И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

Длина дуги: / = 
а -г
(угол 
ав
радианах);
/ = — - • 
а
(угол 
ав
градусах).
180
Длина окружности: С 
= 2л-г.
Площадь круга: 
S = л -r2.
Метод поэтапного решения задач с использованием различных теорем
Рассмотрим несколько теорем, достаточно часто применяющихся при 
решении различных задач.
1. Пропорциональные линии в круге.
АЕ • DE = СЕ- BE
АВ?
= 
AC- AD
АВ • АС
= 
АВХ
 ■
 АС,
1. 
Задание:
Из точки 
А,
удаленной от окружности на 8, проведена каса­
тельная к окружности. Найдите расстояние от точки касания до прямой, про­
ходящей через точку 
А
и центр окружности, если радиус равен S.
Решение:
I
506

1) 
ab
2 = 
a c a d
-
,
А 
AB2*
818;
АВ-
12.
2) Из A
ОВА : OB2
= 
АО ОН ;
25 = 13-0#;
о н Ж  
If
к а - , .
VI 
13Л 
13 
J
V13 13 
13 
13 
g
Ответ:
4— .
13
2. 
Задание:
В окружности проведана хорда, перпендикулярная радиусу и про­
ходящая через его середину. Найдите эту хорду, если диаметр окружности равен 8.
Решение:
AOCD -
равнобедренный.
Обозначим 
СЕ
=
ED~x.
АЕ ■
 ЕВ = СЕ- ED \
I
6-2 = х х ;
х = В 1 2 * У з ;
CD =
4л/3.
Ответ: 4т/з.
3. 
Задание:
Хорды 
МК
и 
РТ
пересекаются в точке 
А.
Найдите длину хорды 
МК, ост АР=2;АТ=
24; 
AM: КА
= 3:4.
Решение:
По условию: 
АМ:КА=
3 :4;
АТ-АР = АМ-АК
;
I
24-2 = Зх-4х;
х2 = 4; 
х=*2;
AM=6;AK=S;MK=
14.
Ответ:
14.
507
3) 
= 
^Ш -ОН1 =
^ 5 - Щ У = 5^

4. 
Задание:
Из точки 
А,
не лежащей на окружности, проведены к ней ка­
сательная и секущая. Расстояние от точки 
А
до точки касания равно 16, а 
до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32. Найдите 
радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на S.
Решение:
5. 
Задание:
Через точку 
М,
удаленную от центра окружности на расстоя­
ние 
Ь,
проведена секущая 
МА
так, что она делится окружностью пополам: 
MB
= 
В А.
Определите длину секущей 
МА,
если радиус окружности равен г. 
Решение:
Ответ:
-у/
2(62 -г2) .
2. 
Рассмотрим формулы для радиусов описанной и вписанной окруж­
ностей треугольника.
в
16 
л
1 
)AB2 = A C A D ; 
162 = 
АС-32;
32
2 > г с . м - А С . 2 = ! . п .
2
 
2
3)AOFC:
Ответ:
13.
ОС - у]OF2
+ 
FC2
= л/25 +144 =13; 
R=
13.
MB ■
 МА
= 
MD ■
 МС
; 
х-2 х 
= (Ь-г)ф 
+ 
г)-,
2х2 = Ь2- г2;
S-
площадь треугольника;
S
г = ~\
Р
а + Ь + с
508

в
6. 
Задание:
В равнобедренном треугольнике высота равна 20, а основание 
относится к боковой стороне как 4:3. Найдите радиус вписанной окружности. 
Решение:
Рассмотрим 
ABDC:
ВС
2 = 
BD2
+ 
CD2
(т. Пифагора);
9х2
= 202 + 4х2;
5х2 = 400; 
х
2 = 80; 
х
= 4->/5;
ВС = ВА =
12л/5, Ж7 = 16л/5;
20 16-У5
40>/5
Ответ:
8.
7. 
Задание:
Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 10 и
12. Найдите радиус окружности, если расстояние от середины меньшей хорды 
до большей хорды равно 4.
Решение:
Построим 
MN-
среднюю линию 
ААВС; 
АН-3
(египетскийтреугольник);
АН = -AN,
значит 
AAMN -
равнобедренный; 
MN=5;BC=
10;
„ 
а-Ь с
10 10 12 
10 10 3 25
R
= ----= - 
у
......... ===== = ----- = —
.
45 
4V16-6-6-4 
4 6-2 
4
Ответ:
— . 
4
509

8. 
Задание:
К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с 
основанием 12 и высотой 8, проведена касательная, параллельная основанию. 
Найдите длину отрезка данной касательной, заключенного между сторонами 
треугольника.
Решение:
D f
п\ Е
А
°
\)S^BC = ~BL- АС
= —-8-12 = 48.
2) По т. Пифагора:
ВС
= V 
BL2
+ 
LC2
= V64 + 36 = 10;
«
S
48 ч
3) г = — = — = 3.
р
16 
OK=OL=3;KL=6
;
4) 
АВКЕ
—
ABLC
(по двум углам);
— = — ; - = 
DE=
3.
BL 
LC
8 
6 
2
Ответ:
3.
Метод подобия в геометрических задачах
9. 
Задание:
Радиус сектора равен Л, а хорда его дуги равна о. Найдите 
радиус круга, вписанного в этот сектор.
Решение:
1) 
ААВО
- равнобедренный, т.к.
А О =ВО =R.
Значит, 
AN = BN = -.
2
2)AOMQ1~AONA
(по двум углам);
aR ах
R-x =
----- ;
2 
2
. _ 
а-/?
j c
Л + — = —
;
о,л/ =
2R
+ 
а 
aR
2R +а
ОхМ ОО
, 
ЛЛГ “ Ж? ’
R x = -(R-x);
Ответ:
aR 
2 R + a
510

10. 
Задание:
Окружность проходит через вершины В, Си/)трапеции 
ABCD 
и касается стороны 
АВ
в точке 
В.
Найдите длину диагонали 
BD,
если длины 
оснований трапеции 
а
и 
Ь.
Решение:
\)ZABD
= — u
BED 
2
I
D
ZABD
= Z
BCD
;
ZBCD
= —u
BED
'
2
Z
ADB
= Z СВД т.к. ВС || ЛД
BD
- секущая. 
2) Значит, 
AABD ~ ADCB
(по двум углам); 
AD BD 
b 
BD
T 5 ~
BC' BD~ 
a '
BD
= 
yfab
•
Ответ: -Jab.
11. 
Задание:
Две окружности радиусами 3 и 5 касаются друг друга внеш­
ним образом. Проведены две общие внешние касательные. Найдите расстояние 
от точки пересечения данных касательных до центра большей окружности. 
Решение:
Обозначим 
АР=х.
ААОуВ
~ 
АА02С
(по двум углам);
О,В
о2с
АО, 
АО
L
-- -
(3 О,
3 ] 
5 
р 2
\
3 _ * + 3 -.
— 
9
А
П
А 
Кк 
I
I
5 jc + 11
—
5 
J
3х + 33 = 5х+
15;
н
ОО
х=9; АР-9’,
АОг =АР + РК+ К02
= 9 + 6 + 5 = 20.
Ответ:
20.
Метод решения задач путем дополнительных построений
Основными этапами, причем достаточно стандартными, являются: выде­
ление треугольников с вершинами в центрах рассматриваемых окружностей, 
выражение длин отрезков через известные и неизвестные величины, составле­
ние уравнения. Для составления уравнения, как правило, используют теорему 
Пифагора.
12. 
Задание:
Окружности радиусом В и г касаются друг друга внешним 
образом. Найдите длину общей внешней касательной.
511

Решение:
1)Построим 
ОгА
|| 
КХК2. 
К{К,ОгА
- прямоугольник. 
АКХ
= 
02К2
= г;
0,0,1
= 
АО.2
+ 
А О
'2
2) Д
А0
х
02 :
(т. Пифагора);
(R + r)2 = (R-r)2+x2;
R2 + 2R ■
 г + г2 = R2 - 2R • г+г2 + х2;
х
2 = 4 R r ;
КХК2 =
2V F7.
Ответ: 2-jR-r.
13. 
Задание:
Даны две окружности радиусами 12 и 7 с центрами в точках
О, и 
02,
касающиеся некоторой прямой в точках А/, и 
М2
и лежащие по одну 
сторону от данной прямой. Отношение длины отрезка 
МХМ2
к длине отрезка
2yfs
ОхОг
равно---. Найдите длину отрезка 
М]М2.
Решение:
1) Построим 
02Е
|| 
МХМ
2. 
ОгЕМуМ
, - прямоугольник. 
02Е = М,М2, ЕМ
, = 
02М2
= 7; 
ОхЕ = ОхМх-ЕМ,
= 5.
2) Обозначим: О, (Э2 = 
х-
>
02Е=у.
Используя т. Пифагора и условие задачи составим и решим систему урав­
нений:
0,0,2 = 02£ 2+0,£2,
У = / + 52,
х2 = / + 5 2
Л/,М2 _ 2л/5.
Z - 2 V 5 .
Vsy.
О А ” 5 .
.х 
5 ’ •
X
— 
2 
2
4
/ = 100; 
у= \0;02Е=
10; 
х =
5>/5; 
0Х02
= 5л/5;
Ответ:
10.
512

14. 
Задание:
Две окружности, радиусы которых 4 и 8, пересекаются под 
прямым 
углом. Определите длину их общей касательной.
Решение:
1) 
Щ 0 2А : О р2 = -Jo,А2 +02А2
1
-J\6 + (A
= 4>/5 .
2) Построим 
OtE
|| 
КХК2.
KlK2EOl
- прямоугольник.
КгЕ =
*,0, = 4;
KtK2 = Е01
= 
х.
Ъ)ЩОгЕ :
02Е
= 
ОгК2
- 
КгЕ
= 8-4 = 4;
0{Е
= Ш
|
|
= л/80-16 = 8; 
К
х
К2 = Е О ^
8.
Ответ:
8.
15. 
Задание:
Две окружности радиусом 9 и 4 внешне касаются друг друга 
и прямой. Найдите радиус окружности, вписанной в образовавшийся криво­
линейный треугольник.
Решение:
\) 03-
центр окружности, вписанной в криволинейный треугольник, с
К,К2
= 
О, А = J o tf- O jA 1
= Vl32 -52 = Vl44 = 12.
3) Построим через точку 
03
прямую 
MN
|| 
КХКГ
т = к хкг=\
2
.
513

4) Соединим центры 
0 jc 0 3n 0 2c 0 3.
АО, МО): МО? = 0,0? -0,М 2;
МО?
= (4 + г)2 - (4 - г)2;
А/О, 
-
4 л/г.
Д02МЭ3: 
NO?
= 
020 ? - 0 2N2;
NO?
=(9 +г)2- (9 -г)2;
iVO, = 6л/г.
5)MN = MOi +NO,;
4л/г+6л/г = 12; 
|
К - 6.
5’
Г - 36 
л »
36
г - — • 
Ответ:
— .
25 
25
Алгебраические методы решения геометрических задач
16. 
Задание:
Из точки окружности проведены диаметр и хорда. Длина хор­
ды равна 30, а ее проекция на диаметр меньше радиуса окружности на 7. 
Найдите радиус окружности.
Решение:
По теореме о пропорциональных отрезках в 
прямоугольном треугольнике:
АВ2 =АЕ-АС;
302 =(Л-7)-2Л;
2R2-\4R-
900 = 0;
R2-1R
- 450 = 0;
Л = 25. ;
Ответ:
25.
17. 
Задание:
Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит 
каждую из двух других его сторон на отрезки, равные 2 и 23. Найдите радиус 
окружности.
Решение:
Обозначим 
ОЕ=х; KL = BE
= 2.
АВ=СВ=
25.
Рассмотрим Д
ОКЕ -
прямоугольный.
514

OE=x,OK=OL-KL=x-2;
KE = LB = AB-AL = 25-x;
Пот. Пифагора:
OE2 = OK2+ KE2;
х2 = (х-2)2 + (25-х)2;
х2 — х2 — 4х + 4 
+
625 
- 
50х 
+ 
х2
;
х:2-54х +629 = 0;
х, = 17;
х2 
-
37 (не подходит по условию задачи,
Ответ:
17.
18. 
Задание:
Три окружности попарно касаются друг друга. Отрезки, со­
единяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найдите ради­
ус меньшей окружности, если радиусы двух других равны 6 и 4.
Решение:
Обозначим 
0,В=х.
Тогда:
OfOj
= 
ОхВ
+ 
ВОг — х
+ 6;
0,0j = 
0,А
+ 
АО} = х + 4;
0203
= 
ОгС 
+ 
С03
= 4 + 6 = 10. 
Из A0,020j пот. Пифагора 
составим и решим уравнение: 
0г0 2
= 
Ор? + О р2;
102 = (х + 4)2+(х+6)2; 
х2 + 10х-24 = 0; 
х=2;ОхВ=2.
Ответ: 2.
Метод площадей в геометрических задачах
19. 
Задание:
В равнобедренный треугольник с основанием 
а
вписана ок­
ружность радиусом г. Определите периметр треугольника.
Решение:
Обозначим Z 
ВАС= а.
/ЗАО
= 
Z.OAC
= —;
2
. n jn
a OD
AOAD: 
tg
— = -- ■ 
-
2 
AD 1
2 г
SIS

tga -
a
■
) 2r 
2
tg -
2
—
2 _
a
H
i H
1
л2 
^ 
a
4a-r
a2 -4r2
ABAD: BD
= 
AD ■
 tga
= — • , ° Г , 
°
~ .2 >t_2
2a2 j
^ ■ = ^ с - и > л а ~|
2 
2 
a - 4r
с 
- 1 
•
&ABC ~ 2
P ' r’
2 a*-4r* 
a2 - Ar2 
2 a2-r 
а*-г
a
- 
4r
a -r
1
~2
, 2
= ~ Р ’Г'’ 
a -
4 
r 
2
2
a3 -r = 
p r (a2
- 4 r2); 
2a3
P =
a2 -4r
Ответ:
2
a3
a - 4r
Метод уравнивания в геометрических задачах
20. 
Задание:
Найдите косинус угла при основании равнобедренного 
треугольника, зная, что точка пересечения его высот лежит на вписанной 
в треугольник окружности.
По условию задачи точка пересече­
ния высот лежит внутри треугольника, 
поэтому Z
В
< 90°.
Обозначим: Z
BAD
= 
a; OD
=
г.
Тогда 
ZOAD = -
, Z
ЕАС
=90° - 
а.
2
Рассмотрим Д
ADO:
Решение:
в
м /
\
e
°
1
516
Рассмотрим 
AADH
:
AD = DH • ctgZHAD
= 2 
г ■
 ctg(
90° 
- а ).
Имеем: г • 
ctg
— = 2
г • ctg(
90° - 
а
) ; 
ctg— = 2tga
;
2 
tg— 
а
2 .
ctg— = 2
--- — ,
2 
.- « ■ §
AD = OD • ctg ZOAD
= 
r • ctg
— .

21. 
Задание:
В окружности проведены две хорды 
АВ
= 
а
и 
АС=Ъ.
Длина 
дуги 
АС
вдвое больше длины дуги 
АВ.
Найдите радиус окружности. 
Решение:
л
Проведем 
ВС.
Вспомогательный элемент: Z 
АСВ ~х.
Тогда Z ЛВС =2х.
a 
Ь
1) По теореме синусов:
I
a ______Ъ
sinx 2sinxcosx’
Ъ 
Ь
a
= —*— ; cosx = — .
2cosx 
2 
a
2) С другой стороны: cos2 х + sin2 
х
= 1;
Ш
V4o2-62
Ответ:
3
Метод вспомогательного элемента в геометрических задачах
sinx sin2x
- V i­ cos x = ,/i-
4 
a
2 a
3)/? =
a-2a
2sinx 2V402 
-b2 yj4a2-b2
Ответ:
22. 
Задание:
В окружность радиусом 
г
вписан равнобедренный треуголь­
ник, у которого сумма длин основания и высоты равна диаметру окружности. 
Найдите высоту треугольника.
Решение:

h
г 
х
х
I 
D
i
О 
I
Вспомогательный элемент: отрезок 
AD=x. 
Используя свойство пересекающихся хорд и 
условие задания, составим и решим систему 
уравнений:
2г = 2(2А) + А; 
2 г = 5А;
А = —г.
5
A D D C = B D D F , 
AC + BD = BF;
2г = 2х +
А, 
х2 = А(2х + А - А);
Ответ: h = —r.
5
х2
= А(2г-А), 
2х + А = 2г;
2г = 2х + А, 
х = 2И;
23. 
Задание:
Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза 
которого делится точкой касания вписанной окружности на отрезки а и А. 
Решение:
С
Обозначим через г - радиус
вписанной окружности.
ДЛВС: 
AB=AD + DB = a + b; 
АС=АЕ + ЕС— а +
г;
ВС = BF+FC = Ь + г.
По т. Пифагора:
Я 
ЛЯ2 = ЛС2 + ВС2;
(а +А)2 = (а + г)2 + (А + г)2; 
а2 + 2аА + А2 = а2 + 2ar + г2 + А2 + 2Аг + г2;
2 ab
= 2г2 + 
2г(а
+ А); 
ab
= г2 + r(ar + А).
Sмвс = —(AB+AC+BC)r = —(a+b + a+r + b + r)r
= (а + А + г)г = г +(а+А)г;
З&
авс
 ~ а^'
Ответ: ab.
Метод “вспомогательной окружности”
Одним из интересных элементарно-геометрических методов является ме­
тод “вспомогательной окружности”. Обычно данный метод характеризуется в 
решении следующими оборотами: “Заметим, что точки Л-
, У,... лежат на одной 
окружности...” или “Проведем окружность через точки А", У ,...”. Приведем 
несколько примеров.
518

24. 
Задание:
Дан A
ABC
- равносторонний. Из точки 
А
проведен луч и на 
нем взята точка 
М
так, что Z 
ВМА
- 20°, Z 
АМС
= 30°. Найдите Z 
ВАМ.
Решение:
Z 
ABC =
60° (т.к. 
АЛ ВС
- равно­
сторонний);
Z 
АМС
= 30° (по условию). 
Значит, точка 5 - центр окруж­
ности с радиусом 
АВ
(точки 
А,СиМ 
лежат на окружности).
АВ = ВС=ВМ.
Следовательно, А
АВМ -
равно­
бедренный.
Значит, Z 
ВАМ=
Z 
ВМА
= 20°.
Ответ:
20°.
25. 
Задание:
Медианы /4Л/и 5£ треугольника ЛВС пересекаются в точке 
О. 
Точки 
0,М,Е
и Слежат на одной окружности. Найдите 
АВ,
если 
BE
=
АМ=
3.
Решение:
ОС
- диаметр 
(ААОЕ
= А
ВОМ);
В
Z 
ОМС
=
90° (т.к. опирается на диаметр);
Z 0 £С =90° (т.к. опирается на диаметр). 
Значит, А
4ВС -
равносторонний.
х
Обозначим: 
АВ=х, АЕ
= —.
. 2
М ВБ
: Л2? = 5£ + Л£ (т. Пифагора);
2 
лг2 
х =9 +— ;
Зх2
= 36; 
х = 2л/3, /15 = 
2у/3.
Ответ:
2л/з.
Геометрические задачи, распадающиеся на несколько случаев
26. 
Задание:
Найдите радиусы трех попарно касающихся окружностей с 
центрами в вершинах треугольника со сторонами 8,9,10.
Решение:
1 случай. Три окружности касаются друг друга внешним образом.
АВ = 8;ВС= 10; АС=9.
i
x'+y
= 8. 
х
+ : = 9, 
y+z = 10;
519

с
Ответ:
(3,5; 4,5; 5,5).
2 случай. Две окружности касаются внутренним образом.
2(х+д; + г) = 27; 
x+y+z=
13,5; 
z=5,5;
7=4,5;
х=3,5.
а) 
Пусть радиус окружности с центром 
в точке С равен z.
Г*+ у = 8,
\z-x = 9,
[г
- 7
= 10;
2z=27; 
z= 13,5;
*=4,5;
>’=3,5.
Ответ:
(4,5; 3,5; 13,5).
б) 
Пусть радиус окружности с центром 
в точке 
А
равен 
х.
y + z =
10,
• 
X - у
= 8,
X
- 
Z
= 9;
2х=27;
*-13,5;
^=5,5;
г=4,5.
Ответ:
(13,5; 5,5; 4,5).
520

в) 
Пусть радиус окружности с центром в точке 
В
равен 
у.
Ответ:
(5,5; 13,5; 3,5).
Резюме
В данной главе вы познакомились с методами решения задач по геометрии. Были 
рассмотрены задачи из сборников тестов по математике за 2003 г, 2004 г.
В результате изучения данной главы вы должны овладеть следующим умениями:
- изображать на рисунках геометрические фигуры, указанные в условиях за­
дачи, выделять известные фигуры на чертежах и моделях;
- уметь проводить нужные для решения дополнительные построения: высоту 
в треугольнике, радиус, точку касания и т.п.
г уметь решать задачи на вычисление, опираясь на изученные в теоретическом 
курсе сведения;
- уметь применять аппарат алгебры и тригонометрии при решении задач на 
вычисление значений геометрических величин (длин, углов, площадей);
- проводить полные обоснования в ходе решения задач.
521

Глава IX
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Тема “Координаты и векторы” имеет большое прикладное значение для 
решения геометрических задач, а также задач из других областей математики.
Метод координат является самым универсальным методом геометрии. 
И тестовые задания включают несколько задач, в которых метод координат 
предпочтительней других методов (речь идет о тех заданиях, условие которых 
не содержит упоминание о координатах).

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: