И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

/(0 ) = 0;
J  яЛ 
. л  1 . Ъл 
4
/ — = sin---- sin — = —;
V 
2 у 
2 3
3) Вычислим:
/
. 3 л 1 .
= sin---- sin
4 
3
2 
3 
9л _ 4 2  
1 V2 _ V2 
~3 2 ” 3 '
4
2
V
I - 4
2;l ~ 3 ’
О твет: max f(x ) = /|
Рассмотрим применение производной для нахождения области значений 
функции.
8. Задание: Найдите образ отрезка [-1; 3] при отображении, заданном функ­
цией: / (х) = 4х3~12х.
Решение:
Чтобы найти образ данного отрезка, нужно найти множество значений 
функции f(x ) = 4х3 - 12х для х е [-1; 3J, которое, в силу непрерывности функ­
ции, представляет собой отрезок
/ '(* ) = 12х2 -12;
/ '(* ) = 0, 12х2 —12 = 0;
r a /W ;psi/(j4
х, = 1,х2 = -1;
/(- !)= 8
Л 1 ) = -8 
/ ( 3) = 72
m iHj/W = /(1) = -8; 
m ax/(x) = /(3 ) = 72.
О твет: образом отрезка [-1; 3] при заданном отображении будет отрезок 
И ; 72].
9. Задание: Найдите множество значений функции:
a) f (х) = 3х2 +4х +2; 
Решение:
а) /(х ) = Ъхг + 4х + 2; 
D (f) = (-co;oo);
б) 
f ix ) 
1
2хг 
1
И
в) A * ) 
I
Jx  + -J=.
X
\ Х
E (f ) =
min f(x )\ max f (x )
re 
D (f)
xeO (/)
434

/ '(х) = 6х + 4;
f\ x )
= 0, 
х = ~ ;
Г М
/ (*)
+
О т в е т '. E ( f ) =
б ) / (х ) = 2х2+ 4 ; - 
0) IJ (0; об);
/'W
/(■»)
+
,v л 
. 
16 
Ах*
-16
/ ( х ) = 4 х — - = --- 1— ;
х 
х
/ '(х ) = 0, х4 - 4 = 0;
х, 2 = ±л/2.
/(V 2 ) = /(- V 2 ) = 8.
-
+
\ - ~ И у
^ min '
о
разрыв
\
в) А * ) = л/х +
/ )(/ ) = (0 ;°о);
V ? ’
л/2
min
О т в е т : £ (/ ) = [8; оо)
/ '(x ) = - W -
2л/х 
2хл/х 
2л/х
1
/ '(х ) = 0, 1 - — = 0;
х
х= 1;
/ '(
jc
) не существует в точке х = 0 е £>(/). 
/
0
) =
2
.
/'(*)
fix )
+
О
ш \
■
 
У
* 
mm
О т в е т : Е  ( / ) = [2; оо)
Решение задач на нахождение оптимальных значений
Одной из важнейших областей приложения производной является реше­
ние текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений. 
Схема решения таких задач:
1. 
Выбирается параметр (переменная) х, через который удобно выража­
ется исследуемая величинах.
433

2. Находится функция, выражающая у  через х, т.е. у  =/(х ), и область изме­
нения параметра х;
3. Решается задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения 
функции^ =Дх) на D (/ ).
10. 
Задание: Число 180 представить в виде суммы трех положительных 
слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:2, а произведение всех трех 
слагаемых было бы наибольшим.
Решение:
Обозначим неизвестные слагаемые х,у, г. По условию:
jx + y + z = 180,
[У = 2х;
z = 180-Зх.
D ( / ) в данном случае определяется из условия положительности всех 
слагаемых:
х > 0, 
-
<
2х > 0, 
< 
’ 
х е (0; 60\
|х < 60; 
'
Л
180-Здг > 0;
Произведение трех слагаемьпс обозначим через/ .
Д х ) = 
х • у  ■
г = 
х • 2х • (180 - Зх) = 360х2 - бх3.
/ '(х ) = 720х - 18х2;
/ ’W = 0,
18х2 - 720х = 0;
18х(х - 40) = 0; 
х, = 0, х2 = 40.
Г ( х )
+
П х)
V
40
max
\
60
При х = 40, функция Д х ) достигает своего максимума.
О т в е т : 180=40 + 80+60.
11. 
Задание: В геометрической прогрессии (£>„) с положительными членами 
выполняется условие b, = (А, + Ь2)(ЗЬ, +4Ь2). При каком значении знаменателя 
профессии сумма четырех первых членов принимает наименьшее значение? 
Найдите эту сумму.
Решение:
Пусть 
q 
- знаменатель 
(bn), q>0.
По условию:
6, = (6 j+ 6tfX3^ + 4% ); 
bl =bt(l + q) ( 3 + 4q);
436
b, =
1
(1+ <7X3 + 4 ?)

ь М .
I
S '(q )s П + W
Щ
4
Ж
:
j
+
i
У 2 1.1) 
________
(q 
^ 3 + ^4
S V l)
= 0, 2?
Й1Л'
-2*
О т в е т Я - 2
I Ц min S4 % ‘ 
. боковой сторо- 
9 
___ чиКОВ С 00KUO
12
.
найдите треУ
2 
,v треугольников
иобедренныхтрУ1”
гольник наибо
ной а
решение
щ 
лг~ 2х тогда 
Пусть лС
Составим 
функшоо. 
с = -АС ■
 ВН ;
4 
?
В И = у 1 а ''х'
I 
Г~г 
2
/~2 
Т _ /г 2/д2 — х " ) = 
у О 2 X — X , 
л = - - 2 х - \ а - х ~ хл‘ а ~ х
- V х V "
д 
>
S(x)
D (f):0 < x < a;
2а2х - 4х* 
а 2-2 х г
Я * ) 8 
/ I 1 = 7 " / 1 Т' Т ’
2у1а'х - х
\ а -х  
S ’(x) = 0, 
2х2 - а 2 = 0;
- V 2 e D (/ )’
а
V2
О тв е т: max 5, = —
S '(* )
5(дг)
+
£
\
V2
шах
—о
о
437

§4. ПРОИЗВОДНАЯ И УРА ВН ЕН И Е КАСАТЕЛЬНОЙ
х
/4*1) = tgaI > 0; 
/ '(* :) = tga2 < 0.
Уравнение касательной (не вертикальной) к графику функции у = f(x) в 
точке графика с абсциссой х0 имеет вид: 
y = f'(x 0)(x-xn) + f(x u).
Если прямая у - кх + Ь пересекает ось абсцисс и является касательной к 
графику функции у = f (x ) в точке х = х0, то угол а между этой прямой и 
положительным направлением оси абсцисс удовлетворяет соотношению:
Если функция/ (х) не имеет производной в точке х0, но непрерывна в этой 
точке, то у графика функции в этой точке либо вообще нет касательной, либо 
есть вертикальная касательная. Например,
у = | х | не имеет касательной в точке графика с абсциссой х = 0;
у = у/х имеет в точке графика с абсциссой х = 0 вертикальную касатель­
ную дс=0.
Рассмотрим примеры решения задач на составление уравнения касательной.
1
. Задание: Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функ­
ции f(x ) = ct^ x в точке с абсциссой х = - —?
к = tga = /'(*„)•
Отсюда получаем, что: а =
6
Решение:
438

а  = — .
3
•
2л
О твет: а  = — .
3
2. Задание: Найдите координаты точек касания, в которых касательные к
(х„ + *)‘
(х„ + 1>г =1;
х0+1 = 1, 
х0 = О,
_х0
+1—
-1) _Д"о 
2-
Еслих = 0, тоу=-2; 
если х = -2, т о у - 6.
Имеются две точки касания, удовлетворяющие условию задачи: 
(0;-2),(-2;6).
О твет: (0; -2), (-2; 6). ..
3. Задание: Составьте уравнение касательной к графику функции
/■/ ч * 2- 1 
- о 
)(х ) = ---- в точке х0 = -2.
х
Решение:
Уравнение касательной в точке графика функции с абсциссой х0 имеет 
вид у = / '(х0 )(х - х 0)+ / (х 0).
По условию:
Решение:
Находим / '(х ) =----
(х + 1)2
х0 = -2, /(х 0) = /(-2 ) = т | ;
439

*o = v /'(*«) = i. /(•*o) = z; 
4 
2
v = 1 
jc
- — + — = x + — .
I
4 
2 
4
(
О твет: v = x+—.
4 
„___
9. Задание: Найдите точку, в которой касательная к графику функции>'=х2
перпендикулярна прямой 2дс -у + 1 = 0.
Решение:
Замечание. Прямыеу = кхх + bxviy = к^с + Ь2 взаимно перпендикулярны, 
если 
- к
2
= -1.
Угловой коэффициент касательной: А, = f'(x 0); 
угловой коэффициент прямой у - 2х+1: ^ = 2; 
из условия перпендикулярности находим:
Л, ■
2 = -1,
Касательная, проведенная к у = х2, перпендикулярна прямой у = 2х+1
10. Задание: В какой точке надо провести касательную к графику функции
3
у = х+—, чтобы она пересекла ось ординат в точке (0; 6)? 
х
Решение:
Точка (0; 6) не принадлежит графику функции.
Составим уравнение касательной к графику функции, проходящей через
к} - — .
1 
2
Значит
*0 =
4
только в точке
некоторую точку 
графика:
442

3 
3
*<> = *„, /(х 0) = х0+— , / '(*(,) = i — j-;
Так как касательная пересекает ось ординат в точке (0; 6), значит эти коор­
динаты удовлетворяют уравнению касательной:
Находим ординату точки касания: 
у0
=4.
О твет: (1; 4).
11. Задание: Найдите уравнение общей касательной к графикам функций: 
/(х ) = х2 +4jc+8 и g(x) = х2 + 8х + 4.
Решение:
Замечание: Прямая у= кх + Ь является касательной к параболе у  = /(х), 
тогда и только тогда, когда уравнение/(х)=kx + b имеет единственное решение.
Получим два уравнения: х2 +4x + 
i
= кх + b и дг2 + 8х + 4 = кх + 6, которые 
будут иметь единственные решения в случае, когда дискриминанты равны нулю.
хо J
хо
х0 
х0
х0 =1.
1)х2+4х + 8- Ах-6 = 
0 ; 
2 ) х 2 
+ Sx+4-kx-b = 0; 
х2 + х(4 - * ) + (8 - 6) = 
0; 
х2+ х(8-*) + (4 -6 ) = 
0;
£> =
(4
- к ) 2
- 4 (8
-Ь); 
D 
= 
(8 
- 
к ) 2 
- 4(4 - 
Ь ) ;
* 2
-8*-16+46 
= 0 . 
к 2 -
16* + 48+46 
= 0.
Решаем систему уравнений:
Г*2-8*-16+ 46 = 0, 
{* 2- 16* + 48 + 46 = 0;
I:
8*-64 = 0;
Искомая касательная у = 8х+4. 
О твет: у =8х+4.
443

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: