Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ



бет116/184
Дата08.06.2018
өлшемі13,94 Mb.
#41389
1   ...   112   113   114   115   116   117   118   119   ...   184

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть - ограниченное открытое множество в и пусть - ограниченная последовательность элементов из пространства Соболева , т.е..

. (2.1)

Тогда существует подпоследовательность , , которая фундаментальна в .



ЛЕММА 2.1. Операторы

, (2.2)

и

, (2.3)

унитарно эквивалентны в пространстве .



СЛЕДСТВИЕ 2.1. (2.4)

ЛЕММА 2.2. Если , то задача Штурма-Лиувилля

, (2.5)

(2.6)

имеет бесконечное множество положительных собственных значений и соответствующих им полной и ортогональной системы собственных функций.



ЛЕММА 2.3. Если , является полной и ортонормированной системой собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (5)-(6), то сильное решение задачи Коши

, (2.7)

(2.8)

имеет вид



, (2.9)

где , скалярное произведение в .



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

, (2.10)

тогда


, (2.11)

Собственная функция задачи Штурма-Лиувилля имеет вид



, (2.12)

где , является корнями уравнения



, (2.13)

а нормировочные коэффициенты.



Воспользовавшись свойствами тригонометрических функций выразим через и .

(2.14)

Подставив (14) в (11) имеем



,

Правая часть этого равенства сходится к при . Из формулы (10) очевидно, что последовательность сходится в . Следовательно, по определению

,

является сильным решением задачи Коши (7)+(8).




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   112   113   114   115   116   117   118   119   ...   184




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет