И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

Решение:
а) 
у
= 4х - х2, у = 0, х = О, х = 5;
4 
»
5^ I J(4x - x2)dx - j(4x -x 2)dx =
' г
x3}
7
'
" T
64
3
У 
\
ж
1
4V j
5
\
1
н
1
н
II
М В Б
3 
3 
О твет: 13.
= 13.
5л
б) > = cosx, 
7
= 0, x = --- , х = л;
6
i 
Z 
Л
Бф
= - Jcosxa!x+ Jcosxctc - jcosxafr =
5 
ж 
ж 
ж
6
 
2
 
2
= -sinxj f, +sinx)J;r -sinx|* = 
~6 
~2 
2 
1 7
5*
= 4
2
2
О твет: —.
2
4. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций
f(x )n g  (х) а также двумя прямыми х = а и х = 6, где/(х) > g (х) на огрезке [а; 6]
находится по формуле: 
ь
$Ф = {(/ "W - g W jc fe .
а
Замечание. Если известно, что 
график одной из функций /(х ) или 
g (х) лежит выше другого, то мож­
но не выяснять, какой именно, а 
воспользоваться формулой: 
ь
$Ф = \{f{x )-g (x ))d x .

4. Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у  = —, у  = х, х = 2;
х
б) у = 2у[х, 6 - у = 0, х = 0;
Решение:
а) 
У = ~, 
У 
= х, х = 2. 
х
в) у = х + 3, у = Jt2 +1;
г )у = sinx, .у = cosx, х = 0;
д)у = л/2х, ^ = 4г-
Найдем точки пересечения графиков заданных линий:
Г
* ' 
- т ц . 
л1 - 1 = 0;
х2=-1- не удовлет­
воряет условию.
s* =
71“n I
з
О твет: — In 2.
2
6) у  = 2yfx, 6 -у = 0, х = 0.
Найдем точки пересечения графиков заданных линий:
у = 2у/х, 
\у = 2yfx, 
у
6 - у = 0; 
(v = 6;
y f x
= 3, 
х = 9.
V = 6
(
0
9
|(б-2>/х)аЬс = 
0
А 
2X2
6 х ~ ~ Т
= 54-36 = 18.
0
2 j 0
О тве т: 18.
462

в)у = х+3, у = х2 +1.
Найдем точки пересечения графиков заданных линий:
О тве т: - .
2
г) у  = sin х,у= cos х, х = 0.
Найдем точки пересечения графиков у — sin х, у = cos х.
=£ + ^ - 1=Л - 1 .
2 
2
О тве т: -Jl - 1. 
d )y = V2х, > = у .
Область определения функции у - J l x  есть х е [0; ® ).
463

Найдем точки пересечения графиков функций:
V 5 - - ;
2 * |р Ч
2 
4
2x1 1-
0; 
х = 0, х, = 2.
■Jlx -■
( 2
х
)2
/ з 
N 
4* 2Э
-О
8
8 
3 6
2 
3 
2
4
3 '
2-3
(2 *);
О тве т: —.
з 
J 
пи, iMfcwY 
i |. 
*
5. 
Если фигура ограничена прямыми^ = с, у - d(c< d), осью Оу и графи­
ком непрерывно возрастающей (убывающей) функции у = f  (х) (х > 0), то ее 
площадь вычисляется по формуле:
S0 = \(p(x)dx,
С
где <р(х) - функция, 
обратная к у =f(x).
5. Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = -Jх-1, у = 1, у = 
0, дс = 0; 
б ) у = 
— , 
у = 
1, 
у - 4, 
х = 0.
х
Решение:
а ) у =
л/х-1, _у = 1, > = 0, х = 0.
Найдем функцию, обратную 
к функции у  = 
л/х 
—1:
x = yjy- l; 
х1- у -
1
;
= х2 +1 - обратная к функ­
ции у = л/х-1.
464

функции у = — : 
х
1
хш 7 '
1
Гх
Найдем функцию, обратную к
У ~ ~ г ' (* >0)
4 »
5. = [-= = 2л/х| = 4-2 = 2. 
О твет: 2.
I #
,
6. 
Если требуется вычислить площадь более сложной фигуры, то старают­
ся представить искомую площадь в виде алгебраической суммы площадей 
криволинейных трапеций.
6. Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у = х2, у = — (х > 0), 7 = 0, х = 5. 
х
Решение:
Кривые^=х2 и у  = — при усло- 
х
вии х > 0 пересекаются в точке х = 1.
— $1 +1^2»
51
;х 2
S
5, = |х2аЬс, 52 =
О твет: — .
IS
' И5
17
15
7. Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 
у = > / х , 7 = | х - 2 ) .
Решение:

_
fx-2 при x > 2,
По определению модуля: 
У = \
[2 - х при х<2.
Построим графики данных функций и найдем абсциссы точек пересечения: 
[У = \х -2\;
1) 
yfx 
= х -2, если х>2; 
2) 
yfx 
= 2 - х, если х < 2;
х = х2 - 4х + 4; 
х2 - 5х + 4 — 0;
х2 - 5х + 4 = 0; 
4 > 2 -не уд. у слов.,
1.
4,
1 < 2 -не уд. услов.
Искомая площадь равна:
= S АВСО — S
две
 ~ $ECD'
У -
i
\
у
\ .
y = yfx /
\
d
0
1 
2 Е  
4 
\
*• 
Л. 
4
S ABCD = \Jxdx, S ME = J(2 -x)dx, S ECD = j(x - 2 )dx.
1 
I 
2
4 
2 
4 
^
‘
Бф = jyfx dx - 
J(2 - 
дг)оЬс 
- J(jc 
- 2)dx =—yfx*
16 
2 
. 3 
3
4
(
х2М2 (х 2 
t
_
2 х - - \ - \ - - 2 х \
1
1 
2 J
, I 2 
2
14
3
2
6 ‘
О твет:
13
8. 
Задание: Вычислите без рисунка площадь фигуры, ограниченной 
линиями:
а) у = х3 -4х, у = 0;
1 
. 
3
б) у =
--- Г, 
У = 1, 
Х
= - - , х = 0;
у / х
+ \ 
4
в )у  = х2-2х + 2, у = 2 + 4х-х2. 
Решение:
а ) у = х3 - 4х, у = 0.
466

Найдем нули функции: 
х* — 4jc = 0;
х{х2 - 4) = 0; 
*1=0, х2 = 2, х3 - -2.
Функция у = х3-4х будет иметь постоянный знак на промежутке [-2; 0] 
и[0;2].
у = х3
-4х> 0,если х е [- 2 ;0 ]; 
у = х3 - 4х < 0 ,
если х е[0 ;2 ].
О 
2 
( 4
Бф = j(x 3-4x)dx-j(x3-4x)dx = \--- 2х
— ~2
х
2 \ = (0-4 + 8)-
- (4 - 8 - 0) = 8 
О твет: 8.
1
6) у = -
7
=
7
, У= 
1
, х — —, х = 0. 
у х  +1 
4
Выясним, какой из графиков / (дс) =
/ (* )- £ (* ) =
1-л/х+Т
у[х + \
или g (дс) = 
1
лежит выше:
г - 1 =
На промежутке 
/(x)> g(x).
■ I
4
полученная разность положительна, значит
О твет: —.
4
в).у = х2-2х + 2, j> = 2 + 4x-x2.
Границы интегрирования найдем из уравнения:
х2-2х+2 = 2 + 4х-х1;
х2 - Зх = 0; 
х, = 0, х2 = 3.
Рассмотрим разность функций на промежутке [0; 3]:
/ (x )- g (x ) = (x 2- 2х + 2 )- (2 + 4х-х2) = 2х2 -6x^0- 
Значит, g (x )> /(x ).
з 
j 
/ 
2г} 
У
S4
 
= Д(2 + 4х-х2)- (х а-2х + 2))Лс= |(бх-2х2}& = Зх2— — I =
о 
о 
\ 
Ло
= 
(27 - 1 8 ) -
0 = 
9. 
О т в е т : 9.
467

Вычисление объемов тел вращения
Объем V тела, полученного в результате 
вращения криволинейной трапеции, огра­
ниченной линиями у - fix ) (/ (х) >0),х = а, 
х = b (Ь > а) вокруг оси Ох, вычисляется 
по формуле:
А
V = л j f 2(x)dx.
9. Задание: Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси 
абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
у  = л/х + 1 ,х = 0,х= 
1
,
7
=
0
.
У -
Решение:
у = Vx+X——
Воспользуемся формулой объема
тела вращения:
/-1
0 
1
X
( х‘'
Я В Е =л1 - + 1 1 =
зп
V = л j(V x + l) dx = 
л
| ( х
+ \)dx = л 
о 
о
_ 
3 л
О тве т: — .
2
10. Задание: Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси 
абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой ху = 2, прямыми 
х= 1,х=2 и осью абсцисс.
Решение.
= 4я л -
= 4л1 - — +11 = 2л.
О тве т: 2л
11. Задание: Найдите объем фигуры, полученной при вращении вокруг 
оси абсцисс криволинейной трапеции, граница которой задана уравнениями: 
у= х\х—2 1,х = 0,х = 3,_v=0.
468

Решение:
з
V = л
т I 
ы
fx “ 2’ еслих> 2,
Т.к. х - 2 И
[2-х, 
если 
х 
< 2
; 
|(х(2 - х))2dx + J(x(x - 2)fdx = л |(2х - x’^otc + |(х2 - 2xfdx
V
 = 
л
 |(дс|х - 2|)2 
dx.
0 - *
= л
Ж ? !
.0
= jrj(2 x -x 1) I dx = *l(4 x i -4x3+x*)dx = x
--
= л 36-81 +
243
= 3.6 л. 
О твет: 3,6 7i 
12. Задание: Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох 
фигуры, ограниченной параболой^ = х2, осью ординат и прямой = 1. 
Решение:
Искомый объем состоит из разности 
объемов цилиндра, полученного вра­
щением квадрата ОАВС вокруг оси Ох, 
и фигуры, ограниченной параболой 
у
=х2, осью Ох и прямой х = 1. Поэтому:
V 
= л j l 2flbr—я- jx 4dx =| ях — л
о 
о 
\
х ^
5
Резюме
“ Основы математического анализа” - единственный раздел математики, изучае­
мый в школе, который не относится к элементарной математике Основным 
объектом 
изучения данного раздела является числовая функция. В данной главе вы ознакоми­
лись со свойствами функций, производной и первообразной функции
/ (х ).
В начале главы описаны методы нахождения области определения, области значе­
ния и периода функции. Особое внимание уделялось области значения функции, были 
описаны возможные способы ее определения, как алгебраические, так и с использова­
нием элементов математического анализа.
Особенность математического анализа - кинематический подход к функции, где 
основной акцент делается на изучение изменения функции в зависимости от изменения 
аргумента. Подробно, с многочисленными примерами, изложены методы вычисления 
табличных производных, производных сложных и сложно показательных функций.
469

Далее были рассмотрены примеры применения производной для нахождения 
уравнения касательных, промежутков монотонности функции, еб экстремумов.
В заключительной части дано определение первообразной функции и правила ее 
нахождения. В отличие от обычного подхода в курсе общеобразовательной школьной 
программы, введено понятие неопределенного интеграла, как это делается в традици­
онных курсах ВУЗов. По мнению авторов, такой подход должен облегчить преем­
ственность перехода от школьной программы к методике изложения математического 
анализа в ВУЗах.
При вычислении интегралов на примерах показаны способы сведения их к 
“табличным” .
В результате изучения данной главы вы должны овладеть следующими умениями:
- находить область определения функции;
- находить область значения функции;
- определять четность и нечетность функции;
- находить период функции;
- находить функцию, обратную данной;
- вычислять производные степенной, показательной, логарифмической и триго­
нометрической функций;
- находить производные суммы, произведения и частного;
- находить производную сложной функции;
- записывать уравнение касательной к графику функции, проходящей через 
точку х0]
- применять производную к определению промежутков возрастания и убывания 
функции;
- с помощью производной находить экстремумы функции, ее наибольшее и наи­
меньшее значения на отрезке;
- находить интегралы, табличные и более сложные;
- вычислять определенные интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница; 
вычислять площади плоских фигур с помощью определенных интегралов.
47ft

I
Опыт приемных экзаменов в вузы прошлых лет показывает, что некоторые 

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: