Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады
жүктеу/скачать 0,74 Mb.
|
598d605b-380b-11e3-9dea-f6d299da70eeықтималдық теориясы
| -нің жуық формуласы
Сынау саны n үлкен болған сайын pn(m)ықтималдықта (20.1)формуласымен есептеу қиындай түседі. Сондықтан ғалымдар осы формула жарық көрісімен-ақ оған жуық формулаларды іздестіре бастаған.n жеткілікті үлкен болғанда,ал p мәні 0 мен 1-ге мейлінше жуық болмаған жағдайда (20.1) формула орнына төмендегі жуық формуланы пайдаланады. (1) Мұнда (2) Формуласымен pn(m) ықтималдықтың жуық мәнін табу өте оңай.Ол үшін (3) Функциясының таблицасын пайдаланамыз (бұл таблица кітаптың соңында келтірілді). функциясы симметриялы,яғни болғандықтан (9-чертеж),таблицада х тің тек оң мәндері ғана кетірілген.Сонымен,(1) формула p(x)= (4) түрінде жазылады. Есеп шығару алгоритімі: 1.Берілген n,m,p мәндері бойынша (2)формуладан х) мәнін анықтаймыз. 2. ІІ таблица бойынша х мәніне сәйкес мәнін табамыз. 3.х) мәнін (4) формулаға қойып,p(x) мәнін анықтаймыз. Бұл pn(m)-нің жуық мәні болады. 1-мысал.20. 3-мысалда берілген n=10, p= , m=0,1,2,…,10 мәндері бойынша биномдық ықтималдықтың жуық мәнін (4) формуласы бойынша есептеу керек. Шешеуі.1. Алдымен m=4 болғандағы ықтималдықтың мәнін анықтайық.Қалғандары осы сияқты табылады. =
2. II таблицадан . 3. m-нің қалған мәндеріндегі ықтималдылықтарды да осылайша есептеу қиын емес. (6-таблицаға қара) Бұл таблицадан (4) формуламен есептелінген ықтималдық мәні дәл биномдық ықтималдық мәніне өте жуық екенін байқаймыз.Ал, n үлкен болған сайын, оның дәлдігі арта түседі. 2-мысал. Ұл баланың туу ықтималдығы 0,51. Жаңа туған 100 нәрестенің 50-і ұл болу ықтималдығын анықтау керек (20.4-есепті қара). Шешуі. Шарты бойынша n=100, m=50, p=0,51,q=0,49. Бернулли формуласы бойынша P100(50)=C10050(0,51)50(0,49)50. Мұны есептеуге көп уақыт кететінін көрдік. Сондықтан ықтималдықты (4) формула бойынша есептейміз: X==-.2 P(x)= Демек, іздеген ықтималдық р100(50)0,0782 Е С К Е Р Т У.Бұл (4) формуланың өзіндік мағынасы да бар. Мұны, х үздіксіз болғанда, Гаусстың қалыпты (нормаль) заңы немесе қателер заңы деп те атайды. Өйткені жіберілген кездейсоқ қателер осы заң арқылы сипатталады. Бұл заң көптеген кездейсоқ құбылыстардың математикалық модель қызметін атқарады, сондықтан оның практикалық та, теориялық та мәні зор. ЖАТТЫҒУЛАР Кез келген бір семьядағы балалар саны 8.Ұл бала мен қыз баланың туу ықтималдығы бірдей деп ұйғарылғанда, сол семьядағы балалардың:а) дәл 3-нің қыз бала,ә) дәл 5-нің ұл бала болу ықтималдығын анықтаңыз. Ойын кубигі 10 рет лақтырылған. 5 ұпайдың дәл 3 рет шығу ықтималдығын анықтаңыз. Бір заем облигациясының ұту ықтималдығы 0,20-ға тең.8 облигациядан 5-нің ұту ықтималдығы неге тең? Қабілетті бірдей екі ойыншы шахмат ойнады.Олардың біреуінің 6 партиядан 4-уін ұту ықтималдығы 5 партиядан 3-уін ұту ықтималдығын артық па әлде кем бе? Институттың бірінші курсына 5 студент қабылданды. Ұл балалардың туу ықтималдығы 0,51 болғанда, қабылданған балалардың 260-ының қыз бала болу ықтималдығы неге тең? Автоматтық станокта стандарт деталь дайындау ықтималдығы 0,90. Дайындалған 400 детальдың 370-інің стандарт болу ықтималдығын анықтаңыз. Монет 1000 рет лақтырылғанда, тиынжағымен 520 рет түсу ықтималдығын анықтаңыз. Ең ықтималды сан Енді рn(m) ықтималдығын аргументі mбүтін сан болатын функция деп қарастырайық. Сөйтіп, m-нің артуына байланысты рn(m) қалай өзгеретінін анықтайық. 20,3 мысалға зер салсақ, рn(m) функциясы аргумент m артқанда m-нің белгілі бір мәніне дейін өсіп, максимум (ең үлкен ) мәнін қабылдайды да, m-нің қалған мәндерінде рn(m) мәні кеміп отырады. рn(m)-нің ең үлкен мәніне сәйкес келетін m мәнін м о д а (модаль сан) немесе ең ықтималды сан деп атайды. Бұл мәнді me деп белгілейік. Енді, осы ең ықтималды сан me –ні анықтаудың жалпы формуласын табайық. Ол үшін ең үлкен ықтималдықты рn(m) деп ұйғарайық та, мұның алдындағы . рn(m-1) мен кейінгі . рn(m+1) ықтималдылықтарды алайық. Сонымен, рn(m) рn(m-1) рn(m) рn(m+1) Бұлардың әрқайсысын жеке-жеке қарастырайық, сонда = = = Бұдан m Екінші теңсіздіктен шығатыны: === Бұдан m шығады. Бұл екі теңсіздікті біріктірсек, мынау шығады: (1) Бұл теңсіздіктің оң жақ бөлігін түрлендірейік: Np+p=np+(1-q)=(np-q)+1. Сонымен, (1) теңсіздіктің оң жақ бөлігі сол жақ бөлігінен бір бірлікке артық. m-нің np-q және np+1 бүтін мәндерінде , Яғни, екі ықтималдықтың да мәндері ең үлкен болады.Ал, не сандары бөлшек болса, онда айырмасы бірге тең екі бөлшек шығады, бірақ m мәні бүтін сан болғандықтан, ең ықтималды сан біреу ғана болады. Сонымен, (m) функциясының -ге байланысты өзгеруін толық айқындадық деуге болады, яғни m мәні np-q- дан кем болғанға дейін мәні артады, одан кейін m-нің келесі мәнінде бұл функция ең үлкен мәнін қабылдайды, сөйтіп, m- нің np+p –ден артық мәндерінде кемиді. Қорытып айтқанда, ең ықтималды сан мәні np-q не (np+p) іне тәуелді. Егер np-q не (np+p) бөлшек сан болса, онда (2) болады. Ал, np-q не (np+p) бүтін сан болса, онда (3) 1-мысал. Өткен 21-параграфтағы 1- мысалдың берілгені бойынша ең ықтималды сан мәнін анықтау керек. жүктеу/скачать 0,74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|