Ііі-бөлім. Интерполяция және функцияны жуықтау 1 Функцияны жуықтау Есептің қойылымы және негізгі ұғымдар
§3.2 Лагранж және Ньютон интерполяциялық көпмүшеліктері
жүктеу/скачать 0,82 Mb.
|
3-ши болим
- Бұл бет үшін навигация:
- Лагранж интерполяциялық көпмүшелігі
| §3.2 Лагранж және Ньютон интерполяциялық көпмүшеліктері
Лагранж көпмүшелігі. Глобальді интерполяция жағдайын қарастырайық, яғни барлық кесінді үшін ортақ интерполяциялық көпмүшелікті құру. Бұл жағдайда интерполяциялық көпмүшеліктің графигі барлық берілген нүктелер арқылы өтуі тиіс. Лагранж интерполяциялық көпмүшелігі параболалық интерполяцияның жалпы түрі болып табылады. функциясы кесте түрінде берілсін, яғни аргумент мәндерінің жиыны және сәйкесінше функцияның мәндер жиыны берілсін, мұндағы , . функциясын жуықтау үшін (3.1.2) шартын қанағаттандыратын интерполяциялық көпмүшелікті құру қажет. Айта кету керек, бұл жағдайда интерполяция түйіндері бір бірінен әр түрлі арақашықтықта орналасуы мүмкін, яғни , ; h – шамасы интерполяция қадамы деп аталады. (3.1.2) шартынан, интерполяциялық көпмүшеліктің интерполяция түйіндеріндегі мәндері функциясының мәндеріне тең болғандықтан, көпмүшеліктің коэффициенттерін анықтайтын, теңдеулерден және белгісіздерден тұратын, төмендегі сызықытық теңдеулер жүйесін аламыз: (3.2.1) Бірақ, бұл жол әсіресе интерполяция түйіндері көп болған жағдайда үлкен көлемді есептеулер жүргізуді қажет етеді. Сондықтан интерполяциялық көпмүшелерді құрудың бұған қарағанда жеңілірек алгоритмдерін қарастыру керек. Интерполяциялық көпмүшелікті -ші дәрежелі көпмүшеліктердің сызықтық комбинациясы ретінде іздейміз: (3.2.2) мұндағы , яғни көмүшелердің әрқайсысы -ші түйінінен басқа барлық интерполяция түйіндерінде нөлге айналады, ал -ші түйінінде көпмүше 1 тең болады. Бұл шартты (3.2.3) түрдегі көпмүшеліктер қанағаттандыратынын оңай тексеруге болады. Шынында да, болғанда, болады. Ал нүктелерінде, нөлге айналады. (3.2.3) формуласын (3.2.2) қойсақ (3.2.4) аламыз. Бұл формула Лагранж интерполяциялық көпмүшелігі деп аталады. болғанда (3.2.4) формуласы сызықты интерполяция формуласын, ал болғанда квадраттық интерполяция формуласын береді: Егер интерполяция түйіндері бір-бірінен бірдей арақашықтықта орналасса, яғни , (мұндағы h – интерполяция қадамы) Лагранж интерполяциялық көпмүшелігі едәуір ықшамдалады. Ол үшін (3.2.3) формуласында жаңа белгілеу енгіземіз, онда ........................................ ......................................... және (3.2.3) формуласы түріне келеді. Бөлімдегі көбейтінділерді және ескере отырып, формуланың алымы мен бөлімін шамасына көбейтсек : тең болады. Мұндағы Онда h – интерполяция қадамы тұрақты болған кезде Лагранж интерполяциялық көпмүшелігі келесі түрде анықталады: (3.2.5) жүктеу/скачать 0,82 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|