И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

ALMA MATER
И.П. РуСТЮМОВА?
T.A. КУЗНЕЦОВА
c.i^ y C T to M O B A
ШШ
шше

&$, fjL / 0 2 9 -
2 J i
. 1G к Ш Ы А М Л & С С Я к С ' Ю Я - С
62*623-А Б - 550.00 
51
P88 Рустюмова, И. П.
Пособие для подго­
товки к единому нацио­
нальному тестированию 
(ЕНТ) по математике: 
учеб .-метод, пособие. - 
Алматы, 2005
ш ш

i> 
1
P 8 8
И.
П. Р У С Т Ю М О В А
Т. А . К У З Н Е Ц О В А
С. Т. Р У С Т Ю М О В А
ПОСОБИЕ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ
К ЕДИНОМУ
НАЦИОНАЛЬНОМУ
ТЕСТИРОВАНИЮ (ЕНТ)
ПО МАТЕМАТИКЕ
PRESS
Алматы
2005

Рекомендовано Учебно-методическим советом
Казахской академии образования им. Ы. Л лт ы нсарина
КАН Анатолий Андреевич
- заслуженный учитель КазССР, 
КАСАТКИН Владимир Борисович
- учитель высшей категории
Р у с т ю м о в а И . П ., К у з н е ц о в а Т . А ., Р у с т ю м о в а С . Т . П о со ­
бие для подготовки к ед и н о м у н ац и о н а л ьн о м у т е с т и р о в а н и ю
(Е Н Т ) по м атем атике. 
Учебно-методическое пособие..—
А л м а ­
ты: «Зият П ресс», 2005 - 544 с.
ISBN 5-7667-7904-6
Дапнная работа содержит решения тестовых задач часто встречающихся 
в ЕНТ по всем разделам математики и геометрии, где проведена 
скурмулезная методическая обработка задач и систематизированы методы 
их решения Решения задач отражены просто и компактно на высоком 
профессиональном уровне, вместе с тем четко выделены основные методы 
решения 5адач в тестах ЕНТ.
Учебно-методическое пособие предназначена для подготовки к ЕНТ 
учащихся старших классов, абитуриентов, а также для учителей и 
преподавателей мятемят_шси- как аример экономного и подробного подхода к 
(эаТФрДОяыдольной программы.
Р е ц е н з е н т ы :
доемик С.Б«й^ аты н д аш *ыл«ми 
I
С ^ А П Х А Н А С Ь * *
BTWHAafbi ПМУ-Д'П
© Рустюмова И. П., 
Кузнецова Т. А.,
Рустюмова С. Т., 2005 
© Зият Пресс, 2005

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта публикация не является учебником или сборником задач по матема­
тике в традиционном понимании. Цель пособия в том, чю бы ознакомить 
учащихся с типовыми методами решения тестовых задач, а также научить их 
избегать стандартных ошибок, допускаемых поступающими в ВУЗы РК.
Настоящее пособие предназначено в первую очередь для старшеклассни­
ков, готовящихся к сдаче ЕНТ. Оно дает возможность учащимся за короткий 
срок ликвидировать имеющиеся пробелы в знаниях по математике из курса 
школьной программы.
Материал пособия ориентирован на систематизацию знаний матема­
тических дисциплин и, таким образом, основательную подготовку к ЕНТ. 
Материал соответствует программе вступительных экзаменов по математике 
и охватывает все разделы школьного курса.
Стоит отметить, что за последние годы общий уровень математической 
подготовки выпускников школ резко снизился. Большинство учащихся плохо 
владеют простейшей техникой тождественных преобразований, не умеют 
строить графики элементарных функций, не обладают пространственным 
воображением и не имеют навыков логического мышления (см. табл.).
Результаты, показанные абитуриентами в ЕНТ, являются бесспорной оцен­
кой уровня и качества системы среднего образования в Казахстане.
Статистика показывает, что абитуриенты решают всего 30% тестовых 
задач по математике. Кратко изложим требования, которые предъявляются 
к математическим знаниям абитуриентов, а также прокомментируем содер­
жание настоящего пособия.
Выпускнику средней школы необходимо твердо владеть формулами 
сокращенного умножения, легко делать тождественные преобразования и 
оперировать с рациональными степенями. В пособии особое внимание обра­
щается на действия с иррациональными выражениями, умение освобож­
даться от иррациональности в знаменателе и выделять полные квадраты в 
иррациональных выражениях.
Навыки в решении рациональных уравнений заключаются не только в 
умении решать квадратные уравнения, но и в умении применять теорему 
Виета в нестандартных ситуациях, раскладывать многочлены на множители, 
вводить новые переменные для понижения степени уравнения. При решении
3

Данные по ЕНТ за 2004 год по РК 
(тестирование по математике)
Каз.отд.
Рус.отд.
Город
Село
Всего
№
Область
Кол-
во
Ср.
балл
Кол-
во
Ср.
балл
Кол-
во
Ср.
балл
Кол-
во
Ср.
балл
Кол-
во
Ср.
балл
1 Акмолин­
ская
3314
8,32
6130 9,61
3814
10,34 5630 8,35 9444
9,16
2 Алматин­
ская
13695
7,78
5502 9,28
6396 9,13
12801 7,75
19197
8,21
3 Актюбин-
ская
6401
7,95
2435 9,91
4554 9,12
4282 7,82 8836
8,49
4 Атырауская 5469
8,11
1072
10,66 4128 9,09
2413
7,57 6541
8,53
5 Западно-Ка­
захстанская 5198
8,05
3672 9,56
3668 9,58
5202 8,03 8870
8,67
6 Мангистау-
ская
4557
7,96
951
11,03 3308 9,09
2200 7,59 5508
8,49\
7 Восточно-
Казахстан-
ская
9687
8,50
8565
10,53 9441
10,47 8811
8,36
18252
9,45
8 Жамбылская 8330
8,04
2433
10,42 4437 9,98
6326 7,60 10763
8,58
9 Карагандин­
ская
6460
8,56
9384
10,56 12538 10,24 3306 7,85
15844
9,74
10 Кызылор-
динская
7507
7.82
602
10,34 4975 8,37
3134 7,43 8109
8,00
11 Южно-Ка­
захстанская 21755
7,70
3072
10.27 9592 8.98
15235 7,41 24827
8,02
12 Костанай-
ская
2456
7,88
8193 9,75
5284
10,57 5365 8,09 10649
9,32
13 Павлодар­
ская
3403
9,18
5097
11,01 4901
11,59 3299 8,43 8200
10,32
14 Северо-Ка-
захстанская 1848
8,52
6497
10,48 2620
12,29 5725 9,02 8345
10,05
15 г. Астана
1244
10,54 2205
11,53 3449
11,17 0
0,00 3449
11,17
16 г. Алматы
4575
10,77 7807
12,16 12382 11,64 0
0,00 12382
11,64
Итого по РК
105599 8,19
73617 10,43 95487 10,15 83725 7,92 179216 9,11
рациональных неравенств требуется свободное владение методом интервалов, 
который является основой решения неравенств в других темах курса.
В пособии разобраны элементарные примеры на применение этого метода. 
Метод интервалов при решении неравенств особых трудностей, как правило, 
не вызывает. Зато количество технических и арифметических ошибок при этом,
4

пожалуй, больше, чем при решении любых других задач. Одна из причин 
тому - привычка определять знак функции в различных интервалах непосред­
ственной подстановкой какого-либо значения из этого интервала вместо ана­
лиза знаков. Помимо возможности арифметической ошибки при вычислении 
значения функции, иногда бывает, что берется значение из другого интервала, 
особенно если разделяющие их числа являются иррациональными. Метод ана­
лиза знаков представляется гораздо более надежным при решении неравенств 
методом интервалов.
Решение различных уравнений и неравенств с модулем предполагает не 
только знание определения модуля, но и навыки в использовании свойств 
модуля при решении сложных задач. Методы решения таких задач демонстри­
руются в пособии на примерах.
В теме “Иррациональные уравнения” ключевую роль играет понятие 
равносильности уравнений на данном множестве. Основой школьной про­
граммы по этой теме являются: определение области допустимых значений, 
проверка корней после возведения в четную степень или введение дополни­
тельных ограничений на обе части уравнения. Часто встречающийся пробел в 
математической подготовке старшеклассников - неумение решать иррацио­
нальные неравенства. Поэтому в параграфе “Иррациональные неравенства” 
подробно разобраны примеры решения таких неравенств.
Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств ос­
новано на знании свойств показательной и логарифмической функций. Здесь 
также существенную роль играет искусство равносильных преобразований, а 
при решении логарифмических неравенств - умение переходить к системе 
рациональных неравенств. Примеры, разобранные в соответствующей главе, 
иллюстрируют этйИриемы.
Главной проблемой при решении тригонометрических задач является 
недостаточное владение формулами тригонометрических преобразований. 
Понятно, что запомнить большое количество формул не просто, тем более, 
надо не только знать их, но и уметь выбирать самую полезную формулу в 
конкретной ситуации. Единственное реальное средство - решение достаточно 
большого количества задач.
Одной из самых распространенных ошибок при решении тригонометри­
ческих уравнений является потеря корней при сокращении обеих частей урав­
нения на выражение, содержащее неизвестную, которое может обращаться 
в нуль.
Тригонометрические неравенства и преобразования обратных тригоно­
метрических функций, практически не изучаемые в школе из-за недостатка 
времени, также широко представлены в пособии и разобраны на конкретных 
примерах.
5

Традиционно на экзаменах предлагаются задачи на профессию. Как пра­
вило, эти задачи также требуют особого внимания. Разобранные в пособии 
примеры дают представление о решении подобных задач.
При решении текстовых задач крайне необходимо умение анализировать 
весь комплекс условий задачи, составлять верные соотношения между задан­
ными и искомыми величинами и записывать их в виде уравнений и нера­
венств.
В отношении геометрических задач главной проблемой является неуме­
ние найти правильный метод решения. Тем не менее, можно отметить наиболее 
часто встречающиеся ошибки, основанные на использовании геометричес­
ких соображений, не вытекающих из условия задачи. Нередко к этому подтал­
кивает неудачно выполненный чертеж, например, если изображается равно­
бедренный треугольник, хотя по условию задачи он таким не является, может 
возникнуть желание использовать свойства равнобедренного треугольника, 
не имеющие места в данной ситуации. Для того чтобы избежать ошибок тако­
го рода, необходимо тщательнее следить за геометрическим обоснованием 
рассуждений.
В пособии авторы не стремились восполнить пробелы учащихся в знаниях 
по геометрии, так как это потребовало бы значительных методических усилий 
и большой работы с графическим материалом. Первоначально мы ограничи­
лись лишь тем, что подобрали интересные и разнообразные тестовые задачи 
по геометрии, стараясь охватить основные темы школьного курса математики 
по планиметрии, и упорядочили их по объектам изучения: задачи на треуголь­
ники, четырехугольники и окружности.
6

Глава I