И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

Трапеция
аи Ь-
основания;
И
- высота;
/ - средняя линия; 
dt
и 
- диагонали;
(р -
угол между диагоналями. 
а+Ь 
2~
/ =
_ 
а+Ь , , ,
1 . ,
S
= ----
п
= / • А = 
—a.
- a, -sme?
2 
2 
2
Равнобокая(равнобедренная, равнобочная) трапеция
В 
С
AB = CD 
ZA = Z D  
AC=BD 
ВК-СЕ
АК=ED,BC=КЕ
ААВК
= A
DCE
— прямоугольные
Следует иметь в виду, что:
1. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его проти­
воположных сторон равны между собой.
2. Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противопо­
ложных углов равна 180°.
Метод поэтапного решения задач с использованием различных теорем
В
________
С
1. 
Теорема. В параллелограмме сумма 
квадратов диагоналей равна сумме квадра­
тов всех его сторон.
АС2 + BD2 =2а7 +2Ь2
1. 
Задание:
Перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к 
его диагонали, делит эту диагональ на отрезки длиной 6 и 15. Разность длин 
сторон параллелограмма равна 7. Найдите длины диагоналей параллелограмма. 
Решение:
АК
= 6, 
КС=
15, 
АВ
=
х, ВС
= 7 + 
х\
490

ААВК: ВК1 = АВ2 - АК1 = х2 - 36;
АВКС: ВК2 = ВС2 - СК2 = 
(7 
+ х)2 - 225; 
х2 - 36 = 49 + И х + х2 - 
225;
14х= 140; 
х = 10;
ЛВ = 
10, ВС= 
17;
а с
=
а к
+
к с
=2\;
Д С2 + 
BD2
= 2(ЛЯ2 + В С 2);
2 12 + 
BD2 =
2(100 + 289);
BD2 = 
33 7, 
| В I л/ЗЗТ. 
Ответ:AC=2\, BD
= 
V337 
.
Из всех четырехугольников особенно разнообразные задачи связаны с 
трапециями.
2. Соотношения в трапеции:
*) 
В 
С
Применим метод уравнивания:
MN -
средняя линия 
HD = MN 
S1B,.„ = B H H D
ABCD -
равнобедренная трапеция
ACLBD
Значит, 
BH-HD
Вписать в окружность можно толь­
ко равнобокую трапецию.
В-ЛВГП
“ Л* .ОГЛ
491

(
АВ + CD
= 
ВС+AD 
Z
AOB
= 90° - прямой 
OE2 = AE -BE
Если в трапецию можно вписать ок­
ружность, то высота данной трапеции 
равна диаметру вписанной окружности.
2. 
Задание:
Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высо­
та равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Решение:
Так как трапеция равнобокая и диагонали взаимно перпендикулярны, то 
средняя линия трапеции равна ее высоте. Значит, 5 = А2 = 100.
Ответ:
100.
3. 
Задание:
В равнобедренной трапеции длины оснований 21 и 9, а длина 
высоты 8. Найдите радиус описанной около трапеции окружности.
^
----
Решение:
|
A
BHD: HD = —~ td£ . =
is ;
BD
= 
л!вН2 +HD2
= -у/64 + 225 = 17;
ААВН: АН = А° - В-
= 
— -
= 6;
2 
2
АВ = 
л
!
а
Н 2 + ВН2
= >/36 + 64 = 10. 
Вычислим радиус описанной окружно­
сти около A
ABD:
R _ a b c
_ 10 17 21 
5-17 
85
45 
4--8-21 
8 
8 
2
Значит, радиус описанной около трапеции окружности равен _ .
8
Ответ:
О
4. 
Задание:
Около трапеции со средней линией 6 описана окружность. 
Угол между радиусами окружности, проведенными к концам боковой сторо­
ны, равен 120°. Найдите площадь трапеции.
Решение:
ZADB
= 
—ZAOB
= 60° (вписанный угол);
492

ABHD:HD=6;
ВН = HD ■
 tg60° = 6л/3;
SABcn
= HD 
■
 BH 
= 6 
• бл/з 
= 
збл/з.
Ответ:
36>/3.
5. 
Задание:
Около круга с радиусом 2 описана равнобокая трапеция с 
площадью 20. Найдите боковые стороны трапеции.
Решение:
а + Ь
•4 = 20;
а + Ь-
10.
Значит, сумма боковых сторон трапеции также равна 10.
Ответ:
боковая сторона равна 5.
6. 
Задание:
Около окружности описана равнобокая трапеция, длины ос­
нований которой равны 3 и 6. Найдите радиус окружности.
В
С
Решение:
BC+AD = AB + CD:
АВ - CD
= -;
2
Д
АВН: АН
АР-ВС
6-3 
2 
2
Ответ:
вн
= 
-J
a b
2-
a h
2
= J — - - = Vie = 
3
V
2
;
14 4
3V2
ВН
Зл/2 
Г ~
2
 
~
2
 
~ ~  
2
7. 
Задание: ABCD -
трапеция, описанная около окружности. ЛВ = СД
Леса 
= 1
6
, 5Z)
= 5. Найдите площадь трапеции.
В
Решение:
AB + CD = BC + AD = -Pabcd.
Значит,
Л В = C D = 4 , ££> = 
BC + AD.
= 
4.
ABED: BE
= 
yjBD2 -ED2
=>/25-16 =3. 
5-ря, = В £ £ / ) = 3-4 = 12.
Ответ:
12.
493

8. 
Задание:
В равнобокую трапецию вписана окружность. Точка касания 
делит боковую сторону в отношении 9:16, высота трапеции равна 24. Найдите 
длину средней линии трапеции.
Решение:
г = - = 12. 
2
BE
__
9
ААВО
- прямоугольный, 
—z
= — .
АЕ
16
г2
= 
ЛЕВЕ;
122 = 16х-9;г, 
х=
1;
ВЕ=9;АЕ=\6.
ВС+AD =АВ + CD;
BC+AD=
50.
Средняя линия трапеции равна 25. 
Отлет:
25.
9. 
Задание:
Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой 
боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 и 9. Найдите площадь 
трапеции.
Решение:
АЛОВ: г2 = АЕ- BE; 
r = 6;h=
12.
ВС=
4 + 4 = 8;
AD=
9 + 9=18;
с 
ВС
+ 
AD и
8 + 18 ^
= -------
h =
— --- 12 = 156.
В
4
В
12
Ответ:
156.
Метод подобия в геометрических задачах
10. 
Задание:
Дана трапеция 
ABCD
с основаниями 
ВС
= 12 
wAD=21.
Най­
дите диагональ 
АС,
если 
Z ABC
= Z
ACD.
Решение:
Пусть 
АС=х.
ААВС
~ Л
DC А
(по двум углам);
АС
_ 
ВС х__]2 
AD~ АС’ 27 ~ х ' 
х2
=4-3-27; 
х=
18.
Ответ:
18.
494

11. 
Задание:
На продолжении стороны 
АВ
(за точку 
В)
параллелограмма 
ABCD
взята точка 
F.
Определите длину отрезка 
BF,
если длина 
АВ
равна 10, 
АЕ :С Е=
4,5 : 3 (£- точка пересечения прямой 
DF
с диагональю 
АС).
F
Решение:
AAFE ~
A
CDE
(по двум углам);
AF _ АЕ
10 + jc 4,5 
CD~ СЕ’
10 * 3 ’
30 + 3х=45;
Здг= 15; 
х = 5;
BF=
5.
Ответ:
5.
Метод решения задач путем дополнительных построений
Основным методом решения задач, в которых фигурируют многоуголь­
ники 
(чаще всего - четырехугольники), является разбиение многоугольника 
на 
треугольники для того, чтобы можно было использовать обычную технику 
решения 
треугольников.
Отметим несколько стандартных приемов разбиения четырехугольника на 
треугольники.
1. В трапеции бывает полезно провести через одну из ее вершин прямую, 
параллельную противоположной боковой стороне.
2. Если в условии задачи говорится о диагоналях трапеции, то стандартным 
будет дополнительное построение, состоящее в проведении через одну из ее 
вершин прямой, параллельной диагонали.
3. В трапеции бывает полезно опустить из вершин верхнего основания 
перпендикуляры на нижнее основание.
4. В трапеции можно продолжить боковые стороны до пересечения и рас­
смотреть полученный треугольник.
5. Если в условии задачи фигурирует середина одной или нескольких 
сторон четырехугольника, 
то стоит добавить середины каких-нибудь других 
сторон или диагоналей и 
рассмотреть средние линии соответствующих 
треугольников.
Покажем, как работают эти приемы, на конкретных задачах.
12. 
Задание:
Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины 
непараллельных сторон 
- 20 и 13. Найдите высоту трапеции.
Решение:
Построим 
СЕ
|| 
АВ.
495

25
АВСЕ 
-
параллелограмм.
СЕ= 
13.
ACED: 
ED=Ab-AE=25 -4
=21. 
По формуле Герона:
^■£о = 
у /р(р- аХ р- Ь )(р- с)
=
= V27-6-14-7 =>/72-22-34 =
= 7-2-9 = 126.
1
С другой стороны, 5 ^0 , 
= —СН ED = -h- 
21.
Используя метод площадей, получим:
—А-21 = 126;
2
— =
6
;
2
А = 12. 
Ответ: 
12.
13. 
Задание: 
В трапеции основания 5 и 15, а диагонали 12 и 16. Найдите 
площадь трапеции.
Решение:
Построим 
СЕ || 
BD.
BCED 
-
параллелограмм.
СЕ= 
12/
По формуле Герона;
S ^rf = 
yjpip- ^K p- bK p- c)
=
Г£ = -Л £ • СН = -(AD + DE)CH =
= 724-4-8-12 =
л
/82 -42 -32 = 
= 8-4-3 = 96.
AD + BCCH;
BC + AD
СН.
Значит, Уи™ = 96.
Ответ: 
96.
14. 
Задание: 
Определите боковые стороны равнобедренной трапеции, если 
ее основания и площадь равны соответственно 8,14 и 44.
Решение:
Построим 
ВК 
X 
AD, CF 
JL 
AD.
Постольку проекции боковых сторон равнобедренной трапеции равны, то 
3.
496

ВК
= 4.
А
АВК: АК
= 3, ЯК = 4, тогда гипотенуза 
А 
К 
F 
^ АВ = 5
(египетский треугольник).
14 
Ответ: 5.
15. 
Задание:
В трапеции углы при одном из оснований имеют величины 
20° и 70°, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 2. Найди­
те длины оснований трапеции, если длина средней линии равна 4.
£
Решение:
Точка £ - пересечение боковых сто­
рон трапеции 
АВ
и 
CD.
AAED—
прямоугольный, т.к. 
Z £ = 1 8 0 °- (Z X + Z D ) = 90°. 
EL=AL=LD=y.
АВЕС -
прямоугольный,
ЕО=ВО-СО=х.
Составим систему уравнений:
\EO + OL-EL\
х
+ 
у
= 4, 
х- у - -
2;
х=\,у=3.
ВС=2х=2\
AD 
— 2y=6.
Ответ:
2 и 6.
16. 
Задание:
Даны основания трапеции 
аиЬ(а>Ь).
Найдите длину отрез­
ка, соединяющего середины диагоналей трапеции.
Решение:
В 
Ь
С 
Продолжим отрезок 
PQ
до пересечения бо­
ковых сторон в точках А/и 
N.
ААВС: МР -
средняя линия в треугольнике;
МР =
2
A
BCD: QN-
средняя линия в треугольнике; 
Ъ

MV - средняя линия в трапеции 
АВСЩ
Тогда 
PQ
= 
MN-MP-QN
=
а + Ь Ъ Ь а-Ь 
2
 
~
2
~
2
~
2
Ответ:
а-.Ь
В
С
Алгебраические методы решения геометрических задач
17. 
Задание:
Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из 
точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основа­
ниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 и 5.
Решение:
Обозначим 
LM
= х, 
KN=y.
Трапеция 
KBCN:
. . . BC + KN
LM
= -- -
— й
- средняя линия.
Т рапеция 
ALMD
:
___ 
LM + AD
_
KN
= -------- средняя линия.
Составим систему уравнений:
2 + у 
2 
х + 5 
2
= 
х, 
= У,
2х - у
= 2, 
x-2y = -5\i-2)-,
2х- у -2, 
-2х + 4у =
10;
3
у=
12; 
у = 4,х = 3.
Ответ:
3 и 4.
18. 
Задание:
Найдите стороны прямоугольника 
ABCD,
если отрезок 
AM, 
проведенный из вершины 
А к
сторонеВС, образует 
Z BAM=
45°, а 
МС-MB
=3. 
Периметр прямоугольника равен 24.
Решение:
Обозначим 
АВ=х, AD —у.
По условию задачи составим систему урав­
нений:
\И.х+у)
= 24, 
\х+у =
12,
[Cv-x)-x = 3; ~
2
jc
+ = 3;
Зх = 9; 
х = 3,у=9.
Ответ:
3 и 9.
498

19. 
Задание:
В трапеции 
ABCD AD
и 
ВС -
основания, отношение 
AD: ВС 
составляет 4:3. Площадь трапеции равна 70. Найдите площадь треугольника ЛВС. 
Решение:
Пусть 
ВС= Зх, AD
= 4х, 
ВН=И.
В
З х
С
ABCD
1хИ
ВС + AD 
Зх + 4х 
1хН
-------
ВН
= ------
п
= ---
\
2 
2 
2
= 70, 
xh
= 20.
2
Тогда:
S ^Rr 
= 
—ВН 
• В С = —А 
• 
Зх 
= -xh = — • 
20 
= 
30. 
2
2
2
2 
Ответ:
30.
20. 
Задание:
Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр 
74 
дм,
а площадь 3 V ?
Решение:
Обозначим стороны прямоугольника через 
хи у.
По условию задачи составим систему уравнений:
(Р = 2(х + у),
S = ху,
1
2(х + у) =
74, 
\ху =
300; 
(х-у)2 =
169. 
х-у 
= 13, 
х+у = 
37;
1)
х + у = 37, 
ху =
300;
х =
25,
У =
12;
х2+2ху + у2
=1369, 
-4ху = -1200;
2
)
х - у = -13, 
х + у =
37;
х = 12, 
у = 25.
В
С
Ответ: 
\2дмн25дм.
2
1. 
Задание:
Найдите площадь ромба, если его высота 12, а меньшая диа­
гональ 13.
Решение:
Обозначим сторону ромба 
АВ
= 
х.
ABHD . HD
= 
JbD2-BH2 =
Vl 69 — 144 = 5 
(по т. Пифагора).
А
АНВ : АН2 + ВН2
= 
АВ2;
(jc-5)j + 122 
=х2; 
jc
2-10
x
+ 25 + 144 = х2;
10х= 169; 
х = 16,9;
Ответ:
202,8.
499

Метод площадей в геометрических задачах
22. 
Задание:
Большая сторона параллелограмма равна S, а высоты 2 и 2,5. 
Найдите вторую сторону параллелограмма.
Решение:
Пусть сторона параллелограмма:
CD=x.
В
С
ABCD
= B H A D =
2-5 = 10; 
= 
BE ■
 CD
= 2,5х;
2,5х= 10; 
х=4.
Ответ: А.
23. 
Задание:
В ромб, который делится своей диагональю на два равносто- 1 
ронних треугольника, вписана окружность с радиусом 2. Найдите сторону 
ромба.
Пусть 
CD=х-
искомая сторона ромба, 
l l w
' 
i
V3
!,/3
SbDBc = 2Sbim- = 2 — O F ■
 CD
= 
2x;
x2S
= 2x;
8>/3
О твет:
8>/3
24. 
Задание:
Высота и диагонали ромба относятся как 12:15:20, а его пери­
метр равен 100. Найдите площадь ромба.
Решение:
В
АВ = 
P ABCD
: 
4 = 25.
Обозначим коэффициент пропорционально­
сти через 
х.
АС=20х;
BD= 15х;
ВН=
12х;
= ^ - Г 2- - 2° * 1 15Х = 150Х2;
500

150x2 = 12x-25;
6x=12; 
x =2 , 
BH-24;
SAm'D
= 
BH AD
= 24-25 = — ----= 600.
4
Ответ:
600.
Метод уравнивания в геометрических задачах
25. 
Задание:
Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если каж­
дый его угол на 18° больше каждого угла четырехугольника с равными углами.
Решение:
Обозначим число сторон выпуклого многоугольника за 
п.
Сумма внут­
ренних углов «-угольника равна:
180°(я - 2) = (90° +18°)я;
72° • 
п
= 360°;
п
= 5 - число сторон выпуклого многоугольника.
Ответ:
5.
26. 
Задание:
Периметр ромба равен 52. Диагональ ромба отсекает от него 
треугольник с периметром 36. Найдите высоту ромба.
Решение:
Л - Р
авсо
 ■
 4 = 5 2 : 4 = 13;
BD
= 
Рыво ~ 2АВ
= 10.
Обозначим 
АН
=x;HD=
13-х.
ААВН: ВН2 = АВ2-А Н 2
= 132 - х 2;
ADBH
: 
ВН2
= 
BD2
- tf£>2 = 102-(13-х)2; 
132- х 2 = 102- (1 3 - х )2;
169-х2 = 100-169 + 2 6 х - х 2;
26х=238;
SABCD = BH-AD = \2х 25;
В
13/
3 d o
/
с
1 1 3 - Д /
238
119 
13 ’
АН
=
119
26 
13 
13
ВН
= 
ylAB2 -АН2
#
132
>/50-288 
V25-2-2144
13
-
______
120
Ответ:
— . 
13
13
N9 
13 
5-212 
13
В
(169-119)(169 + 119) _ 
132
120
13 ‘
501

27. 
Задание:
Средняя линия трапеции с основаниями 4 и 6 разбивает тра- 
пецию на две фигуры. Найдите отношение площадей этих фигур.
Решение:
В
А
С
Средняя линия:
Метод вспомогательного элемента в геометрических задачах
AD + MN
AD + MN
Н Н . К * М . У
Вспомогательный элемент - отре­
зок 
ВО
=
Н О
= А.
9^
11
Ответ:
— .
11
28. 
Задание:
Через точки Ли 
Е,
принадлежащие сторонам 
АВ
и 
AD
паралле-
2 
1
лограмма 
ABCD
и такие, что 
AR
= 
— АВ, АЕ = - AD
, проведена прямая. Найдите 
отношение площади параллелограмма к площади полученного треугольника. 
В 
с
Решение:
Вспомогательные элементы:
АВ
= 
a, AD = b, Z. А = а .
absina
1 2
1 , .
---
a - b s m a
2 3 
3
А/
С
Ответ:
9:1.
29. 
Задание:
В равнобедренной трапеции, описанной около круга, острый угол 
при основании равен 
а.
Найдите отношение площади круга к площади трапеции.
Решение:
Введем вспомогательный элемент:
АВ
= 
CD - а.
Высота трапеции:
СН — CD-sinZD
= a-sina.
Поскольку высота трапеции равна диамет­
ру круга, то:
502

S„ = л-г1 = —я а2 sin2а .
* 
4
Согласно свойству сторон описанного четырехугольника:
BC+AD=AB+DC=: 2а.
_ 
ВС
+ 
AD
2а 
2
= -— ---- С Н  = y o - s i n a = a sina.
-я-a,
-sui'ar
Искомое отношение:
_ 4_
1
a sina
= —/г-sina. 
4
Ответ: 0,25л-sina.
Геометрические задачи, распадающиеся на несколько случаев
30. 
Задание:
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан пря­
моугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие - 
на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они 
относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45?
Решение:
В
1 случай.
Задача решается составлением уравнения:
2х + 5х + 2х=45;
х
=5.
Ответ:
10; 25.
2 случай.
Задача решается составлением уравнения: 
5х+5х+2х=45;
^ ,5 
х = — = 3,75.
4
Ответ:
7,5; 18,75.
31. 
Задание:
Биссектриса одного угла параллелограмма делит его сторону 
на 14 и 28. Найдите периметр параллелограмма.
Решение:
1 случай.
Р = (14 + 42)-2= 112.
503

2 случай.
Р
= (28 + 42)-2= 140.
В сборнике тестов по математике за 2004 г. 
В2 №23 дан только ответ 140.
Ответ:
112 или 140.
При решении более сложных геометрических задач одновременно исполь­
зуются несколько методов. Рассмотрим следующий пример.
32. 
Задание:
Длины оснований трапеции 
а
и 
Ь.
Найдите длину отрезка 
прямой, параллельной основаниям трапеции и делящей ее на две равновели­
кие фигуры.
Решение:
По условию: 5 ^ = 5 ^ 0.
Введем вспомогательный элемент: 
MN=x.
m . C E = * ^ .N F :
D
Построим 
СК
|| 
MB, NL
|| 
AM,
тогда: 
ACKN ~ ANLD
(по двум углам). 
Метод подобия:
а+х 
Ь + х
NF
СЕ'
KN 
CE 
LD ~ NF'
Метод уравнивания: 
а+х Ь-х
Ь—х
СЕ
NF'
NF
СЕ
Ь-х
Ь+х х- а 
х2 - а2 = Ь2 -х2; 
2 х2 = а2+Ь2;
а2 +Ь2
Ответ:
а+ Ь 2
504

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: