И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова
§3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ
жүктеу/скачать 10,32 Mb. Pdf көрінісі
|
Р устюмова 2005
- Бұл бет үшін навигация:
- (£„) с положительными членами выполняется ус ловие А, = (6, + Ь2 )(36, +
- Исследование функции с применением производной
§3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ Нахождение интервалов монотонности функции Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке 4 3 1. a) f ( x ) = — ------ -— х 2; 4 3 б ) / ( х ) = х 2 + - ; X х г в ) f i x ) = —— 6 ln(jc - 1 ) ; г) f i x ) = л/х2 -б д г; < *)/ (х ) = х 3 + 3|х|; е ) f i x ) = s in 2 x + 6 s i n j c - 2 x , 0 £ х £ 2;г • . ч . 1 + 4 х 2 o ) / W = ; х -\ ч „ ч х 1 пЗ в ) / ( * ) = - ---------- — ; ln x 3 г ) / ( х ) = 2 е х( х 3 + 2 х 2). 4. f i x ) = х3 - 7,5.x 2 + 18.x + c o s y - >/з + cos 3 х + sin 2 х на отрезке 0 ;— . . ln 2 x Г 1 2* 5. f i x ) = ------- на отрезке - ; е х [ е , v 2 х + 2 2'* 6- Д х ) = --------------на отрезке (-1 ; 2]. 1п2 • 7. / ( x ) = s in .x — sin Эх на отрезке ■ 8. Найдите образ отрезка [ - 1; з] при отображении f (х) = 4х3 -12х- 9. Найдите множество значений функции: а ) f i x ) = З х 2 + 4 х + 2; б ) / ( х ) = 2дг2 + 4 - ; X в ) f i x ) = л/х + -Х=. л/х Исследование функции на экстремум 3. а) / ( х ) = (х + 1)2 (дс - 2 ) 2; х 4 б ) f ( x ) = - ; 4 х в) / ( х ) = -| 4 х + х 2|. Решение задач на нахождение оптимальных значений 10. Число 180 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:2, а произведение всех трех слагаемых было бы наибольшим. 11. В геометрической прогрессии (£„) с положительными членами выполняется ус ловие А, = (6, + Ь2 )(36, + 4 Ь2) . При каком значении знаменателя прогрессии сумма четырех первых членов принимает наименьшее значение? Найдите эту сумму. 12. Среди всех равнобедренных треугольников с боковой стороной а найдите тре угольник наибольшей площади. 424 Исследование функции с применением производной Общая схема исследования функции включает в себя такие элементы, как нахождение промежутков монотонности, точек экстремума, участков выпук лости и т.д. Применение производной позволяет значительно упростить эти исследования. С помощью производной можно находить промежутки возрастания и убы вания функции. Для этого рекомендуется: 1. Найти область определения функции, если она не указана. 2. Найти производную и критические точки функции, т.е. внутренние точ ки области определения функции, в которых ее производная равна нулю, или не существует. Критическими точками область определения разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет знак. Производная не существует в точках разрыва и в точках излома функции. 3. Установить знак производной на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале производная положительна, то на этом интер вале функция возрастает. Если функция имеет отрицательную производную на интервале, то функция убывает на этом интервале. Рассмотрим некоторые типы задач. 1. Задание: Найдите критические точки функции: Нахождение интервалов монотонности функции 4 з а) / (x ) = ^ - - ^ - - x J ; 4 3 б) f( x ) = x2 + — ; е)/ (х) = sin 2х + 6 sin х - 2х, найдите кри тические точки, принадлежащие интервалу 0 < х < 2 л: г) / ( jc ) = V x 2 - б х ; д) / ( х ) = х 3 + 3|х|; х * ) / ( * ) = у - 6 1 п ( х - 1 ) ; Решение. Щ Л = ( - «о;»). Найдем производную: /'(х) = — • 4 х 3 ----- Зх2 — 2х = х1 - х 2 - 2х. 4 3 Для нахождения критических точек решаем уравнение / '(х ) = 0 : х 3 - х 2 - 2 х = 0; х (х 2 - х - 2 ) = 0; жүктеу/скачать 10,32 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|