Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады
§14. Тәуелсіз және тәуелді оқиғалар. Шартты ықтималдық
жүктеу/скачать 0,74 Mb.
|
598d605b-380b-11e3-9dea-f6d299da70eeықтималдық теориясы
| §14. Тәуелсіз және тәуелді оқиғалар. Шартты ықтималдық.
Ықтималдылықтар теориясында оқиғаларды майда оқиғаларға жіктеп қана қоймай, оқиғалардың тәуелді және тәуелсіздігінің де жігін айырып қарастырады. Егер екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдылығын өзгертпесе, ондай екі оқиғаны тәуелсіз деп атайды. 1-мысал. А,А,М,М,М әріптері жеке-жеке берілген шардың бетіне жазылып, жәшікке салынған. Жәшіктен кез келген бір шарды алып, әріп таңбасын белгілеп алғаннан кейін, ол шарды жәшікке қайтадан салады. Одан соң екіншісін алып, сынауларды жүргізе береміз. Жәшіктен бірінші алынған шардан М әрпі болуы В оқиғасы болсын (онда В оқиғасы жәшіктен М емес әріптің, яғни А әрпінің шығуы болады), екінші рет алынған шардағы әріптің А болуы А оқиғасы болсын (онда А оқиғасы А емес әріптің, яғни М әрпінің шығуы болады). Бірінші алынған әріп таңбасы белгіленгенен кейін, ол әріп жәшікке қайта салынған себепті, әріп екінші рет алынғанда да жәшіктегі әріптер (шарлар) саны бастапқыдай болады. Сондықтан А оқиғасының ықтималдығы оған дейін жәшіктен М әрпі (В оқиғасы) әлде А әріпі алынса да (В оқиғасы) өзгермейді және ол 2/5 – ге тең. Бұдан В оқиғасының пайда болуының А оқиғасының ықтималдығына әсері болмайтынын байқаймыз. Демек, А және В оқиғалары бір-біріне тәуелсіз. Егер екі оқиғаның біреуінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығы өзгеретін болса, ондай екі оқиғаны тәуелді оқиғалар деп атайды. 2-мысал. Тәжірибе шарты 1-мысалдағыдай, бірақ бірінші алынған әріп жәшікке қайта салынбайды. Бұл жағдайда екінші ретте А әрпінің (А оқиғасы) пайда болу ықтималдығы оның алдында М әрпінің (В оқиғасы) не А әрпінің (В оқиғасы) шығуына байланысты. Егер бірінші сынауда М әрпі шықса, онда екінші сынауда А әрпінің шығу ықтималдығы 2/4 болады. Егер бірінші сынауда В оқиғасы пайда болса (А әрпі шықса), онда екінші ретте де А әрпінің шығу (А оқиға) ықтималдығы 1/4 –ге тең. Осы сияқты, істі бірінші сынауда М әрпі (В оқиғасы) не А әрпі (В оқиғасы) шықты десек, онда екінші сынауда М әрпінің (А оқиғасы) пайда болу ықтималдығы сәйкес 2/4 және ¾ сандарына тең. Екінші сөзбен айтқанда, А және В оқиғалары – тәуелді оқиғалар, өйткені В оқиғасының пайда болуы келесі сынауда А оқиғасының пайда болу ықтималдығын өзгертіп отыр. Егер А оқиғасының ықтималдығын есептегенде оның пайда болуына комплекс шарттан өзге ешқандай шек қойылмаса, яғни тәуелсіз оқиғалар қарастырылатын болса, онда р(А) ықтималдығын шартсыз ықтималдық деп атайды.Алайда А оқиғасының ықтималдығын есептегенде комплекс шарттан басқа да қосымша шек қойылуы мүмкін, ол шек: А оқиғасының пайда болуы В оқиғасының пайда болуына байланысты, яғни А оқиғасының пайда болу ықтималдығы В оқиғасының пайда болуына не пайда болмауына байланысты өзгеріп отырады. Мұндай ықтималдықты шартты ықтималдық деп атайды. Шартты ықтималдықты былай белгілейді: (A)-B оқиғасы орындалғанда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы. оқиғалары орындалғанда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы. Жоғарыдағыларда айтылғандарға сүйене отырып, А және В оқиғаларының тәуелсіздігін (А)= p(A) (1) түрінде жазуға болады. 1-мысалдан p(A)=(А)=.2/5 p(A)=(А)=2/5 p()=()=3/5 p(=()=3/5 Егер А және В оқиғалары бір біріне тәуелді болса, онда (А)≠ p(A). 2-мысалдын (А)=2/4=1/ 2=p(A).=2/5 Сондай-ақ (А)=1/4≠ p(A) =2/5 ()=≠ р() =, ()=. Шартты ықтималдықтардың қасиеттерін анықтайық: Шартты ықтималдық мәні де, шартсыз ықтималдық мәні сияқты, ноль мен бір аралығында болады, яғни 0≤(А)≤1. (U)=1. (V)=0. ⊂ болса, онда . Егер = болса, онда . Егер ,,…, оқиғалары қос қостан үйлесімсіз болса, яғни және …+ болса, онда (А)=…. A мен қарама-қарсы оқиғалар болса, онда ()=1- (А). Бұлардың дәлелдеуі 13-параграфта көрсетілгенге ұқсас. Сондықтан оны дәлелдеуді оқырмандарың өздеріне тапсырамыз. 3-мысал. Екі ойын кубы лақтырылған (§4.5-мысалды қара). Егер ұпайлардың қосындысы тақ сан екені белгілі болса, келесі сынауда ұпайлардың қосындысы 7 болу ықтималдығы неге тең болмақ?1 Шешуі. Екі ойын клубын лақтырғанда үстіне қарай түсетін ұпай сандарының қалай комбинацияланатыны туралы 1-табицадан қараңыз. Ұпайлардың қосындысы 7 болатын А оқиғасы десек, ұпайлардың қосындысы тақ сан болатынын В оқиғасы дейік. Есеп шарты бойынша В оқиғасы орындалған, яғни тақ санды ұпайлардың бірі пайда болған. Бұлардың саны 18-ге тең болатын таблицадан байқау қиын емес, ал бұл сан тәжірибе шартындағы талапқа сай барлық тең мүмкіндікті жағдайлар санына тең. Бұлардың ішінде А оқиғасына қолайлы жағдайлар санына тең. Бұлардың ішінде А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны 6-ға тең. Сондықтан (А)= _________________ 1Осы уақытқа дейін оқиға ықтималдығын есептегенде ол оқиға туралы ешқандай қосымша мәліметтерді пайдаланғанымыз жоқ. Алайда теориялық және практикалық мақсатты көздеген ықтималдықтарды табуда оқиға туралы қосымша мәліметтерді пайдаланудың маңызы зор. Бұл мәселе өткен мысалдардан ай аңғарылса, кейінгі мысалдардан анығырақ байқалады. Өйткені екі кубты лақтырғанда ұпайлардың қосындысы тақ сан болуы туралы айтылған, ал мұның орнына басқа шарт қойылса, мысалы, ұпайларының қосындысы жұп сан бодсын десе, екінші ықтималдық шығады, ал ешқандай шеек қойылмаса, үшінші ықтималдық т.т.шығады. Ал, шартсыз ықтималдық мәні р(А)= 4-мысалы. Кластағы 25 оқушының 5-уі үздік оқиды, 15-і спортшы. Үздік оқушылардың бәрі де спортшылар. Мектепке оқу ісін меңгеруші бір жолы спортшылардың ішінен кез келген біреуін шақырады. Келген оқушының үздік болу ықтималдығын анықтау керек. Шешуі. Оқушылардың үздік болуы А оқиғасы, спортшы болуы В оқиғасы болсын. В оқиғасының барлық тең мүмкіндік жағдайлар саны-15, мұның ішінде А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны-5. Өйткені үздік оқушы тек спортшылардың арасынан шақырылады. Олай болса, іздеген шартты ықтималдық мынаған тең: рВ (А)= Бұл келтірілген мысалдардан А және В оқиғаларының бірден пайда болатынын байқаймыз, мәселен үшінші мысалда 7 саны әрі тақ (АВ оқиғасы), төртінші мысалда үздік оқушы әрі спортшы (АВ оқиғасы) болып отыр. Содан бірден пайда болған АВ оқиғасына қолайлы жағдайлар саны үшінші мысалда 7-ге, төртінші мысалда 5-ке тең, осыларға сәйкес шартсыз ықтималдық р(АВ) сәйкес сандарына тең. Ал В оқиғасының шартсыз ықтималдығы үшінші мысалда -ке тең. Сонымен, бұл мысалдардан жалпы қортынды жасасақ, онда р(А)= Бұдан р(АВ)=p(B) pB (A) шығады. Енді көбейту теоремасын келтіріп, дәлелдемесін берейік. жүктеу/скачать 0,74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|