І-тарау Математиканың негізгі ұғымдары Математикалық ұғымдар
Сан ұғымын кеңейту мәселесі
жүктеу/скачать 0,5 Mb.
|
Дип.-Математикалық-ұғымдар
| 2.4 Сан ұғымын кеңейту мәселесі
Біз натурал сан мен нөл ұғымдарының қалай пайда болып, қалай дамығанын білеміз Сондай-ақ бұған дейін теріс емес бүтін сандар жиынын (Конемесе Ео) әр тұрлі )финиттік, теориялык-жиындық және аксиоматикалық) тұрғыдан құруды да қарастырғанбыз. Мүнымен қоса иатурал санды шамаларды өлшеудің нәтижесінде шығарып алуға болатындығын да оқығанбыз, яғни өлшенетін шаманы әркайсысы өлшем бірлігіне тең бірнеше бөліктерге бөлу, қандай да болсын, әйтеуір бер мағынада мүмкін болса, онда өлшеу нәтижесі (немесе шаманың өлшемі) натурал сан арқылы өрнектеледі. Жалпы алғанда, сан және фигура ұғымдары, басқа ешқайдан емес, тек шындық дүниеден алынған. Адамдардың санауға үйренген, япш алғашкы арифметикалық есеп шығаруға уйренген он саусағын не десеңіз ол деңіз, тек әйтеуір ол ақыл-ойдың еркін творчествосының жемісі емес. Санау үшін, саналуға тиісті нәрселердің болуы ғана емес, сонымен бірге, бұл нәрселерге көз жібергенде, олардың санынан басқа қасиеттеріне алаңдамайтын қабілет те болу керек, ал ол қабілет - тәжірибеге сүйенғен үзақ тарихи дамудың нәтижесі. Натурал сандардың N жиыны сан ұғымын кеңейту процесіндеғі бастапқа жиын болып табылады. Өте ерте заманда пайда болған натурал сан ұғымы көптеген ғасырлар бойы жалпыланып, кейейе түсті. Сонда сан жайындағы түсініктер адамзаттың практикалык мүқтаждығына, мәселен, шамаларды өлшеудің қажеттігіне және математиканың өзінің ішкі мүқтаждығына байланысты кейейіп отыратындыгы баііқалады. Мысалы, шамаларды неғұрлым дәлірек өлшеудің мұқтаждығы оң бөлшек ұғымының тууына себепші болса, теңдеулерді шешу тәжірибелері мен осы саладағы теориялык зерттеулерге байланысты теріс сандар ұғымы пайда болды. Бастапкыда санның ■жоқ екендігін белгілеу үшін қолданылған нөл, теріс сандар Генгізілгеннен кейін, 2 бүтін сандар жиынындағы, сондай-ак <3 рационал сандар жиынындағы толыққанды сан ретінде карастырылатын болды. Б.э.д. V ғасырда, Пифагор мектебінде кесінді үзындығын дәл өлшеу үшін оң рационал сандардың жеткіліксіз болатындығы тағайындалды. Кейінірек, осы мәселенің шешілуіне байланысты I иррационал сандар пайда болды, ал XVI ғасырда ондык ■ бөлшектердің енгізілуіне байланысты нақты сандарға қарай қадам жасалды. Нақты санның қатаң тұрдегі анықтамасы меы нақты Цсандар жиынының қасиеттері XIX ғасырда түжырымдалды. ' Нақты сан ұғымы сандар қатарындағы ең соңғы ұғым емес. Сан ұғымын кеңейту прцесін одан әрі жалғастыра беруге болады және бұл процесс жалғасады да - мүны математиканың және басқа да ғылымдардың дамуы талап етуде. Мәселен, комплекс сандар теріс сандар сияқты, математика ғылымының іштей дамуына, атап айтқанда алгебралык теңдеулерді шешу тәжірибесіне байланысты пайда болды. Тарихи тұрғыдан алғанда, комплекс сан ұғымы XVI ғасырда екшші дәрежелі теңдеулерді шешу мәселесінен келіп шыққан. Комплекс сандар нақты сандар сияқты мөлшерді сипаттағанымен, нақты сандар терминдерінеде құрастырылған есептерді шешуде оларды қолданудың пайдасы тиеді. Таза математикалық есптерді шешу барысында да комплекс сандарды қолдану маңызды болып саналады. Мәселен, куб теңдеулерінің нақты түбірлерін табу комплекс сандарға амалдар колдануды талап етеді. Комплекс сан деп ^^(мұндағы а,Ье К, ал / - қандай да бір символ) тұріндегі өрнекті түсінеді. Барлық комплекс сандар жиынын С деп белгілейді. Сонда 2=а+Ыкомшіскс сандардағы «з-ны оның нақты бөлігі Ь санын жорымал белгі деп атайды. Комплекс санды жазықтықта вектор тұрінде немесе нүкте тұрінде кескіндеп көрсетуге болады. Сан ұғымын жалпылау барысында қазіргі кезде гиперкомплекс сандар ұғымы келіп шықты. Гиперкомплекс сан ұғымы комплекс санға қарағанда неғүрлым кең ұғым. Гиперкомплекс сандардың қарапайым мысалы физика мен техникада, атап айтқанда электр және элкетро-техника теориясында қолданылатын векторлық алгебраның дауына себепші болған кватерниондар болып табылады. Сондай-ақ, самолет қанатының прфилін (пішінін) анықтау мен самолет теориясының негізгі заңдылықтарын қорытындылауда комплекс сандарлың қолданылуын ерекше атап айтуға болады. Сан жайындағы жаңа түсініктердің пайда болумен бірге осы жаңа сандық объектілерге амалдар қолдану ережелерін негіздеу қолға алынып отырылды. Алайда, сандар және оларға қолданылатын амалдар жайындағы жинақталған мәліметтер математикалық теория ретінде XIX гасырдыд скіиші жаргысында, көптеген көрнекі математиктер математиканы негіздеу мәселесімен айналыса бастағанда ғана бір жүйеге келтірілді. Қазіргі кезде әр тұрлі сандық жиындарды мына ретпен қарастыру қабылданған: натурал сандар (Ы жиыны), бүтін сандар (2 жиыны), рационал сандар (С> жиыны), нақты сандар (К. жиыны), комплекс сандар (С жиыны) Алгебра жалпы ұғым ретінде. Біз жиындармен, пікірлермен, предикаттармен, саыдармсн және т.б. жүрпзшетш операциялармен таныспыз. Демек бұл, операцияларды табиғаты әралуан кез-келген объектілермен жүргізуге болатындығын және бұл жағдайды оның көптеген жалпы қасиеттерінің сақталатындығын білдіреді. [ Сондықтан табиғаты әралуан объектілерге қолданылатьш : операцияларды бірізді көзқарас негізінде зерттеуді жүзеге асыру | мақсатында және осыған мүмкіндік туғызу үшін берілген жиындағы алгебралық операция ұғымы енгізіледі. Біз әрбір нақты операцияньщ өз белгісі бар екендігін білеміз. Мысалы: қосу - "+" таңбасымен, азайту - "-" атңбасымен, көбейту -"л" немесе "." таңбасымен, бөлу - ":" таңбасымен I белгіленеді.Дербес жағдайларда амалдарды алгебралық | операциялардың мысалы ретінде қарастырғанда, бұл таңбалар сәйкес амалдардың белгіленуі ретінде пайдаланылады. Бірақ та ;жалпы алғанда, алгебралық және дербес алгебралык операцияларды белгілеу үшін *, о, т және басқа шатты таңбалар қолданылады. Сондықтан ъ элементі (х,у) элементтерімен жүргізілген операцияның нәтижесі деген былай белгіленеді: х*у, хоу, хТу және т.б. Алгебралық операцияның таңбасы компенентерінің арасына қойылады. Сонымен бірге бұл жазу операцияның нәтижесі алгебралык операция берілгсн жиыи элсіҮісш ісрінің ренелген парына сәйкес келетін оның үшінші элементін көрсетеді. жүктеу/скачать 0,5 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|