Информационное письмо

В предыдущей лекции рассматривались обыкновенные дифференциальные уравнения. Их решения зависят лишь от одной переменной: , и т. д. Во многих практических задачах искомые функции зависят от нескольких переменных, и описывающие такие задачи уравнения могут содержать частные производные искомых функций. Они называются уравнениями с частными производными.

К решению дифференциальных уравнений с частными производными приводят, например, многие задачи механики сплошных сред. Здесь в качестве искомых функций обычно служат плотность, температура, напряжение и др., аргументами которых являются координаты рассматриваемой точки пространства, а также время.

Полная математическая постановка задачи наряду с дифференциальными уравнениями содержит также некоторые дополнительные условия. Если решение ищется в ограниченной области, то задаются условия на ее границе, называемые граничными (краевыми) условиями. Такие задачи называются краевыми задачами для уравнений с частными производными.

Если одной из независимых переменных в рассматриваемой задаче является время , то задаются некоторые условия (например, значения искомых параметров) в начальный момент , называемые начальными условиями. Задача, которая состоит в решении уравнения при заданных начальных условиях, называется задачей Коши для уравнения с частными производными. При этом задача решается в неограниченном пространстве и граничные условия не задаются. Задачи, при формулировке которых ставятся граничные и начальные условия, называются нестационарными (или смешанными) краевыми задачами. Получающиеся при этом решения меняются с течением времени.

В дальнейшем будем рассматривать лишь корректно поставленные задачи, т. е. задачи, решение которых существует и единственно в некотором классе начальных и граничных условий и непрерывно зависит как от этих условий, так и от коэффициентов уравнений. Решение некорректно поставленных задач выходит за рамки данного краткого курса. Решение простейших задач для уравнений с частными производными в ряде случаев может быть проведено аналитическими методами, рассматриваемыми в соответствующих разделах математики. Это относится в основном к некоторым уравнениям первого порядка, а также к уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами. Аналитические методы полезны не только тем, что дают возможность получать общие решения, которые могут быть использованы многократно. Они имеют также огромное значение для построения численных методов. Проверка разностных схем на известных решениях простейших уравнений позволяет оценить эти схемы, выяснить их сильные и слабые стороны.

Данная глава посвящена численным методам решения задач для уравнений с частными производными. Это основной класс методов, с помощью которых в настоящее время решаются прикладные задачи, моделируемые уравнениями с частными производными. Численные методы требуют наличия компьютеров большой мощности, т. е. обладающих большим объемом памяти и высокой скоростью вычислений.

Среди численных методов широко распространенными являются разностные методы. Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений (см. предыдущую лекцию), они основаны на введении некоторой разностной сетки в рассматриваемой области. Значения производных, начальные и граничные условия выражаются через значения функций в узлах сетки, в результате чего получается система алгебраических уравнений, называемая разностной схемой. Решая эту систему уравнений, можно найти в узлах сетки значения сеточных функций, которые приближенно считаются равными значениям искомых функций. Излагаемые в этой главе численные методы применимы к различным типам задач. Мы будем рассматривать лишь достаточно узкий класс задач для уравнений первого и второго порядков, линейных относительно производных. (Напомним, что порядок дифференциального уравнения определяется порядком старшей производной). В случае двух независимых переменных , эти уравнения можно записать в виде

Здесь – искомая функция. Коэффициенты и правая часть , вообще говоря, могут зависеть от переменных , и искомой функции . В связи с этим уравнение (1) может быть:

а) с постоянными коэффициентами;

б) линейным, если линейно зависит от , а коэффициенты зависят только от , ;

в) квазилинейным, если коэффициенты зависят от ; это самый общий вид уравнения (1).