Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады
жүктеу/скачать 0,74 Mb.
|
598d605b-380b-11e3-9dea-f6d299da70eeықтималдық теориясы
- Бұл бет үшін навигация:
- БИНОМДЫҚ ЫҚТИМАЛДЫЛЫҚТАР ҚОСЫНДЫСЫН ЕСЕПТЕУ
| Ш Е Ш У І:np+p=10*=,демек,
=[np+p]=[3]=3. Бұған сәйкес ықтималдық Шынында да, бұл ықтималдық қалған ықтималдылықтардың бәрінен де үлкен. ЖАТТЫҒУЛАР 1.21.1 жаттығу шарты бойынша ең ықтималды сан ні анықтаңыз. 2.21.6 жаттығуда берілген мәліметтерді пайдаланып ең ықтималды сан m-ді анықтаңыз. 3.Жарамсыз деталь дайындау ықтималдығы p=0.05.=63 болатын партияда неше деталь бар? 4.126 рет санау жүргізгенде, А оқиғасының пайда болуының ең ықтималды саны 63 болса, әрбір санаудың ықтималдығы неге тең? БИНОМДЫҚ ЫҚТИМАЛДЫЛЫҚТАР ҚОСЫНДЫСЫН ЕСЕПТЕУ Осы уақытқа дейін сынауды n қайталағанда оқиғаның дәл m рет пайда болу ықтималдығын есептедік. Бұған қарағанда, оқиғаның реттен рет пайда болғанға дейінгі ықтималдықты анықтаудың практикалық мәні зор. Мұның дербес түрі, оқиғаның кемінде бір рет пайда болу ықтималдығын анықтау жолы бізге белгілі. Ол: (1) Оқиғаның реттен рет пайда болғанға дейінгі, яғни ..., мәндеріне сәйкес ықтималдық мына , ықтималдылықтар қосындысына тең: ,немесе (2) Сондай-ақ оқиғаның қайталау саны -ден кем болмай және -ден артық болмағандығы ықтималдығы сәйкес = (3) Және (4) Тең.Әрине, (3) формуладағы саны 0-ге жуық болса, онда (20.2)формуланы пайдаланып табамыз: Өйткені Ал (4) формулада саны n –ге жуық болса, оны былай жазамыз: . (6) 1-мысал.Өткен 20-параграфтағы 3-мысалдың шарты бойынш: а)нысанаға кемінде бір оқтың, ә) кемінде үш оқтың,б)9-дан артық емес оқтың, в) 4 реттен 8 ретке дейін атылған оқтардың тию ықтималдығын анықтау керек. Ш Е Ш У І: Берілгені: N=10, P=, Q=. =1- ()=. Ә) Б) B)
Сонымен, жазамыз.
, , (8) болады. (9) интеграл (қосынды шегі) белгісі. Ф(х)-ті Лаплас функциясы деп атайды. Х мәніне сәйкес Ф(х) мәні кітап соңында III таблицада келтірілген. Бұл функцияның төмендегі қасиеттерін еске сақтаған жөн: Ф(х) – тақ функция, яғни Ф(-х)= -Ф(х). Мысалы, Ф(-2,10)=-Ф(2,10)=-0,4821. =Ф(+=0,50, =Ф(-=-0,50. Х-тің кіші мәнінде-ақ Ф(х) функциясының мәні 0,50-ге өте шапшаң жуықтайды. Сондықтан таблицада х-тің 4-ке дейінгі ғана мәндері келтірілген. 2-мысал. Жаңадан туған 1000 нәрестенің 470-тен 520-ға дейінгісі ұл бала болу ықтималдығын анықтау керек. Әрбір ұл баланың туу ықтималдығы р=0,51. Шешуі. Шарты бойынша: n=1000, m1=470, m2=520, p=0,51, q=0,49. Ізделінетін ықтималдық P1000(470≤ m≤520)= Қосындыдағы 51 ықтималдықты жеке-жеке есептеп, олардың қосындысын табуға өте көп уақыт қажет. Сондықтан (7) формуланы пайдаланамыз: = =
Ф(х1)Ф(-2,53)-Ф(2,53)-0,4943, Ф(х2)Ф(0,63)0,2357. Сонда іздеген ықтималдығымыз мынаған тең болады: P1000(470≤ m≤520)= Ф(х2) - Ф(х1)0,2357 - (-0,4943)0,7300. Ықтималдығы берілген ықтималдықтан кем болмайтын оқиғаның кемінде бір рет пайда болуы үшін қажетті сынау санын анықтау А оқиғасы ықтималдығын р(А)р деп, берілген ықтималдықты Р дейік. А оқиғасының кемінде бір рет пайда болу ықтималдығы берілген Р шамасынан кем болмау үшін неше рет сынау жүргізу керектігін анықтау болып отыр. А оқиғасының пайда болмау ықтималдығы Р()1- р(А)1 – р. Орындалынатын, бірақ әзір белгісіз сынау санын п дейік. Сонда п рет сынау жүргізілгенде А оқиғасының пайда болмау ықтималдығының (1 – р)п болуы және А оқиғасының кемінде бір рет пайда болу ықтималдығы 1 – (1 – р)п болатыны бұрын айтылған болатын-ды. Ал, есептің шартына сәйкес бұл ықтималдық Р-ден артық емес, яғни 1 – (1 – р)≤Р. Теңсіздікті п-ге арнап шешеміз. Ол үшін екі жақ бөлігін де логарифмдесек, n= (1) болады. Бұл формуланың практикада маңызы зор. 1-мысал. Монеттің тиын жағымен кемінде бір рет түсу ықтималдығы 0,90-нан кем болмауы үшін, оны неше рет лақтыру керек? Шешуі. Шарты бойынша: р=0,50, Р=0,90. формула бойынша n˃= сонымен, монетті лақтырғанда кемінде бір рет тиын жағымен түсу ықтималдығы 0,00-дан кем болмауы үшін, кем дегенде 3 рет лақтыру (сынау жүргізу) керек екен. Жаттығулар Егер бір семьядағы балалардың ұл болу ықтималдығы 0,51 болса, онда 8 баласы бар семьяда: а) кемінде 7 ұл бала, ә) ұл баланың саны 2-ден артық болмау, б) ұл баланың саны 3-5 аралығында болу ықтималдығын анықтаңыз. Шеберханада 10 мотор бар. Әрқайсысының белгілі бір уақыт аралығында үзіліссіз жұмыс істеу ықтималдығы – 0,80. Осы уақытта кемінде 9 мотордың үзіліссіз жұмыс істеу ықтималдығын анықтаңыз. Ең жоғарғы сортты деталь дайындау ықтималдығы 0,90-ға тең. 10 детальдың кемінде 8-інің ең жоғарғы сортты болу ықтималдығын анықтаңыз. Орудиядан атылған әрбір оқтың тию ықтималдығы – 0,40. 300 рет атылған оқтың: а) 120-дан 130 ретке дейінгі, ә) кемінде 100-інің, б) дөп тиетін оқтың саны 100-ден артық болмау ықтималдығын анықтаңыз. Бір лотерея билетіне ұтыс шығу ықтималдығы – 0,20. Қолыңдағы 400 билеттің 70-тен 100 арасындағы санының ұту ықтималдығын анықтаңыз. Монетті 2000 рет лақтырғанда тиын жағымен 950-реттен 1020 ретке дейін түсу ықтималдығын анықтаңыз. Атылған оқтың нысанаға тию ықтималдығы – 0,2. Олардың кемінде біреуінің тию ықтималдығы 0,90-нан кем болмауы үшін, семьяда неше бала болуы керек? Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы Ықтималдықтың классикалық анықтамасы сынау нәтижесі шектеулі сан рет және тең мүмкіндікті болатынына негізделеді. Сондықтан бұл анықтаманың қолданылу өрісі тар. Осы себепті ықтималдықтың жай есептерінен күрделі есептерін шешуге көшкенде, әсіресе, статистикалық құбылыстарды сипаттауға байланысты практикада қолданылатын мәселелерді шешкенде шамадан тыс көптеген қиыншылықтарды кездестіреміз. Өйткені, біріншіден, сынаудың мүмкін нәтижелері шектеулі шама болмауы мүмкін. Мысалы, қандай да бір тілдегі бір сөздің пайда болу ықтималдығын тапқанда, біз практика тұрғысынан шектеусіз жиынды кездестіреміз. Екіншіден, жүргізілген тәжірибе нәтижесін ылғи да тең ықтималды болады деу аса үлкен қиындық туғызады. Мысалы, ұл бала не қыз бала туу ықтималдығын анықтағанда симметрия және тең ықтималдыққа сүйеніп, қорытынды жасауға болмайтынын биологиялық статистика дәлелдейді (төмендегі мысалды қара). Сонымен, құбылыстарды сипаттауға ықтималдықтың статистикалық анықтамасын қолданайық. Статистикалық анықтама тәжірибені (сынауды) сан рет қайталап, нәтижелерін (оқиғаны) регистрациядан өткізуге (тізбесін жасауға) сүйенеді. Сынау көп жүргізілгенде оқиғаның бірнеше рет пайда болуы не бірнеше рет пайда болмауы мүмкін. Оқиғаның пайда болу (пайда болмау) санын бұдан былай жиілік немесе абсолюттік жиілік дейтін боламыз. Ал жиіліктің барлық сынау санына қатынасын салыстырмалы жиілік дейміз. Сонда сынаудың жалпы санын N десек, A оқиғаның қайыра қолданылу санын (жиілігін) M десек, онда A оқиғасының салыстырмалы жиілігі мынаған тең болады: ƒ(А)=. Жүргізілген сынау саны аз болса, жиілігі тұрақты болмай, бір сынаудан екінші сынауға дейінгі өзгерісі артып отырады. Ал, сынау жеткілікті дәрежеде қайталанып отырса, онда А оқиғасының жиілігі тұрақтанады. Мұндай құбылыс физика-техникалық бақылауларда, биологияда, эклнлмикада т. с. с. байқалады. 1-мысал. 1935 жылы Швецияда туған ұл баланың статистикалық мәліметтері алынды (7-таблицадан қара). Мұнда ұл баланың туу жиілігі 0,518 санына жуық өзгеріп (тұрақсызданып) отырған. Осы сияқты бақылау 1871 жылдан 1900 жылға дейінгі аралықта жүргізілген. Бұл жылдары 2,5 миллионнан астам туған балалардың жынысын есепке алғанда, ұл бала тууының салыстырмалы жиілігі 0,514 болған. Сонымен, жоғарыда келтірілген мысалдан сынау саны мейлінше көп болса, салыстырмалы жиілік ƒ мәні тұрақтылық қалыпқа түсетінін байқаймыз. Екінші сөзбен айтқанда, кездейсоқ құбылыстарда қандай да объективті қасиеттер бар екендігі және оның тұрақтануға бейімділігі сезіледі. Бұл қасиет сынау саны (зерттеліп отырған мәселе көлемі) артқан сайын айқындала түседі, ол қасиет қандай да бір тұрақты шамамен (санмен) өлшенеді. Бұл шама бақылауға түскен құбылыстың объективті сандық сипаты болып табылады. Осы тұрақты шаманы (санды, мөлшерді) кездейсоқ оқиға А-ның ықтималдығы дейміз. Сөйтіп, оны бұрынғыша, р(А) арқылы белгілейміз. Осылайша анықталған кездейсоқ оқиға ықтималдығын статистикалық ықтималдық деп атаймыз. Оқушылардың назарын аударатын бір мәселе – статистикалық ықтималдықтың сан мәнінің белгісіз болуы. Әдетте, сынау саны үлкен (көп) болғанда ықтималдық
7-таблица
8-таблица Факториалдар логарифмдерінің таблицасы 1- таблица Оқушылардың назарын аударатын бір нәрсе - статистикалық ықтималдықтың сан мәнінінің белшісіз болуы.Әдетте, сынау саны үлкен (көп) болғанда ықтималдық мәніне не А-ның салыстырмалы жиілігінің өзі алынады,не осы салыстырмалы жиілікке жуық сан алынады.Ондай санға,мысалы,жеткілікті үлкен бірнеше сериядан алынған салыстырмалы жиіліктің арифметикалық ортасы алынады. Бұл анықтаманың іс жүзінде орындалатын түрлі зерттеулерде ерекше мәні бар, өйткені бас жиынды зерттеуге мүмкіндік болмай қалады,сондықтан оның бөлігін (іріктемені) зерттеуге мәжбүр боламыз. Сөйтіп, іріктемені зерттеу нәтижесінде кездейсоқ оқиғаның салыстырмалы жиілігін анықтаймыз.Осы іріктемедегі салыстырмалы жиілік арқылы ықтималдықтың сан мәнін бағалаймыз,бұл - қарастырып отырған құбылыстың сандық сипаттамасы болып табылады.Сонымен қатар бұл мән экспериментальдық жиіліктің ықтималдықтан қаншалықты алшақ ауытқитынын анықтауға әкеліп тірейді.Осы мәселені шешу барлық статистикалық зерттеудің бірден бір түйінді мәселесі болып табылатынын есте ұстаған жөн. Ықтималдықтың ілгеріде дәлелденген қасиеттері ықтималдықты статистика тұрғысынан анықтаған да орындалады,яғни 1)ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең, 2)мүмкін емес оқиға ықтималдығы нөлге тең, 3)қосу теоремасы, 4)көбейту теоремасы, 5)қосу мен көбейту теоремасына негізделген биномдық үлестірімдік, 7)ыөтималдылықтар қосындысының 1-ге тең болуы, яғни _________________ Егер осы аталған қасиеттер пайдаланылып шешілетін бірнеше мысалдар келтірейік.Бұл мысалдарды шығару тәсілдерінің ықтималдықтың классикалық анықтамасы пайдаланылып шығарылған есептің тәсілдеріне ұқсас болатынын байқау қиын емес. 1-мысал.8- таблицада келтірілген мәліметтерді пайдаланып:а) а(a=20) жастағы адамның b(b=50,b=70,b=90) жасқа дейін өмір сүру ықтималдығын анықтау керек.ә) а=20 жастағы адамның b(b=30,b=50,b=70,b=90) жасқа жетпей дүние салу ықтималдығын анықтау керек.б)ері a(a=30)жаста, әйелі b(b=20) жаста.Екеуі бірге c(c=20,c=40,c=50) жыл өмір сүру ықтималдығын анықтау керек.в)Ері a(a=23) жаста, әйелі b(b=18 жаста, олар бірге c(c=45) жыл өмір сүру ықтималдығын аныөтау керек.г)Ері a(a=50) жаста, әйелі b(b=45) жаста ұлы с(c=25) жаста.Үшеуінің бірге d(d=20,d=30,d=40) жыл өмәр сүру ықтималдығын аныөтау керек.д)ері а(а=40) жаста, әйелі b(b=35). жаста, екеуі бірге с(с =70,с=80) жасөа дейін өмір сүре алмау ықтималдығын есептеу керек.е) ері a=40 жаста,әйелі b=30 жаста,с(c=30,c=40) жылдан соң кемінде біреуі өлмеуі ыөтималдығын анықтау керек. Шешуі. Жақша ішіндегі мәліметтердің біреуі үшін осы есепті шығарамыз,қалғадарды шығаруды оқушыларға хүктейміз.Тексеру жеңіл болу үшін олардың жауабын келтіріп,тиісті анализдерді пайдаланамызү а)8-таблицаға қарағанда, адамгың жасы ұлғайған сайын олардың саны азайып отыр, ол - әрә заңды, әрі түсінікті де.а жастағы адамның b жасқа дейін өмір сүруін А оқиғасы дейік,бұлардың саны m (b) болсын,а жастағы адамдар саны n (a) дейік.Сонда А оқиғасының ықтималдығы P(A)=m(b)/n(a) таблица бойынша а =20 болғанда, n(a)=96061 b=50 болганда, m(b)=72795 Сонда p(A)=72795/96061=0,758 не 75,8 % болады. Сонымен, 20 жастағы адамдардың орта есеппен 75,8% елу жасқа дейін, 39,5% -і жетпіс жасқа дейін, 1,3%- і тоқсан жасқа дейін өмір сүреді екен.(1) формуладан b=a болғанда p(A)=1,бұл факт адамның b жасқа дейңн өмір сүретінінің ақиқаттығын көрсетеді. ә)белгілі бір жасқа дейін өмір сүруді А оқиғасы десек, онда ол жасқа дейін өмір сүрмеуі қарама қарсы А оқиғасы болады.а=20,b=50 десек,(13,6) формула бойынша p(A)=1-p(A)=1-m(b)/n(a)=n(a)-m(b)/n(a)=96061-72795/96061=23266/96061=0,42 не 24,2%. Сонда 20 жастағы адамдардың орта есеппен 24,2%уі 50жасқа жетпей дүние салатынын байқаймыз,яғни дүние салу ықтималдығы 24,2%.Ал осы 20 жастағы адамдардың 30 жасқа жетпей 6,6% -ы , 70 жасқа жетпей 61,5% - ы, 90 жасқа жетпей 98,7 %-ы дүние салатынын оңай есептеуге болады. б)Ерінің а жастан a+c жасқа дейін өмір сүруін А оқиғасы, ал әйелінің b жастан b+c жасқа дейін өмір сүруін В оқиғасы дейік.Сонда екеуінің бірге өмір сүруі күрделі оқиға АВ болады.Бұлар бір - біріне тәуелсіз оқиғалар, сондықтан p(AB)=p(A)p(B)=m(a+c)/n(a)*m(b+c)/n(b)=m(30+20)/n*(30)*m(20+20)/n*(20)=m(50)/n(30)*m(40)/n(20)=72795/89685*82277/96061=0,695 шығады. Сонымен,екеуінің бірге өмір сүру ықтималдығы 0,695- ке тең,яғни осы көрсетілген жаста ерлі - зайыптылардың 69,5% - ы тағы да 20 жыл бірге өмір сүреді.Әрине,бұлардың жастары артқан сайын бірге өмір сүрушілер саны кеми түседі.Екеуі қосылғаннан бастап 40 жыл өмір сүру ықтималдығы 26%,ал 50жыл өмір сүру ықтималдығы 6,2% болатынын анықтаңыздар. в)бұл мәселеде дәл б)пункттегі сияқты шешіледі.Бірақ,б)пунктінде келтірілген жасқа сәйкес жиіліктер шамасы таблицада көрсетілген болатын,ал бұған тиісті жиілік шамасы таблицада жоқ.Сондықтан интерполяциялау тәсілін қолданамыз.Ол үшін таблицада келтірілген он жыл ішіндегі әрбір жылдағы өлім бірдей деп аламыз.Сондықтан жұбайлардың бірге өмір сүру ықтималдығын анықтаудан бұрын n(23),n(18),m(23+45)=m(68),m(18+45)=m(63) мәндері неге тең болатынын табамыз.n(23)жиілік n(20)-n(30) аралығында,демек,мынау шығады. n(23)=n(20)-n(20)-n(30)/n(10)*3=96061-96061-89685/10*3=96061-6376/10*3=96061-1912,8=94148,2=94148. Мұны былайша да есептейді: n(23)=n(30)+n(20)-n(300/10*7=94148 қалғандары да осылайша анықталады,сонда m(18)=90960, m(68)=42150 m(63)=52582 демек, p(AB)=m(68)/m(23)*m(63)/m(18)=42150/94148*52582/90960=0,259. 2)бұл жағдайда ұлының -c жастан c+d жасқа деәһін өмір сүруін С оқиғасы десек,онда мәселе үлкен А,В,С оқиғаларының бірге пайда болу ықтималдығын табуға келіп тіреледі.Демек, p(ABC)=m(70)/n(50)*m(65)/n(45)*m(45)/n(25)=37977/72795*48410/77536*77536/92873=0,272. қалғандарында осылайша анықтасақ,үшеуі бірге 30 жыл қмір сүру ықтималдығы 4,5%-тең,ал 40 жыл өмір сүру ықтималдығы 0,08% - ке тең болады. д)ерінің өлуін А қарама қарсы оқиғасы,әйелінің өлуін қарама қарсы В оқиғасы десек, онда екеуінің бірге өмір сүрмеуі қарама қарсы АВ оқиғасы болады.Мұның ықтималдығы мынаған тең: p(AB-)=p(A-)*p(B-)=(1-p(A)(1-p(B))=n(40)-m(70)/n(40)*n(35)-m(70)/n(35)=82277-37977/82277*85981-37977/85981=44300/82277*48004/85981=0,300 Ал ерлі зайпты адамдар бірге 80 жасқа дейін өмір сүрмеу ықтималдығы 69,5% болады. е)кемінде біреуінің өлмеуін А оқиғасы дейік,онда оған қарама қарсы оқиға А екеуінің де өлуін көрсетеді.Олай болса, p(A-)=n(40)-m(70)/n(40)*n(30)-m(60)/n(30)=82277-37977/82277*89685-58842/89685=44300/82277*30843/89685=0,185 Сонда іздеген ықтималдық ,яғни 30 жылдан кейін біреуінің өмір сүру ықтималдығы p(A)=1-p(A-)=1-0,185=0,815 немесе 81,5% Дәл осылайша есептесек 40 жылдан кейін кемінде біреуінің өмір сүру ықтималдығы 48% болатынын табу қиын емес. 2-мысал. 8-таблицаны пайдаланып,а(а=20,a=30,a=50,a=70,a=80)жастағы адамның ықтималды өмір сүруін анықтау керек.Ықтималды өмір сүру деп,қазіргі жасынан бастап келесі бір жасқа дейін өмір сүру ықтималдығы 1/2 болатын жасты түсінеміз. Шешуі. Қандайда бір жасқа дейін өмір сүруін Аоқиғасы дейік,сонда сол жасқа дейін дүние салуы қарама қарсы А оқиғасы болады. p(A)=1/2 болса,онда p(A-)=1/2 болады. Қорытып айтқанда,ықтималды өмір сүру деп,қандай да бір жасқа дейін өмір сүру ықтималдығы сол жасқа дейін дүние салу ықтималдығына тең болатын (солай деп болжанатын) жасты айтуымызға болады.Мысалы,қауіпсіздендіру мекемелеріде осыны негізге алады. Болжап отырған ізделінді жасымыз х болсын. Сонда m(x)/n(a)=0,5яғни ,m(x)=0,5*n(a) Енді х- тің мәнін 8- шы таблицаны пайдаланып табамыз. a=20 болғанда m(x)=0,5 n(20)=48030,5.Таблицада бұл мән жоқ,сондықтан сызықты интерполякцияны орындаймыз.48030,5 саны 58842 мен 37977 арасында демек,осы санға сәйкес x жас 60 пен 70 арасында болады.Дәлірек айтқанда, x=60+58842-48030,5/58842-37977*10=60+5,2=65,2=65 жас. Осы тәсілді қолданып,жасы a=30,a=50,a=70,a=80 деп алып есептегенде, ықтималды өмір сүру жасының сәйкес 67,77,79,86 сандарына тең болатынын табу қиын емес.Мұндай есептеулерді іс жүзінде қауіпсіздік мекемелері тікелей пайдаланып отырады. №26 Үлкен сандар заңы Біздің назарымызды аудартып отырған мәселе процесс нәтижесінің кездейсоқтығы және оны болжайтын ережені ықтималдықтар териясының тудыруы.Сондықтан бұл теорияның практикада қолданылу әдістерін білген дұрыс.Осындай теориямен практиканы ұштастыратынн ықтималдылықтар теориясының саласы үлкен сандар заңы деп аталады.Үлкен сандар заңын сипаттайтын теоремалар ықтималдылықтар теориясының абстрактілі модельдері мен тәжірибе арасындағы байланысты көрсетеді.Сонымен қатар,үлкен сандар заңы сол тәжірибе нәтижесін болжауға мүмкіндік береді.Мұнда оқиғаның салыстырмалы жиілігі ықтималдықтан қандай да алдын ала берілген оң аз шамадан үлкен болмауын бірге жуық ықтималдық пен айту үшін жүргізілетін сынау саны қандай болатыны қарастырылады.Ал егер сынау саны бұрыннан мәлім болса,онда үлкен сандар заңы салыстырмалы жиіліктің әрбір сынаудағы ықтималдықтан ауытқуы - алдын ала берілген шектен артпауын бірге жуық ықтималдықпен айта алады. Осы айтылғандардың барлығы да арифметикалық ортамен математикалық ортаның ауытқуына да тиісті болады. Бұл айтылғандарды алдымен мынадай мысалдармен түсіндіріп көрейік. Біздің жыл санауымыздан 4000 жыл бұрын Қытайда туған ұл балалр санының барлық туған балалар санына қатынасы жыл сайын да өзгермей, тұрақталып отырғаны байқалған.Сөйтіп,ол санды 1/2-ге тең деп алған. Бұл сан Лаплас есептеуі бойынша Лондон,Петербург және Брюссель үшін 22/43 санына жуық, Париж үшін 25/49 санына жуық болған.СССР -де 1970 жылғы санақ бойынша,бұл сан 53/103 -ке тең болады. Жоғарыдағы мысалдардан ұл балалардың туу жиілігінің математикалық ықтималдылығы 1/2 төңірегінде ауытқып отыратынын байқаймыз.Сонымен,көп жағдайда кездейсоқ оқиғаның қалыпты жиілігі болады және ықтималдықтың классикалық анықтамасы бар болса,бұл жиілік сол ықтималдық төңірегінде өзгеріп отырады. Математикалық ықтималдықты классикалық анықтама арқылы айқындауға болатын жағдайда да статистикалық эксперименттер жүргізіп,жиілігін салыстыру арқылы да анықтауға болатынын байқаймыз.Осындай эксперименттерді көптеген ғалымдар жүргізген.Солардың ішінде монетті лақтырып, оның герб жағымен пайда болу жиілігін Бюффон және К.Пирсон орындаған тәжірибе қорытындылары таблицада келтіріліп отыр.
Бұл таблицадан тәжірибелер нәтижесі 1/2 ықтималдығына өте- мөте дәл жуықтайтын,яғни p(A) = f(A) болатынын көреміз.Сонымен, кездейсоқ оқиға (немесе кезэейсоқ шама) әрбір дербес жағдайда әр түрлі мәндерге ие болуы мүмкін,бірақ олардың саны аса көбейгенде белгілі бір заңға бағынатын болады. Адам өзінің практикалық іс тәжірибесінде байқап жүрген бұл заңдылықтың математикалық тқжырымдамасын тұңғыш рет Я.Бернулли 1713 жылы берген.Оның тұжырымдамасы үлкен сандар заңының ең қарапйым түрі болатын.Оны былай айтуға болады. Егер әрбір тәуелсіз сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты болып, ол p- ге тең болса,онда сынау саны n жеткілікт іүлкен болғанда р мен салыстырмалы жиілік f=m/n айырмасының абсолют шамасы мейілінше аз оң Е нен артық болмау ықтималдығын мейілінше бірге жуық ықтималдықпен қабылдаймыз,яғни limn-р(|m/n-p| Бернулли теоремасы осы Чебышев теоремасының салдары ретінде оңай дәлелденеді.Аталған теоремалар сияқты тағы да теоремалар бар.Осындай теоремалар жиынын үлкен сандар заңы деп атайды.Бұл заңдар теория мен практиканы ұштастыратын маңызды дәнекер модель де. жүктеу/скачать 0,74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|