§2. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Разложение вектора 
по координатным векторам
У
i 
ау
Д
0
Если 
а(ах,а
у),т о 
а = ax i + ay- j .
^ а / |
, 
«х 
х
Коллинеарные векторы
а з
a, i t
а2 -
сонаправлен- 
ные векторы
a, t 'l а4 - противопо­
ложно направленные 
векторы
Коллинеарными
называются векторы, лежащие 
на одной прямой или на параллельных прямых.
Условие коллинеарности
векторов 
a(ax;av) 
и 
b(bx;by)
в координатном представлении:
^- = — = /1. 
к
к
Ортогональные векторы
а
Ь
a Lb
- ортогональные 
векторы
а
1
Ь
<=> 
Z(a,b) =
90°
Условие ортогональности
векторов 
a(ax',av) 
и 
b(bx;by)
на плоскости: 
ах-Ь,+ау Ьу =
0.
Скалярное умножение векторов
•А 
.
Ь
0° < 
<р <
90° 
а
• 
Ь
> 0
а 
<р =
90° => 
а • Ь
= 0
т 
--г
Ь
V
.
6 
_ _
90° < р < 180° => 
< 0
Скалярным произведением
двух векторов 
а
и 
Ъ 
называется число, равное произведению длин 
этих векторов на косинус угла ф между ними:
a-b =
jaj-|A|-cos^.
Скалярное произведение векторов 
а(ах;ау)
и 
b(bx;by)
выражается через координаты: 
а-Ь = ая Ьх+ау Ьу.
Модуль вектора: |e| = 
-Ja-a
= 
Ja .
533

Применение скалярного произведения к решению задач
cos Z(a,6) =
м м
- 
- 
ax-bx+a b 
В координатном представлении: cos Z (a, 
b
) =
Векторы в пространстве
Если координаты начала
Л(хА;уА;гА)
и конца вектора 
B(xB',yB;zB) ,
то 
координаты вектора: АВ(хв — хА\ув — yA',zB — zA) .
Длина вектора a(ax\av\az)
, заданного своими координатами:
Н = 
т]ах +а1+ а\
•
Если 
а(ах,ау;а_)
и 
b(bx;by;bz) ,
то: 
а
+ 
Ъ
= 
(ах + Ъх\ау + Ъу\а.
+ 
Ъ
_); 
а-Ь = {ах-Ъх\ау- Ъу\а. - Ь.);
Ла = (Лах;Лау;Ла.), Л
е Л;
а а + рЪ 
=
(
аах
+ 
Р>Ъх\аау
+ 
рЬу\аа2
+ 
pb.\ а,р
е Л; 
а • Ъ
= 
а
• 
bT + av
• 
Ь
+ 
а.
• 
b
У 
У
*
- - 
ax-bx + av-bv + a-b. 
cos Z (a ,b ) = f—... 
Л ^ 
—угол между векторами.
-Jax +а1
+ 
а\
’ 
+by+b~
ar 
°v 
О.
,
Условие коллинеарности векторов:
——
= —=- = — = Я .
ЬУ 
ь.
Условие ортогональности векторов: ax-bx + av-bv+az-b, = 0.
534

1. 
Задание:
Найдите координаты конца вектора 
а(-
2; 1; 3), если его начало 
совпадает с точкой 
А(
5; 4; -1).
Решение:
Используя формулы нахождения координат вектора, получим:
Рассмотрим решение типовых задач, встречающихся в тестах.
2. 
Задание:
Даны векторы: 
<з(3;-2) 
и 
Ь(-
3; 4). Найдите координаты вектора 
2а - ЗА.
Решение:
3. 
Задание:
Даны координаты точек 
А
(-3; 2; -1
), 
В
(2; -1
; 
-3), С( 1
; 
-4; 3), 
D
(-1
; 2; -2). 
Найдите 
|2АВ
+ 3CdI .
А
(-3; 2; -1), 
В
(2; -1; -3), С(1; -4; 3), 
D
(-1; 2; -2).
. Найдем координаты векторов 
А В
и CD:
АВ
(2 + 3;-1-2;-3 +1), ЛД(5;-3;-2);
CD(-1 -1; 2 + 4; - 2 - 3), СХ>(-2;6;-5).
2ЛЯ(10;-6М), 3CD(-6;18;-15);
2ЛВ
+3GD = (10 - 6; - 6 +18; - 4 -15) = (4; 12;-19);
\2АВ+ЗСВ 
= 
+ \22 +(-19)2
=
-J52\. 
Ответ: J
521.
4. 
Задание:
Вычислите длину вектора о = (/я - 
Зл) 
- (3/я - 4л), если даны 
координаты векторов п(2; 4; 5), т(1; 0; 1).
Решение.
а = {т-
Зл) - (3/л - 4л) = я - 2/л; 
л(2;4;5), 2т(2;0;2); 
а =
л - 
2 т = (2 - 2; 
4 
- 
0; 5 
- 
2) 
= 
(0; 4; 3);
Л (5;4;-1)
—2=дс-5, 
х — 3;
1 
=у-4, 
у = 5; 
3=z+
1, 
1| 2.
Ответ: 
В(
3; 5; 2).
а(3;-2), 6(-3;4);
2а(6;-4), 36(-9;12);
2а - 36 = (6 - (—9);—4-12) = (15;-16).
Ответ:
(15;-16).
Решение:
Ответ: 
5.
535

S. 
Задание
: Длина вектора 
а(т;т +
1;2) меньше 3 для всех значений т, 
принадлежащих множеству?
Решение:
|а| = 
Jm2
+ (m + l)2 + 22 < 3;
Ответ
: (-2; 1).
6. Задание:
При каком значении а
векторы АВ
и 
CD
коллинеарны, если 
А
(-2; -1; 2), В (4; -3; 6), С(-1; а-1; 1), 
D
(-4; -1; а).
Решение:
АВ(4
+ 2; - 3 +1; 6 - 2), ЛВ(6;-2;
4);
GD(—4 +1; -1 - а +1; а -1), СО(-3;-а;а-1).
„
V* 
6 - 2 4
Условие коллинеарности векторов: — = — ---- .
-3 
—а а —
I
-3• (-2) , 
_ , 
I
-3-4 
_
Тогда 
- а =
---
-— - 
= 
1, а 
= 
-\, 
а -
1 = --- = -2, а 
= -\.
6 
6
Ответ:
-1.
7. Задание-.
Если вектор а
(1; 2т
+1; - 2) перпендикулярен вектору 
b(m\
1; 2т
) , 
то т
равно?
Решение:
Из условия ортогональности векторов получим:
1да + (2/я + 1)1 + (-2)-2да = 0;
1
- /и = 0;
т -
1. 
\
Omeem: 1.
8. Задание:
Если вектор а(х;у;
3) перпендикулярен вектору 6(3; 1;-1) и оси 
OY,
то сумма 
х +у
равна?
Решение:
Из условия 
a Lb
получим: 
х■
3 + 
у •
1 + 3• (-1) = 0;
3дс+7=3.
л/2/и2 +2/И + 5 < 3; 
2т2
+ 
2т
- 4 < 0; 
/и2 + 
т
- 2 < 0;
(/и + 2)(/и -1) < 0;
т е (-2;!).
536

На оси 
OY
возьмем единичный вектор ДО; 1; 0). 
Из условия 
a L j
получим: 
х 
0 + 
_у 
-1 + 
3 
0 = 0; 
у =
0
.
3х 
+ у = 
3, 
(у
= 0,
У = 0;
х
_ j 
х+у=
1. 
Ответ.
1.
9. 
Задание
: Даны точки Л( 1; -2) и 5(2; 4), тогда разложение вектора 
АВ
по 
координатным векторам равно?
Решение:
Найдем координаты вектора: 
АВ(2 -
1; 4 + 2), 
АВ(
1; 6).
Тогда 
АВ
= / + 6у.
Ответ: 
i + 6 j.
10. 
Задание:
Ы = 2, 4| = 3, а угол между ними равен 135°. Вычислите ска­
лярное произведение векторов.
Решение:
~ - П П 
Г л/21 
г
а-Ь=
а - Ы-cos 135° = 2-3- 
= -3V2.
И П 
{ 2 )
Ответ:
-3>/2.
11. 
Задание:
Сторона равностороннего треугольника 
ABC
равна 
l.MnN- 
середины отрезков 
АВ
и 
ВС
соответственно, тогда 
MN • СА
равно?
Решение:
MNCA
= И
• Icil • cos 180° = - • 1 - (-1) = — . 
I N
I
2 
2
Ответ:
— .
2
12. 
Задание:
Даны координаты точек: >4(1; —1; -4), 
В(-
3; -1; 0), С(-1; 2; 5),
D(
2; —3; 1). Найдите косинус угла между векторами ЛЯ и CD.
Решение:
АВ(-3
-1; -1 +1; 0 + 4), 
ЛВ(-4;0;4);
CD(2+l;-3-2;l-5), 
CD(
3;-5;-4).
— _
- 4 • 3 + 0 • (-5) + 4 • (-4) 
-28
cos 
Z.(AB,CD)
= < 
■
— —I 
■
— гг 
гг ~ 
•
V(~4)2 + 02 + 4 • д/З2 + (-5) + (-4) 
4V2-5V2 
^

Ответ
: -0,7.
13. 
Задание
: Даны векторы а(3;-1; 4), 
Ь(
2; 1; 3) и с = 
а
- 6. Найдите коси­
нус угла между векторами с и 6.
Решение:
Найдем координаты вектора 
с : 
с(
3-2;-1-1;4-3), с(1;-2;1).
Ь2+(-2)1+1*3 
3 
3
cos 
Z(c,b)
=
Ответ:
J l 2
+ (- 2 )2 + 12 • л/22 + 12 + З2 
л/б-л/Й 
2л/21
3
2л/2Т
14. 
Задание:
В треугольнике с вершинами в точках Л(3; -2; 1), 5(3; 0; 2), 
С(1; 2; 5) угол, образованный медианой 
ВМ
и основанием 
АС
равен?
Решение:
Найдем угол между векторами 
MB
и 
МА.
1) Координаты точки 
М:
, / 3 + 1 -2 + 2 1 + 5'
М\
-- ;---- ;--
I 2 
2 
2
М(2;0;3).
2) Координаты векторов 
MB
и 
МА:
МВ(3-
2; 0-0; 2-3), Л/В(1;0;-1);
МА(
3 - 2; - 2 — 0; 1 - 3), 
МА(\;-2;-2).
11+0-(-2)+(-!)■ (-2)
3) cos а =
Vl2 + о2 + (-1)2 • 
yjl2
+ (-2)2 + (-2)2 
л/2-3 >/2 ’
а = arccos—т=;
л/2
я- 
я-
а = —• 
Ответ:
4 
4
15. 
Задание:
Вычислите площадь параллелограмма, построенного на век­
торах а(0; 2; 1) и 6(1; 0; 2).
538
2; 5)

Решение:
S
abcd
 - 
AD- AB
- sin 
(p.
AD
= |ft| = Vl2+02+22 = V5;
AB
= |o( = Vo2 + 22 +12 =V5; 
0 1
+ 
2-0
+ 
1-2
2
sin9? = A/l- co s> = Jl-| - I * — . •
>/21
л/21
Таким образом, 
= л/5-л/
i-ly- = j2\.
Ответ: -Jl
1.
16. 
Задание.
Векторы 
a,b, с
единичной длины образуют попарно углы
60°. 
Найдите угол ф между векторами 
а
и 
Ъ+с.
Решение
:
а-(Ь+с1 
cos© = 
—=г;
|
cos 
<р =
а
a b + a c
Я
Ш
'
Найдем e-6 = |^-|Aj cosZ(e,6) = l-l — 
а ■
 с
= |а| • |cj • cos Z(
а,
с) = 1 • 1 • | ^ ;
|й+^| = д/сЛ+с)2 = 
-Jb2 + 2Ьс+с2
=V l+ 21bcos60°+ l=^;
1 1 
> 2+2 
1 .
” * шШ
1 * '
1
q>
= arccos—р
V3
Ответ,
arccos-^.
539

17. 
Задание
: Векторы 
а
и 
Ь
образуют угол 60°, вектор с им перпенди­
кулярен. Найдите абсолютную величину вектора 
а
+ 
Ь
+ 
с,
если 
а, Ь, с
- 
единичные векторы. 
Решение:
► 
У
• 
р ;
о(1;0;0), 6(—
— ;0), с(0;0;1);
2 2
а+ й + с=
1 
Л  
1 + — + 0; 0 + —— + 0; 0 + 0 +1
2 
2
\
Гз. л/з.Л
>
2 ’ 2 ’
К 
J
Г т "I 
/9 
3 
, 
_ 
а + 6+ с = ./ — + — + 1 = 2 .
I 
I 
V4 
4
Ответ: 2.
м
Резюме
После изучения данного раздела "Координаты и векторы” учащиеся должны 
овладеть следующими умениями:
- уметь решать простейшие задачи в координатах (находить середину отрезка, 
длину отрезка, равноудаленные точки)
- уметь записывать уравнение прямой, заданной различными элементами;
- уметь записывать уравнение окружности;
- уметь находить координаты вектора, длину вектора;
- уметь вычислять координаты суммы и разности векторов;
-уметь вычислять скалярное произведение векторов и угол между векторами;
- уметь использовать координаты и векторы при решении геометрических за­
дач.
540

По результатам и опыту работы в Центре дополнительного образования на кур­
сах по подготовке к тестированию по математике выработались общие рекомендации, 
которые мы Вам приводим.
СОВЕТЫ ТЕСТИРУЕМЫМ
1. Прежде чем приступить к изучению очередной темы, сделайте для себя листок- 
шпаргалку. Он не должен быть маленьким по размеру, на нём чётко должны быть 
записаны основные формулы. Эта шпаргалка поможет вам, находясь всё время перед 
глазами, во-первых, быстрее запомнить основные формулы, во-вторых, сэкономить 
ваше время, ведь для поиска нужного свойства не нужно будет листать страницы учеб­
ника, и, наконец, когда вы отправитесь на экзамен, многие из выписанных вами фактов 
крепко “засядут” в вашей памяти, так что потребность в шпаргалке отпадёт сама собой.
2. Основной метод решения большинства неравенств - метод интервалов. Обра­
тите особое внимание на изучение этого раздела. 
Совет:
"Овладейте методом ин­
тервалов — это залог вашего успеха! ”
3. Отвечайте на вопросы теста в порядке их предложения. Если некоторые задания 
вызовут у вас затруднения, оставьте их на потом. Сначала выполните всё то, что не требует 
повышенных усилий. Не тратьте зря время. К сложным для вас задачам вернётесь позже.
4.
Будьте готовы к тому, что в процессе решения вы можете допустить ошибку. К 
примеру, полученный вами ответ не совпадает ни с одним из предложенных вариантов. Не 
пытайтесь найти ошибку, проверяя своё решение. Вряд ли вы её заметите, а если и найдё­
те, то потратите на это немало времени. Лучше всего отложить решение этого примера на 
время, а затем решить его заново. 
Помните',
поиск ошибок—дело неблагодарное!
5. Не спешите с решениями, внимательно прочитайте условие задачи (двойное 
прочтение не помешает). При тестировании ваши записи никого не интересуют, тем не 
менее, не экономьте на них время. Решение “в уме” часто приводит к ошибкам, кото­
рые при повторных проверках трудно найти.
6. Решая уравнение, не пытайтесь найти его область определения (так называемое 
ОДЗ). Проще и быстрее найти корни и сделать проверку, что поможет избавиться от 
посторонних корней. Проверка - не только важная, но и нужная вещь! Ведь если вы 
случайно допустили ошибку (например, арифметическую), проверка подскажет, что 
надо вернуться и исправить её. Запомните 
совет:
“При решении уравнений клю­
чевые слова: уравнение—проверка'.'.'.”
7. Если требуется найти сумму или произведение корней квадратного уравнения, 
вспомните теорему Виста. Но при этом не забудьте проверить: “А есть ли корни?” 
(т.е. определить знак дискриминанта).
8. Наиболее частая ошибка при 
решении неравенств - умножение (или деление) 
его обеих частей на выражение, 
содержащее неизвестную переменную. Если вы не 
знаете, какой у этого выражения 
знак (ведь оно зависит от неизвестного), то делать 
этого нельзя. При умножении 
на положительное число знак неравенства сохраняется, 
если множитель отрицателен 
— знак меняется на противоположный. А какой знак у 
вашего выражения? Следующий совет:
“Перенесите обе части неравенства в одну 
сторону, вынесите общий множитель за скобки".
9. Если при решении 
систем неравенств все неравенства с одинаковыми знаками, 
вспомните присказку: 
“Больше большего, меньше меньшего”.
10
.
Коварство 
показательных и логарифмических неравенств заключается в величине 
основания степени или логарифма 
Запомните словосочетание: 
“Коварное 
основание!!!”
11
.
Геометрическая 
интерпретация при решении задач - половина успеха. Если 
есть возможность графически изобразить требуемую от вас ситуацию, сделайте это.
Ж е л а е м в а м у с п е х о в !
541

ЛИТЕРАТУРА
1. Александров Б. И. и др. Пособие по математике для поступающих в вузы. М.: 
Изд-во “МГУ”, 1972.
2. Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. М.: Просве­
щение, 1989.
3. Бородуля И. Т. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 
М.: Просвещение, 1968.
4. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по мате­
матике. Алгебра. М.: Наука, 1988.
5. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по мате­
матике. Начала анализа. М.: Наука, 1990.
6. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по мате­
матике. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1987.
7. Говоров В.Н., ДыбовП.Т. и др. Сборник конкурсных задач по математике. М.: 
Наука, 1986.
8. Дорофеев Г.В. к др. Пособие по математике для поступающих в вузы. М.: 
Наука, 1972.
9. Зорин В.В. Пособие по математике для поступающих в вузы. М.: Наука, 1973.
10. Ивлев Б.М., Земляков А.Н. и др. Сборник задач по алгебре и началам анализа. 
М.: Просвещение, 1978.
11. Крамор 
B.C.
Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал 
анализа. М.: Просвещение, 1990.
12. Кравцев С.В., Макаров Ю.Н. и др. Методы решения задач по алгебре. От 
простых до самых сложных. М.: Экзамен, 2001.
13. Мирошникова М.М. и др. Контроль знаний по математике с применением 
ЭВМ. М.: Высшая школа, 1990.
14. Соболь Б.В., Виноградова И.Ю. и др. Пособие для подготовки к единому 
государственному экзамену и централизованному тестированию по математике. 
Ростов-на-Дону: Феникс, 2004.
15. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по 
математике для средней школы. М.: Наука, 1983.
16. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Справочник для старшеклассников 
и поступающих в вузы. М.: АСТ-Пресс Школа, 2004.
17. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение 
задач. М.: Просвещение, 1991.
18. Яремчук Ф.П., Рудченко П.А. Алгебра и элементарные функции. Киев: 
Наукова думка, 1987.
542

СОДЕРЖАНИЕ
Глава I.
 
Рациональные функции......................................................................7^
§1. Тождественные преобразования числовых выражений..................... 7
§2. Тождественные преобразования рациональных
алгебраических выражений............................................................ 22
§3. Методы решения рациональных алгебраических уравнений........... 40
§4. Методы решения систем алгебраических уравнений.............„г.......53
§5. Методы решения рациональных неравенств........................' ......... 65*
§6. Методы решения уравнений с переменной под знаком модуля....... 89
§7. Методы решения неравенств с переменной под знаком модуля......104 
'■
ПРЕДИСЛОВИЕ.
........................................................... ................................ .................... 3
ГлаваII.
Иррациональные функции..............................................................124
§1. Тождественные преобразования иррациональных
алгебраических выражений.......................................................... 124
§2. Методы решения иррациональных уравнений.............................. 134
§3. Методы решения систем иррациональных уравнений................... 149
§4. Методы решения иррациональных неравенств............................. 155
Глава III.
Показательная и логарифмическая функции............................... 172
§1. Методы решения показательных уравнений..................................172
§2. Методы решения систем показательных уравнений.......................184
§3. Методы решения показательных неравенств................................. 190
§4. Тождественные преобразования логарифмических выражений......207
§5. Методы решения логарифмических уравнений.............................219
§6. Методы решения систем логарифмических уравнений..................234
§7. Методы решения логарифмических неравенств............................ 242
ГлаваIV.
Тригонометрические функции........................................................ 257
§1. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.. .257
§2. Методы решения тригонометрических уравнений........................ 286
§3. Методы решения тригонометрических неравенств....................... 308
Глава V.
 
Решение задач, связанных с прогрессией....................................... 333
§1. Арифметическая прогрессия.........................................................333
§2 Геометрическая прогрессия.......................................................... 343
Глава VI.
Решение текстовых задач.................................................................353
§1. Задачи на движение.......................................................................353
§2. Задачи на работу и производительность труда.............................. 366
§3. Задачи на концентрацию и процентное содержание........................374
543

§4. Задачи на зависимость между компонентами арифметических
действий........................................................................................ 380
§5. Задачи на проценты.........................................................................386
Глава I'll.
Начала анализа................................................................................... 396
§ 1. Функция и ее свойства.................................. ................................. 396
§2. Производная функции и ее вычисление.......................................... 412
§3. Исследование функций с применением производной......................424
§4. Производная и уравнение касательной........................................... 438
§5. Первообразная функции и ее вычисление.......................................444
§6. Приложение определенного интеграла........................................... 457
Глава VIII.
 Методы решения задач по планиметрии..........................................471
§1. Треугольники................................................................................. 471
§2. Четырехугольники......................................................................... 489
§3. Окружность и круг..........................................................................505
Глава IX.
Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры..........522
§ 1. Декартовы координаты........................'.......................................... 522
§2, Векторы на плоскости и в пространстве......................................... 532
Советы тестируемым.....................................................................
..'...
................. 541
Список литературы................................................................................................ 542
Ассоциация частных организаций среднего образования 
Комплексный проект по подготовке к ЕНТ 
Руководитель проекта 
Г. БЕЙСЕМБАЕВ
И

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: