Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады
жүктеу/скачать 0,74 Mb.
|
598d605b-380b-11e3-9dea-f6d299da70eeықтималдық теориясы
| Теорема. Егер А1,A2,…,An оқиғалары жиынтығы бойынша тәуелсіз болса, онда олардың көбейтіндісінің ықтималдығы ықтималдықтардың көбейтіндісіне тең, яғни
p(А1,A2,…,An)=p (А1)(A2)…(An). (12) Мұның дәлелдемесі (9) және (11) теңдіктерден шығады. Ескету. А1,A2,…,An оқиғалары қос- қостан тәуелсәз болғанымен, жиынтығы бойынша тәуелсіз болмауы мүмкін. Мұны байқау үшін С.Н.Бернштрейн мысалын келтірейік. Жәшіте 110,101,011,және 000 деп нөмірленген төрт билет бар дейік. Жәшіктегі билеттің кез келген біреуін алғанда, оның бірінші цифры 1 болуы А1 оқиғасы, екінші цифры 1 болуы А2 оқиғасы, үшінші цифры 1 болуы А3 оқиғасы болсын. Сонда p (А1)=p(A2)=p(A3)= Енді оқиғалардың қос- қостан болатынын көрсетеміз. Ол үшін, алдымен, А2 оқиғасының ықтималдығы А1 оқиғасының пайда болу- болмауына байланысты болмайтынын көрсетейік. Шынында, А1 оқиғасы пайда болса, мұнымыз-101 не 101нөмірілі билеттердің бірі шықты деген сөз. Бұлардың біріншісіне А2 оқиғасы оқиғасы сәйкес келсе, екіншісіне А3 оқиғасы сәйкес келеді. Сонымен, бұл жағдайда р(А2)=. Ал А1 оқиғасы пайда болмаса, онда 011және 000 билеттің бірі шыққаны. Бұл жағдайда да р(А2)= тең. Сонымен, А2 оқиғасының ықтималдығы А1 оқиғасының пайда болу болмауына тәуелді болып отырған жоқ. Дәл осылайша, А3 оқиғасының А2-ге, А3 оқиғасының А1-ге тәуелсіз екенін тексеру қиын емес. Сайыа келгенде, p (А1),(A2),(A3) оқиғалары қос қостан тәуелсіз және р(А1A2)=p(A1A3)=p(A2A3)= екенін байқау қиын емес.Алайда p (А1A2A3) өйткені барлық үш орында да 1цифры тұратын нөмірлі билет жәшікте жоқ, сондықтан p (А1A2A3) Сонымен, оқиғалардың қос –қостан тәуелсіздігін жиынтығына таратуға болмайтынын көрдік. Бұл аталған теоремалардың мынадай салдарлар шығады. 2-салдар.Егер А оқиғасы В-ге тәуелсіз болса, онда В оқиғасы А-ға тәуелсіз болады. Шынында А-ның В-ге тәуелсіздік анықтамасы бойынша рА(B)=p(A). Мұны (1) теңдіктегі рА(В) орнына қойып, екі жақ бөлігін де р(А)-ға қысқартсақ р(В)=pA(B) шығады. Демек, бұдан В-ның A-ға тәуелсіздігі шығады. Олай болса, А және В оқиғалары өз ара тәуелсіз. 3-салдар.А мен В тәуелсіз болса, онда (,В),(А,),() қос оқиғалар да біріне-бірі тәуелсіз болады. Мұны (А,) қос оқиғалар үшін дәлелдейік. Шынында, ұйғару бойынша рА(В)=p(B), мұның үс- тіне,рА(В)+pA()=1. Бұдан рА()=1-pA()=1-p(B)=p(). Салдар сонымен дәлелденді. Қалғандарының тәуелсіздігі де осылайша дәлелденеді. 3-мысал. Нысанаға дәл тию ықтималдығы 0.3-ке тең. 2% жарылғыш жарылмай қалса, оқтың нысанадағыны жою ықтималдығы неге тең? Шешуі. Нысанаға дәл тиюі А оқиғасы, жарылғыштың от алуы В оқиғасы болсын. Сонда нысанаға тиюі мен жарылғыштың от алуы АВ оқиғасы болады. Бұларды тәуелсіз деп ұйғарамыз. Демек, іздеген ықтималдық мынадай р(АВ)=p(A)p(B)=0.3(1-0.02)=0.294. 4-мысал. Үш оқушы біреуі монетті, екіншісі кубты лақтырды, ал үшіншісі колодадағы 36 картаның кез келген біреуін суырды. Осы жүргізген тәжірибелер нәтижесінде монеттің герб жағымен түсу (А оқиғасы), кубтың 4 ұпаймен түсу (В оқиғасы ), және суырған картаның тұз болып шығу (С оқиғасы ) ықтималдығын анықтау керек. Шешуі. Өткен мысалдарды еске түсірсек, р(А)=1/2 р(B)=1/6 р(C)=1/9 Сонда іздеген ықтималдығымыз р(АВС)=p(A)*p(B)*p(C)= 1/2*1/6*1/9=1/108=0,092% жүктеу/скачать 0,74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|