Жартылай бөліктеу және хордалар әдісі

теңдеуі берілсін, мұнда - интервалында бірінші және екінші ретті туындылары бар, үздіксіз функция болсын. Түбірі айырылған және кесіндісінде жатады делік, яғни .

Хордалар әдісінде, жеткілікті кішкене аралығында қисығы оны керетін хордамен алмастырылады. Түбірдің жуық мәні үшін хорданың осімен қиылысу нүктесі қабылданады.

І. Функцияның І-ші және ІІ-ші ретті туындыларының таңбалары бірдей болған жағдайын қарастырайық, яғни . Мейлі , , , болсын. Функцияның графигі , нүктелері арқылы өтсін. функциясының графигінің осімен қиылысу нүктесі теңдеуінің түбірі болады. Бұл нүкте бізге белгісіз, сондықтан оның орнына хордасының осімен қиылысу нүктесін -ді аламыз. Бұл түбірдің жуық мәні болады.

1-ші сурет

және нүктесі арқылы өтетін хорданың теңдеуі .

мәнін табамыз, онда . Сонда,

(1)

Бұл хордалар әдісінің формуласы деп аталады.

Енді теңдеудің түбірі кесіндісінде жатады. Егер түбірдің мәні бізді қанағаттандырмаса, онда кесіндісіне хордалар әдісін қолданып, түбірдің мәнін дәлірек анықтаймыз. , нүктелерін қосып, хордасының осімен қиылысу нүктесі -ні табамыз.

Бұл процесті ары қарай жалғастырсақ

Бұл процесті түбірдің жуық мәні берілген дәлдікпен табылғанша жалғастырамыз.

Бұл формуламен , , , болған жағдайда да есептеуге болады. (1б-сурет).

ІІ. Енді І-ші және ІІ-ші ретті туындының таңбалары әр түрлі болған жағдайды қарастырайық. .

Мейлі , , , болсын. және нүктелерінен өтетін хорданың теңдеуін жазайық:



деп болжап, хорданың осімен қиылысу нүктесі -ді табайық (3)

Теңдеудің түбірі аралығында жатады.

Жалпы

Бұл формуламен , , , болған жағдайда түбірді табуға болады (2б-сурет).

Сонымен, егер болса, жуық түбір 1-ші және 2-ші формуламен, ал егер болса, 3-ші және 4-ші формуламен есептеледі. Бұл формулаларды мына ереже бойынша таңдаймыз:

Кесіндінің қозғалмайтын ұшы үшін, функцияның және оның екінші туындысының таңбалары бірдей болатын ұшты аламыз.

Егер болса онда в ұшы қозғалмайтын, ал түбірге а ұшынан жақындаймыз. (1-ші және 2-ші формула). Егер болса, онда а ұшы қозғалмайтын, ал түбірге в ұшынан жақындаймыз (3-ші және 4-ші формула).

Жуықтаудың қателігін бағалау үшін мына формуланы пайдаланамыз (5)

Мұнда ,