И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

Уравнение прямой, проходящей 
через точку 
М (х0; у0) 
с угловым коэффициентом 
к: 
у=у0 
+ 
к(х-х0)
У 
‘i
Х м ( х 0,у0)
;
Уравнение прямой 
в отрезках на осях:
* +z = ,
т п
(т *
0, 
п Ф
0)
у
, 
0
i
(0;л)
(/я;0) 
х
Уравнение прямой, проходящей через 
две заданные точки 
А(х^;у})
и 
В(х2;у2)
:
У~Ух _ х-х,
у ф У, Х2~Х1
А(Х\\
У\
)
Условие параллельности двух прямых
К А г
Условие перпендикулярности двух прямых
Ы
II 1
Расстояние от точки 
М(х0;у0) 
до прямой 
ах 
+ 
by 
+ с
= 0
К о + 
Ьу0+с\ 
у1а2+Ь1
Уравнение окружности
С центром в начале координат
х1 +у2
= г 2,г > 0
С центром в точке 
М(х0;у0)
(х-х0)2 +(у-у0)2 
= г 2 ,г >
0
Любое уравнение вида 
х2+у2+ах + Ьу 
+ с =
0 
задает на плоскости либо окружность, либо точку, либо пустое множество:
(
1 
V 
(
а '+ Ь 2
х+—а
+ 
у
+ —
b 
-
-------
с.
(
2 )
V 2 )
4
523

Прямоугольная декартова система координат в пространстве
Координаты середины отрезка:
С
*Л +Хв .У А +Ув .гА +2В
Расстояние между двумя точками:
АВ = т](хА-хв)2
+ 
(ул -ув)2+
(
zA ~z
B)2
B(xB;yB;zB)
► 
У
*(хА;уА;г,,)
Координаты точки 
М,
делящей отрезок 
АВ
в отношении 
Л:
— - л = > м (Х
а
+ 
ХХв У
а
+ЛУ
в
* л+Хг*
MB 
[
1 + Л ’ 1 + Л * 1 + Л
Простейшие задачи в координатах
1. 
Задание
: Известны координаты вершин треугольника 
А(2;
-1; -3), 
В(-3; 5; 2),
С(-2; 3; —5). 
ВМ-
медиана треугольника 
ABC.
Найдите длину 
ВМ.
Решение:
В(-
3; 5; 2) 
Найдем координаты точки 
М -
середины
отрезка 
А С:
, / 2 - 2 -1+3 -3-5'
М\
---- ;----- ;----
^ 
2
 
2
 
2
Л/(0; 1; —4).
Ответ:
>/б1.
2. 
Задание:
В треугольнике 
ABC MN-
средняя линия, 
М
е 
АВ
, 
N
е 
В С
. 
Найдите координаты точек 
В
и С, если 
А(-
1; 3), 
М(
3; 4), 
N(4;
2).
Решение:
1{х \у
) 
Обозначим координаты точки
Щ
3;4)
А(-
1;3)
В(хв;ув).
Т.к. точка 
М-
середина отрез­
ка 
АВ
, имеют место равенства:
1 + х„ 
- _ З+уд
2
3 =
С(хс ;ус )
Тогдахв = 7,.ув = 5. 
ВО, 5).
524

Аналогично находим координаты точки С(хс 
;ус ) :
С (
Ответ: В
(7; 5), С (1; -1).
3. 
Задание:
Найдите периметр Л
MNP,
если 
М(4;
0), 
N(12;
-2 ),
Р(
5; -9). 
Решение:
Найдем длины сторон треугольника:
MN
= 7(4-12)2 + (0 + 2): = л/68 = 2>/П;
Л7» = V(12 - 5
)2
 + ( - 2 + 9
)2
= л/98 = 7л/2;
Л*Р = 7(4-5)2+(0 + 9)2 = л/82.
Р
лшр
=2
у
/У7+7
л
12+^2.
Ответ:
2 л/17 + 7л/2 + л/82.
4. 
Задание:
На прямой х + 2у — 1 = 0 найдите точку, равноудаленную от 
точек (-2; 5) и (0; 1).
5. 
Задание:
Точки С(4; 1; -1) и 
D
(0; 5; 5) делят отрезок 
АВ
на три равные 
части. Найдите длину отрезка 
АВ.
А(-2;5)
щ
Решение:
Составим и решим систему уравнений:
fxc +2.yr -l = 0,
{(-2 - хс)2 + 
(5-угУ
= (0 - хг)2 + (1 - 
уг)2;
[хс
+ 
2ус
-1 = 0,
(4 + 4хг + х2 + 25-10>'с 
=*с +1 ~ 2ус
+ >£;
|х с + 2уг -1 = 0, 
W
~2Ус
+ 7 = 0; 
хс=~ 3’Ус=2-
Ответ:
(—3; 2).
C(4;l;-1) 
D(0;5;
5)
-ф
Решение.
1) Найдем координаты
В(хв;ув;гв)
точки 
Л(хА;уА;гА).
Т.к. точка С- середина отрезка 
AD,
ее координаты: 
х. +х„ 
х.
+0

-\ = 5
a
.+
z d
= L
l
± 1
z  = _ 7
2 
2 
A(8;-3;-7).
2) Зная, что D - середина отрезка 
СВ,
найдем координаты точки
£(-4; 9; 11). 
. 
1
3) Длина отрезка 
АВ
= д/(8 + 4)2 + (-3 - 9)2 + (-7 - 11)J = V612 
= 6у/п .
Ответ:
6>/l7.
6. 
Задание:
Точка 
В
делит отрезок 
АС
в отношении 4:1. Найдите координа­
ты точки 
В,
еслиЛ(-1; 3; 2), С(4; 13; 12).
Решение:
5(3; 11; 10).
Ответ: В
(3; 11; 10).
7. 
Задание:
Найдите координаты центра тяжести треугольника, заданного 
своими вершинами: 
А
(2; -1), 
В
(4; 2), С (3; 5).
ВС
С(3;5)
Решение:
1) Найдем координаты точки 
К -
середины 
стороны 
ВС:
Я(4; 2) 
сечения медиан данного треугольника.
2) Центр тяжести треугольника - точка пере-
Зная, что -- = 2, найдем координаты
МК
А( 2;-1)
точки 
М:
526

хл+2хк
. 
Ул+2У,
м\
У
 
1
 + 
2
М
 (
3
; 
2
). 
Ответ: (3,2).
1
 + 
2
М
2 + 2-3,5 -1 + 2-3,5
4(3; 2)
С(-1;9)
А/
А/(2; 1).
Запани на аналитическую запись линий на плоскости
8. 
Задание:
Составьте уравнение прямой, изображенной на рисунке. 
Решение:
A = tg45°=l.
По формуле уравнения прямой, проходящей че­
рез точку с заданным угловым коэффициентом имеем: 
у =
2+1(х-3); 
у —х—
1.
Ответ: у=х-\.
9. Задание:
Треугольник 
ЛВС
задан своими вершинами 
А(
1; 3), 
В(
5; -7), 
С (-1; 9). Составьте уравнение прямой, содержащей медиану Л Л/треугольника.
Решение
:
1) Найдем координаты точки 
М-
середины 
отрезка 
ВС:
Я Ц Д -7+gj 
2 '
2) Для составления уравнения медианы, вос­
пользуемся формулой уравнения прямой про- 
. ходящей через две точки Л(1;3) и 
М (2;
1):
у-3 х-1
1-3 ” 2-Г 
у-3
х-1
-2 " 1 ’ 
у -
3=-2х+2;
у=-2х 
+ 5. 
Ответ:у=-2х +
5.
10. 
Задание.
Составьте уравнение прямой, параллельной прямойу—2х+5=0 
и проходящей через точку 
А
(3; -1).
Решение:
Перепишем уравнение данной прямой в виде 
у
= 
2х
- 5.
Из условия параллельности прямых, следует, что угловой коэффициент 
искомой прямой будет равен 2.
Используя формулу уравнения прямой с заданным угловым коэффи­
циентом, найдем:
527

A(l; 2)
C (6 ;l)
B( 2-2)
y=-\
+ 2(дг-3);
y-2x-l. 
Omeem:y=2x-l.
11. 
Задание
: Треугольник 
ABC
задан координатами своих вершин 
А(
1; 2), 
В(2;
—2), С (6; 1). Составьте уравнение высоты 
CD.
Решение:
1) Найдем уравнение прямой 
АВ: 
у -2 
х-1
- 2 - 2 ~ 2 - Г
у - 2 _ дг-1
_у-2 = —4дс + 4; 
у=~4х + 6.
2) Из условия перпендикулярности прямых, найдем угловой коэффициент 
к
искомой прямой 
CD:
к (-4) = -1;
* = ’ .
4
3) Составим уравнение прямой 
CD,
используя угловой коэффициент и 
точку С:
У
= 1 + ~(*~6);
4
v = 
илидг-4 v-2 = 0.
4 
2 
Ответ: х-4 у -2 = 0.
12.
Задание:
Запишите уравнение окружности, центр которой находится 
в точке (-3; 2) и которая проходит через точку (0; 6).
Решение:
1) Найдем радиус окружности:
г
= 
OK
= V(-3-0)2+(2-6)2 = л/25 = 5.
2) Составим уравнение окружности с центром 
в точке О (-3; 2):
(x + 3)2+Cv-2)2 =25.
Ответ:
(jc
+ 3)2 
+(у-2)1 =25.
13. 
Задание:
Расстояние от центра окружности jc2 + 2jc + 
у1
- 
4у 
+1 = 0 до 
начала координат равно?
Решение:
Преобразуем уравнение окружности: 
дс2 
+ 2дс +1 + 
у1 - 4у + 4 +
1 
— 1 — 4 = 0;
528
£(0; 6)

(x + l)2 + (j>-2)2 = 4.
Координаты центра окружности: (-1; 2).
Расстояние от центра до начала координат: 
d
= yj(-l)2
+22 = л/5 .
Ответ:
-У?.
14. 
Задание:
Составьте уравнение окружности, описанной около треуголь­
ника, стороны которого лежат на прямых: 
х = 0;у
= 0; Зх + 4у- 12 = 0.
Решение:
1) 
Найдем точки пересечения 
прямой 
Зх
+ 
4у-
12 = 0 с осями коор­
динат.
(х
= 0,
С осью 
OY:
Зх + 4у-\2 = 0; 
[х
= 0,
А
(0; 3).
ц ц
Щ 
о,
Я 4;0).
х
= 4;
2) 
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности ле­
жит на середине гипотенузы.
Найдем координаты центра окружности:
0 + 4 3 + 0"
2 
[ 
2
Радиус окружности равен половине длины гипотенузы 
АВ:
АВ
>/42+32
О
0(2;
1,5).
г
=
= 2,5.
2 
2
3) Составим уравнение окружности:
(х-2)2+0>-1,5)2 =6,25.
Ответ: (х-2)1 + (у -
1,5)2 = 6,25.
15. 
Задание:
Напишите уравнение окружности, радиус которой равен 5, и 
проходящей через точки 
А
(-2; 1) и 
В
(6; 1).
Решение:
Составим уравнение окружности с радиусом 5 и центром (х0;^0): 
(х-х0)2+(>->»0)2 =25.
Т.к. точки 
А
(-2; 1) и в (6; 1) принадлежат данной окружности, составим 
систему уравнений:
529

Решение геометрических задач методом координат
Формулы координат середины отрезка и расстояния между двумя точка­
ми можно использовать для решения более сложных геометрических задач. 
Главное при решении геометрических задач координатным методом - удач­
ный выбор системы координат: выбор начала координат и направления осей. 
Обычно в качестве осей координат выбирают прямые, фигурирующие в ус­
ловии задачи, а также оси симметрии фигур, рассматриваемых в задаче. 
Желательно, чтобы система координат естественным образом определялась 
условием задачи.
Приведенные ниже задания уже были решены методами элементарной 
геометрии, но для их решения можно использовать и метод координат.
16. 
Задание
: Две стороны треугольника равны 
а
и 
Ь.
Медианы, проведен­
ные к этим сторонам взаимно перпендикулярны. Найдите третью сторону.
Решение
:
У
Пусть 
ВС
=
а, АС
= 
Ь.
Введем систему координат, взяв медиа-
В
ны треугольника в качестве осей координат. 
Обозначим координаты точек 
В
(0; 
у),
A
(-
jc
; 0).
Учитывая, что медианы точкой пересе-
А
х
чения делятся в отношении 2 :1 (считая от
вершины), получаем:

Так как точка 
М
середина отрезка АС,
для точки 
С
(хс ; ус) 
равенства:
имеют место
— X + X ,-
0 = — ^-Цдгс = х;
С (х -у).
Найдем расстояния 
ВС
и 
АС:
\a = yjx2
+4 
у2, ia2=x2+4y2, 
[Ь = ^4х2 + у1 \
\b2=4x2+y2\
У
0 + JV 
~~2
2 I 
У
'г 4 Ь2- а г 
х
=
15
г
4 а2-Ь2 
У
1 — гг—
Искомое расстояние АВ
будет:
Я
Г г
--- 1 
\4Ь2 - а 2
4о- - 6 2 
fob2 +3а2 
\а2 +Ь2
AB = J x 2 +у
= J ------ 1
1
1
------- = , ------ 1
v 
V 
15 
15 
V 
15 
V 
5
Ответ:
v 
^
17. 
Задание:
Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треуголь­
ника, 
равны 
а
и 
Ь.
Найдите гипотенузу.
У 
Решение:
Пусть 
АМ= а, ВК
= 
Ь.
Введем систему координат, выбрав в ка­
честве осей координат катеты треугольника.
Обозначим координаты точек 
А(
0; 
2у), 
В(
2х;0).
Тогда координаты других точек будут:
М(х;0),К(0;у).
Длина гипотенузы: 
АВ = J(2x)2
+ (2
у)2 = 2-Jx2 + у1. 
Найдем расстояния 
AM
и 
ВК:
I ; 
+(2у-0) , 
\а2 = х ±4у , 
|| = 

V 2 = 
4x2 + У2’
Найдем гипотенузу:
-
&
Г
' г -4а2-Ъ1
у
= - т г -
2 4 Ь2- а2 
х
=
15
АВ
Ответ: 2
( 4
а 2-Ь2
2 
!ЗЬ2+За:
15
15
+б2
а2+Ь2
531