Ііі-бөлім. Интерполяция және функцияны жуықтау 1 Функцияны жуықтау Есептің қойылымы және негізгі ұғымдар
жүктеу/скачать 0,82 Mb.
|
3-ши болим
- Бұл бет үшін навигация:
- Еркін кубтық сплайн
| 4. Сплайндар. Қазіргі уақытта кубтық сплайн–функцияларды (арнайы әдіспен құрылған үшінші дәрежелі көпмүшелік) интерполяцияда қолдану кең өріс алды. Олар серпімді материалдан жасалған иілгіш жіңішке стерженнің математикалық моделін береді. Егер оны берілген α және β бұрыштар бойынша интерполяцияның көрші екі түйінінде бекітетін болсақ (4-сурет), онда бекітілген нүктелер арасындағы бұл стержень (механикалық сплайн), өзінің потенциалдық энергиясын минимизациялайтындай, қандайда бір түрге келеді.
4-сурет Осы стерженнің түрі функциясымен анықталсын. Материалдардың кедергілері курсынан еркін тепе-теңдік теңдеуі түрде болатыны белгілі. Онда осыдан интерполцияның әрбір көршілес екі түйінінің арасында интерполяциялық функциясы үшінші дәрежелі көпмүшелік болып табылатыны шығады. Оны келесідей түрде жазамыз: (3.2.14) Барлық элементар кесінділерде коэффициенттерін табу үшін, теңдеулер табу қажет. Олардың бір бөлігі функцияның графигі берілген нүктелер арқылы өту шартынан, яғни формуласынан алынады. Бұл шарттарды келесі түрде жазуға болады: (3.2.15) . (3.2.16) Бұл жүйе теңдеулерден тұрады. Қалған теңдеулерді табу үшін интерполяция түйіндерінде бірінші және екінші туындыларының үзіліссіз болу шартын қоя отырып (яғни, әр нүктеде қисықтың тегіс болу шарты), (3.2.14) көпмүшеліктің туындыларын табайық: Түйіндінің оң және сол жақ аралықтарында есептелінген туындылардың мәндерін әрбір ішкі x=xi түйінінде теңестіре отырып, теңдеуін аламыз: (3.2.17) . (3.2.18) Жетпей жатқан екі қатынас сплайнның ұштары бекітілген болған шартынан алынады. Дербес жағдайда, ұштары бос бекітілгенде (4-сурет), осы нүктелердегі түзудің қисықтығын нөлге теңестіруге болады. Еркін кубтық сплайн деп аталатын мұндай функция, минималды қисықтық қасиетіне ие болады, яғни берілген класстағы интерполяциялық функциялардың ішіндегі ең тегісі болып табылады. Ұштарындағы нөлдік қисықтық шартынан осы нүктелердегі екінші туындылары нөлге тең болуы шығады: . (3.2.19) (3.2.15)-(3.2.18) теңдеулері, саны болатын коэффициенттерін табуға арналған сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін құрайды. Оны бірінші бөлімде көрсетілген әдістердің бірімен шешуге болады. Алайда, ЭЕМ-де есептеу уақытын үнемдеу үшін бұл жүйені ыңғайлы түрге келтіруге болады. (3.2.15) шарттан барлық коэффициенттерін бірден табуға болады. Кейін, (3.2.18), (3.2.19) формулалардан , , (3.2.20) аламыз. Осы қатынастарды және ai=yi-1 мәндерін (3.2.16) формуласына қойсақ, , , . (3.2.21) коэффициенттерді табамыз. (3.2.20) мен (3.2.21) өрнектерің ескере отырып, (3.2.17) теңдеуінен және коэффициенттерін алып тастаймыз. Осыдан тек коэффициенттері үшін ғана теңдеулер жүйесін аламыз: , i=2,3,…,n. (3.2.22) Бұл жүйенің матрицасы үшбұрышты болып табылады, яғни матрицаның нөлдік емес элементтері бас диагональда және одан жоғары мен төмен ораналасқан көрші диагональдарда орналдасқан. Мұндай жүйені есептеу үшін қуалау әдісін (метод прогонки) қолданған дұрыс. (3.2.22) жүйеден табылған коэффициенттері арқылы және коэффициенттерін оңай есептеп табуға болады. жүктеу/скачать 0,82 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|