g(x, ?, s) ds,
(2.3.51)
где
e
g(x, ?, s)
определяется из (2.3.43).
2. Используя формулы дифференцирования (1.1.21), (1.1.22) и асимпто-
тические формулы (1.1.20), (1.1.29), при условиях (2.3.44) получим
?
??
e
g(x, ?, s)
<
const · e
?
?
R (x??) cos
?
2
,
(2.3.52)
| B
?
e
g(x, ?, s)| <
const ·
?
R e
?
?
R (x??) cos
?
2
.
(2.3.53)
С помощью (2.3.52) и (2.3.53) легко показать, что имеет место равномерная
сходимость, позволяющая провести дифференцирование под знаком интег-


63
рала в (2.3.51). Проведя аналогичные рассуждения при x < ? < r, в силу
формул дифференцирования (1.1.21), (1.1.22) для функции I
?
(z)
и (1.1.30),
(1.1.31)  для функции K
?
(z),
а также формулы (1.3.71), получаем, что функ-
ция G
?, ?
(x, ?, y ? ?),
заданная равенством (2.3.41), является решением урав-
нения (2.3.39) при y > ? и 0 < ? < r.
3. Покажем, что это решение удовлетворяет условиям (2.3.40). Из (2.3.45)
и формулы (1.1.19) видно, что при фиксированном t > 0 интеграл (2.3.51)
сходится равномерно на интервале 0 6 ? 6 r. Таким образом, он является
непрерывной функцией от ? на этом интервале.
При ? ? 0, в силу формулы (1.1.19), и ? ? r интеграл в (2.3.51) обраща-
ется в нуль. Следовательно,
lim
??0
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) = 0, lim
??r
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) = 0
при фиксированном y > ?.
4. Покажем теперь, что функция G
?, ?
(x, ?, y ? ?)
удовлетворяет условию
(2.2.31). Из оценки (2.3.45) видно, что при фиксированных x 6= ? интеграл
(2.3.51) равномерно сходится при t > 0 и поэтому является непрерывной
функцией от t при t > 0, x 6= ?.
Обозначив через t = y ? ?, перепишем левую часть равенства (2.2.31) в
виде
lim
??y
r
Z
0
?
b
h(?) D
??1
y?
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) d? = lim
t?0
r
Z
0
?
b
h(?) D
??1
0t
G
?, ?
(x, ?, t) d?.
В силу формулы (1.3.73), можно записать
lim
t?0
r
Z
0
?
b
h(?) D
??1
0t
G
?, ?
(x, ?, t) d? =


64
= lim
t?0
?
?
r
Z
0
?
b
g(x, ?, t) [h(?) ? h(x)] d? + h(x)
r
Z
0
?
b
g(x, ?, t) d?
?
?
=
= lim
t?0
[ J
1
(x, t) + J
2
(x, t) ] .
Разбивая промежуток интегрирования на части, представим J
1
(x, t)
в виде
суммы трех слагаемых
J
1
(x, t) =
x??
Z
0
?
b
g(x, ?, t) [h(?) ? h(x)] d?+
+
x+?
Z
x??
?
b
g(x, ?, t) [h(?) ? h(x)] d? +
r
Z
x+?
?
b
g(x, ?, t) [h(?) ? h(x)] d? =
= J
11
(x, t) + J
12
(x, t) + J
13
(x, t),
(2.3.54)
где ?  произвольное малое положительное число.
В силу непрерывности функции g(x, ?, t) при t > 0, x 6= ? имеем
lim
t?0
g(x, ?, t) =
1
2?i
Z
L
0
e
g(x, ?, s) ds.
В каждой точке дуги B
00
B
0
HAA
00
имеет место оценка
|
e
g(x, ?, s) | < x
??
1
2
?
??
1
2
R
?
1
2
e
?
?
R (x??) cos
?
2
.
(2.3.55)
Следовательно, интеграл
Z
e
g(x, ?, s) ds
вдоль B
00
B
0
HAA
00
стремится к нулю при R ? ?. Тогда
Z
L
0
e
g(x, ?, s) ds = 0,


65
так как внутри замкнутого контура (рис. 2) нет полюсов. Отсюда получаем
lim
t?0
J
11
(x, t) = lim
t?0
J
13
(x, t) = 0.
Обозначим через ?(?) = sup |h(x) ? h(?)|, ? ? [x ? ?, x + ?]. Так как
функция h(x) ? C[x??, x+?], то ?(?) ? 0 при ? ? 0. В силу произвольности
выбора ? и оценки (2.3.55), нетрудно заметить, что lim
t?0
J
12
(x, t) = 0.
Для вычисления интеграла J
2
(x, t)
воспользуемся представлением
(2.3.46). В силу первой из формул (1.1.9), формулы (1.1.7) при ? = ? ? 1
и первой из формул (1.1.10) при ? = ?, а также учитывая, что J
?
(?
m
r) = 0,
будем иметь
r
Z
0
?
1??
J
?
(?
m
?) d? =
r
1??
?
m
J
?+1
(?
m
r) +
?
??2
m
2
??1
?(?)
.
Тогда при t ? 0 для J
2
(x, t)
получим
lim
t?0
J
2
(x, t) =
2 x
?
h(x)
r
1+?
?(?)
?
X
m=1
J
?
(?
m
x)
?
m
J
1+?
(?
m
r)
+
+
x
?
h(x)
r
2
?(?)
2
2??
?(?)
?
X
m=1
J
?
(?
m
x)
?
2??
m
J
2
1+?
(?
m
r)
.
Отсюда, в силу равенств (1.1.14), (1.1.15), окончательно получим
lim
t?0
J
2
(x, t) = h(x).
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3.1. Пусть ?(x) ? C[0, r], y
1??
?
0
(y), y
1??
?
r
(y) ? C[0, T ]
и
выполнены условия согласования
lim
y?0
D
??1
0y
?
0
(y) = ?(0), lim
y?0
D
??1
0y
?
r
(y) = ?(r).


66
Тогда существует единственное решение задачи 2.3.1, представимое в виде
u(x, y) =
r
Z
0
?
1?2?
G
?, ?
(x, ?, y) ?(?) d?+
+
y
Z
0
?
1?2?
G
?, ?
?
(x, ?, y ? ?)
?=0
?
0
(?) d??
? r
1?2?
y
Z
0
G
?, ?
?
(x, r, y ? ?) ?
r
(?) d?,
(2.3.56)
где функция G
?, ?
(x, ?, y)
определяется из (2.3.47).
Справедливость представления (2.3.56) и единственность регулярного ре-
шения следуют из (2.2.32) и (2.3.40).
џ 2.4. Вторая краевая задача
Вторая краевая задача в области D
r
формулируется следующим образом.
Задача 2.4.1. Найти регулярное в области D
r
решение уравнения
(2.3.36), удовлетворяющее краевым условиям (2.3.37) и
lim
x?0
x
b
u
x
(x, y) = ?
0
(y), u
x
(r, y) = ?
r
(y), 0 < y < T,
(2.4.57)
где ?
0
(y)
и ?
r
(y)
 заданные функции.
Функцию G
?, ?
(x, ?, y),
которая является решением уравнения (2.3.39) и
вместе с условиями 2) и 3) теоремы 2.2.1 удовлетворяет условиям
lim
??0
?
b
G
?, ?
?
(x, ?, y ? ?) = 0, G
?, ?
?
(x, r, y ? ?) = 0, y 6= ?,
(2.4.58)
назовем функцией Грина второй краевой задачи для уравнения (2.3.36).
Рассуждениями, аналогичными как и для функции Грина первой крае-
вой задачи, нетрудно показать, что функция (2.3.41), где g(x, ?, t) и
e
g(x, ?, s)


67
определяются из (2.3.42) и (2.3.43) соответственно, а ?(x, ?, s)  с помощью
равенства
?(x, ?, s) = x
?
?
?
I
??
?
s x

I
1??
?
s r

 I
??1
?
s r
K
?
?
s ?
 + K
??1
?
s r
I
?
?
s ?
  ,
является функцией Грина второй краевой задачи. Другое еј представление,
построенное методом Фурье, имеет вид
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) =
=
2
r
2
x
?
?
?
(y ? ?)
1??
?
X
m=1
J
??
(?
m
x) J
??
(?
m
?)
J
2
??
(?
m
r)
E
1
?
? ?
2
m
(y ? ?)
?
; ?
,
(2.4.59)
где ?
m
 положительные корни уравнения J
1??
(?
m
r) = 0, m = 1, 2, ...
Как и для функции (2.3.47), нетрудно показать что ряд (2.4.59) и ряды,
получающиеся при двукратном дифференцировании по x, а также при взятии
дробной производной по y порядка ?, равномерно сходятся.
Теорема 2.4.1. Пусть ?(x) ? C[0, r], y
1??
?
0
(y), y
1??
?
r
(y) ? C[0, T ].
Тогда существует единственное решение задачи 2.4.1, представимое в виде
u(x, y) =
r
Z
0
?
1?2?
G
?, ?
(x, ?, y) ?(?) d??
?
y
Z
0
G
?, ?
(x, 0, y ? ?) ?
0
(?) d? + r
1?2?
y
Z
0
G
?, ?
(x, r, y ? ?) ?
r
(?) d?,
где функция G
?, ?
(x, ?, y)
определяется из (2.4.59).
Теорема 2.4.1 следует из (2.2.32) и (2.4.58).


68
џ 2.5. Смешанные краевые задачи
Сформулируем две смешанные краевые задачи, когда на одной из боко-
вых сторон прямоугольной области задается значение искомой функции, а
на другой  значение ее нормальной производной с весом.
Задача 2.5.1. Найти регулярное в области D
r
решение уравнения
(2.3.36), удовлетворяющее краевым условиям (2.3.37) и
u(0, y) = ?
0
(y), u
x
(r, y) = ?
r
(y), 0 < y < T.
Функция Грина задачи 2.5.1 удовлетворяет уравнению (2.3.39), условиям
lim
??0
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) = 0, G
?, ?
?
(x, r, y ? ?) = 0, y 6= ?,
(2.5.60)
и может быть представлена в виде (2.3.41), где g(x, ?, t) и
e
g(x, ?, s)
определя-
ются из (2.3.42) и (2.3.43) соответственно, а ?(x, ?, s)  с помощью равенства
?(x, ?, s) = x
?
?
?
I
?
?
s x

I
??1
?
s r

 I
??1
?
s r
K
?
?
s ?
 + K
??1
?
s r
I
?
?
s ?
  .
Другое представление функции Грина задачи 2.5.1, построенное методом Фу-
рье, имеет вид
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) =
=
2
r
2
x
?
?
?
(y ? ?)
1??
?
X
m=1
J
?
(?
m
x) J
?
(?
m
?)
J
2
?
(?
m
r)
E
1
?
? ?
2
m
(y ? ?)
?
; ?
,
(2.5.61)
где ?
m
 положительные корни уравнения J
??1
(?
m
r) = 0, m = 1, 2, ...
Теорема 2.5.1. Пусть ?(x) ? C[0, r], y
1??
?
0
(y), y
1??
?
r
(y) ? C[0, T ]
и
выполнено условие согласования lim
y?0
D
??1
0y
?
0
(y) = ?(0).
Тогда существует


69
единственное решение задачи 2.5.1, представимое в виде
u(x, y) =
r
Z
0
?
1?2?
G
?, ?
(x, ?, y) ?(?) d?+
+
y
Z
0
?
1?2?
G
?, ?
?
(x, ?, y ? ?)
?=0
?
0
(?) d? + r
1?2?
y
Z
0
G
?, ?
(x, r, y ? ?) ?
r
(?) d?,
где G
?, ?
(x, ?, y)
определяется из (2.5.61).
Теорема 2.5.1 следует из (2.2.32) и (2.5.60).
Задача 2.5.2. Найти регулярное в области D
r
решение уравнения
(2.3.36), удовлетворяющее краевым условиям (2.3.37) и
lim
x?0
x
b
u
x
(x, y) = ?
0
(y), u(r, y) = ?
r
(y), 0 < y < T.
Функция Грина задачи 2.5.2 удовлетворяет уравнению (2.3.39), условиям
lim
??0
?
b
G
?, ?
?
(x, ?, y ? ?) = 0, G
?, ?
(x, r, y ? ?) = 0, y 6= ?,
(2.5.62)
и может быть представлена в виде (2.3.41), где g(x, ?, t) и
e
g(x, ?, s)
определя-
ются из (2.3.42) и (2.3.43) соответственно, а ?(x, ?, s)  с помощью равенства
?(x, ?, s) = x
?
?
?
I
??
?
s x

I
??
?
s r

 I
?
?
s r
K
?
?
s ?
 ? K
?
?
s r
I
?
?
s ?
  .
Другое представление функции Грина задачи 2.5.2, построенное методом Фу-
рье, имеет вид
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) =
=
2
r
2
x
?
?
?
(y ? ?)
1??
?
X
m=1
J
??
(?
m
x) J
??
(?
m
?)
J
2
1??
(?
m
r)
E
1
?
? ?
2
m
(y ? ?)
?
; ?
,
(2.5.63)
где ?
m
 положительные корни уравнения J
??
(?
m
r) = 0, m = 1, 2, ...
Теорема 2.5.2. Пусть ?(x) ? C[0, r], y
1??
?
0
(y), y
1??
?
r
(y) ? C[0, T ]
и


70
выполнено условие согласования lim
y?0
D
??1
0y
?
r
(y) = ?(r).
Тогда существует
единственное решение задачи 2.5.2, представимое в виде
u(x, y) =
r
Z
0
?
1?2?
G
?, ?
(x, ?, y) ?(?) d??
?
y
Z
0
G
?, ?
(x, 0, y ? ?) ?
0
(?) d? ? r
1?2?
y
Z
0
G
?, ?
?
(x, r, y ? ?) ?
r
(?) d?,
где G
?, ?
(x, ?, y)
определяется из (2.5.63).
Теорема 2.5.2 следует из (2.2.32) и (2.5.60).
Заметим, что в силу равенств (1.1.12), (1.1.13) и (1.1.43) функции (2.3.47),
(2.4.59), (2.5.61) и (2.5.63) при ? = 1/2 (b = 0), ? = 1 совпадают с функциями
Грина [54]
G(x, ?, y ? ?) =
2
r
?
X
m=1
sin
m?
r
x · sin
m?
r
? · e
?
(
m?
r
)
2
(y??)
,
G(x, ?, y ? ?) =
2
r
?
X
m=1
cos
m?
r
x · cos
m?
r
? · e
?
(
m?
r
)
2
(y??)
,
G(x, ?, y ? ?) =
2
r
?
X
m=1
sin
(2m + 1)?
2r
x · sin
(2m + 1)?
2r
? · e
?
(2m+1)2?2
4r2
(y??)
,
G(x, ?, y ? ?) =
2
r
?
X
m=1
cos
(2m + 1)?
2r
x · cos
(2m + 1)?
2r
? · e
?
(2m+1)2?2
4r2
(y??)
соответственно первой, второй и смешанных краевых задач для уравнения
теплопроводности.


71

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5




©engime.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет