ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЛУЧАЕ ТОЖДЕСТВЕННОКРАТНОГО

32 
асимптотические ряды для решения задачи (1) при 
0.

    Вопрос  о  том,  действительно  ли 
полученные  в  работе [4] асимптотические  ряды  являются  регуляризованными,  изучался 
А.М.Джураевым [5], который  построил  специфические  пространство  векторов  экспоненциального 
типа, где асимптотические ряды для решения задачи (1) в условиях кратного спектра  представляют 
собой  сходящиеся  ряды  Лорана  при  соответствующих  ограничениях  на  данные  рассматриваемой 
задачи.  Результаты  работ  о  построении  регуляризованных  асимптотических  рядов  были  обобщены 
А.А.Бободжановым [6] на некоторые случаи неограниченных операторов  ( ).
A t
 
В  настоящей  работе  рассматривается  интегро-дифференциальная  система (1) и  строятся 
регуляризованная асимптотика решений при 
0.

  
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
 
Треногин  В.А.
 
Развитие  и  приложения  асимптотического  метода  Люстерника-Вишика // Успехи 
матем. наук. 1974. Т. 25, № 4.- С. 123-156. 
2.
 
Васильева  А.Б.,  Фаминская  М.В.  Критический  случай  с  жордановой  цепочкой  в  сингулярно 
возмущенной нелинейной задаче // Дифференц. уравнен. 1981. Т. 17, № 10.- С. 1806-1816. 
3.
 
Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.- М.: Наука, 1981.- 400 с. 
4.
 
Елисеев  А.Г.  Теория  сингулярных  возмущений  для  систем  дифференциальных  уравнений  в  случае 
кратного спектра предельного оператора. I,II // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48, № 5.- С. 992-1042. 
5.
 
Джураев  А.М.,  Ломов  С.А.  Об  аналитических  решениях  сингулярно  возмущенных  задач  с  кратным 
спектром // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе, 1988. Вып. 21.- С. 240-244. 
6.
 
Бободжанов  А.А.,  Ломов  С.А.  Асимптотическое  интегрирование  задачи  Коши  со  счетно-кратным 
спектром // Матем. заметки. 1984. Т. 35, вып. 1.- С. 63-82. 
 
 
REGULARIZATION METHOD FOR SINGULARLY PERTURBED INTEGRO-
DIFFERENTIAL SYSTEMS WITH MULTIPLE SPECTRUM 
B. Kalimbetov, Zh. Habibullayev 
A. Yasawi International kazakh – turkish university, Turkestan, Kazakhstan 
E-mail: bkalimbetov@mail.ru, jako8448@mail.ru  
 
In the asymptotic analysis the main problems of solving singularly perturbed equations in the case of a 
multiple spectrum arise due to multiple tasks: it is necessary to allocate the algorithm of description of 
singular dependence on perturbations (on 

in our notation), describe an algorithm for determining the 
degree of 

 by which we can build the approximation of solutions, and finally, correctly describe the space 
of solutions corresponding to a multiple spectrum. Regularization method [1] for solving singularly 
perturbed differential system with multiple spectrum, when the limit operator is equivalent to the Jordan 
structure, was developed by A.G. Eliseev [2-3]. Summarizing the results of [2-3], A.M. Dzhuraev could 
build a specific space of vectors of exponential type, where the asymptotic series of a solution of the problem 
in terms of a multiple spectrum are convergent Laurent series under corresponding restrictions on the data of 
the problem [4-5]. 
In this paper we consider the Cauchy problem for singularly perturbed integro – differential systems:  
0
0
( , )
( ) ( , )
( ) ( , )
( ),
(0, )
,
[0, ],
t
y t
A t y t
K s y s
ds h t
y
y
t
T












 
where 
1
2
{ , }
y
y y

are unknown vector function, 
( ),
( )
A t K t
 is given matrix – functions of order 
2 2

, 
1
2
( ) { ( ),
( )}
h t
h t h t

 are known vector – function, 
0
0
0
1
2
{ ,
}
y
y y

 are known constant vector under 
the following conditions: 
1. elements 
,
, 1,2
{ ( )} { ( )}
ij
ij
i j
a t
k t

 of the matrix – functions  ( ), ( )
A t K t  and  ( )
[0, ]
h t
C
T


. 
2. matrix – function 
( )
A t
 of the Jordan structure are satisfied conditions:  
а) 
1
2
( )
( ),
t
t



 
b) 
1
1
( ) 0,
( )
0,
[0, ],
Re
t
t
t
T




 
 and has the following expansion: 
1 1
1
,
( )
A t
P T



 
where 
1
P
 are projector onto the eigen - space of 
1
( ),
A t T
 are nilpotent operator of order 2, i.е.  
1
1 1
2
1 2
1
,
,
A
A

 

  



 

33 
 where 
1

 are eigenvector, 
2

 are associated vector.  
 
REFERENCES 
1.
 
S.A.Lomov,  Introduction to General Theory of Singular Perturbations, vol. 112 of Translations of 
Mathematical Monographs, American Mathematical Society, Providence, USA, 1992. 
Zentralblatt MATH: 
0790.34060, Mathematical Reviews (MathSciNet): MR1195789 
2.
 
A.G.Eliseev,  Singular perturbation theory for systems of differential equations in the case of a multiple 
spectrum of limit operator. I, II // Izv. АN SSSR. Ser. Math. 1984. V. 48, № 5.- p. 999-1042. (in Russian) 
3.
 
A.G.Eliseev,  Singular perturbation theory for systems of differential equations in the case of a multiple 
spectrum of limit operator. III // Izv. АN SSSR. Ser. Math. 1984. V. 48, № 6.- p. 1171-1195. (in Russian) 
4.
 
A.M.Dzhuraev, About analytic solutions of singularly perturbed problems with multiple spectrum // Research 
on integro – differential equations.// Frunze: Ilim, 1987. v. 21.- p. 240-244. (in Russian) 
5.
 
A.M.Dzhuraev and S.A.Lomov, Laurent series for solutions of singularly perturbed problems. // Abstracts of 
the conference mathematicians and engineers Kyrgyzstan. Frunze, 1987.- p. 26. (in Russian)   
 
 
MULTIPLICITY OF EIGENVALUES STUTM-LIOUVILLE PROBLEM ON GEOMETRIC 
GRAPH 
Kaldybekova B.K., Penkin O.M. 
Kazakh British Technical university, Almaty, Kazakhstan 
E-mail: o.m.penkin@gmail.com, bekzat_87@inbox.ru
 
 
Ordinary differential equation on geometric graph is defined as a set of ordinary differential equations 
on the edgeswithsome conditions at the vertices.  We give some applications of our result to the Sturm-
Liouville problem on graph G: 


G
x
u
u
x
q
u
x
p






,
)
(
)
(

                                                               (1) 
 
,
,
1
,
0
N
i
x
u
l
i


                                                                                  (2)
 
where N=2n, n equals the number of edges in G.  
Namely, we give an exact upper bound for multiplicities 
 

m
of eigenvalues of the problem (1)-(2). 
Our estimate 
 

m
 involves topologic structure of G . 
Theorem. 
Let the set 
0
F
of solutions of the problem (1) - (2) has the following properties: 
1) If for each vertices 
G
v

 and functions
0
F
u

 
0


v
u
, then the function identically equal to zero 
on the star
 
v
S
; 
2) At an arbitrary vertex with multiplicity n exists a base set consisting of n coordinates,  moreover n=1. 
Then the geometric multiplicity of eigenvalues of the problem (1)-(2) 
     
1
dim
1
0









d
F
,                                                              (3) 
where 
 

1
d
 - the number of vertices with unit multiplicity, 
 


 - the number of cycles in G, 
 


 - the 
number of so-called boundary nests.  
The estimate (3) gives powerful generalization  of the results J. Lubary, M. Zavgorodnyi and O.Penkin   
presented in [1], [2]. 
 
REFERENCES 
1. Lubary J.A, On the geometric and algebraic multiplicities for eigenvalue problems on graphs// Lecture notes in 
Pure and Applied Mathematics, Marcel Deccer, 2001, 219, 135-146 
2. Zavgorodnyi M.G.,  Penkin O. M., About eigenvalue multiplicity  estimates, school, Ьodern methods in the 
theory of boundary value problems, 1992, thesis of reports, Voronezh, VSU, p.46 
3. Pokornyi U. V., Penkin O.M., Sturm's theorem for equations on graphs// Reports of the Academy of Sciences, 
USSR, 1989, T.309, №6, p.1306-1308 
 
 

34 
INTEGRAL TRANSFORMATIONS FOR PARTIAL DERIVATIVES EQUATIONS 
Khegay S.V., Yessenbayeva G.A 
The Karaganda State University of the Name of Academician E.A.Buketov, Karaganda, Kazakhstan 
E-mail:s.v.khegay@gmail.com, esenbaevagulsima@mail.ru 
 
If a steel wire is exposed to a sinusoidal magnetic field, the boundary value – initial value problem that 
describes its displacement is 
=
− sin( ) , 0 < < 1, 0 < , 
(0, ) = 0, (1, ) = 0, 0 < , ( , 0) = 0,
( , 0) = 0, 0 < < 1. 
The nonhomogeneity in the partial differential equation represents the effect of the force due to the 
field. The transformed equation and its solution are 
=
−
+
, ( , 0) = 0, (1, ) = 0, 0 < < 1, 
( , ) =
( +
)
cosh
1
2
− cosh
1
2 −
cosh
1
2
. 
Several methods are available for the inverse transformation of  . An obvious one would be to compute 
( , ) = ℒ
cosh
1
2
− cosh
1
2 −
cosh
1
2
 
and write 
( , ) as a convolution 
( , ) =
sin
( − ) ( , )
. 
The details of this development are left as an exercise. We could also use the Heaviside formula. The 
application is now routine, except in the interesting case where 
cosh( /2) = 0, that is, where  
 
= (2 − 1) , one of the natural frequencies of the wire. 
Let us suppose 
= , so  
( , ) =
(
+
)
cosh
1
2
− cosh
1
2 −
cosh
1
2
. 
At the points 
= 0, 
= ± , 
= ±(2 − 1) , 
= 2,3, … , ( , )
 
becomes undefined. The 
computation of the parts of the inverse transform corresponding to the points other than 
±
 
is easily carried 
out. However, at these two troublesome points, our usual procedure will not work. Instead of expecting a 
partial-fraction decomposition containing 
( + ) +
( + )
+
( − ) +
( − )
. 
One can compute 
 
and  , for example, by noting that 
= lim
→
[( − ) ( , )],  
=
lim
→
( − )
( , ) −
(
)
 
and similarly for 
 
and 
. The limit for 
 
is not too difficult. For example, 
= lim
→
( + )
cosh
1
2
− cosh
1
2 −
cosh
1
2
/( − )
=
−1
cos
1
2
−
=
−1
sin( ). 
The limit for 
 
is rather more complicated but may be computed by L’Hôpital’s rule. Nevertheless, because  
=
1
, we already see that 
( , ) contains the term 
+
= −
2
sin( ) cos( ), 
whose amplitude increases with time. This, of course, is the expected resonance phenomenon. 

35 
BIBLIOGRAPHY 
1. Guo Chun Wen. Boundary Value Problems, Integral Equations and Related Problems. - Seul : World 
Scientific, 2011. - 564 p. 
2. Prudnikov A.P. and others. Integrals and Series. – V. 2. Special functions. – М.: Physmathlit, 2003. – 664 p. 
 
 
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ МОМЕНТА СИЛЫ ВЯЗКИХ ТРЕНИЙ 
ЛИТОСФЕРЫ И МАНТИИ ОБ АСТЕНОСФЕРНЫЙ СЛОЙ    
Коржымбаев Т.Т. 
Алматинский
 
университет
 
энергетики и связи, Алматы 
E-mail: tkorzhymbaev@gmail.com   
 
Пусть литосфера  и мантия вращаются с угловыми скоростями 
, 
 около центра масс Земли. 
Это  порождает  движение  вязкой  жидкости,  заключённой  в  сферическом  астеносферном  слое  с 
внешним и внутренним радиусами a, b. Поэтому момент относительно точки О силы вязких трений 
литосферы  и  мантии  об  астеносферный  слой  могут  быть  найдены  из  решения  задачи  о  течении 
вязкой несжимаемой жидкости между двумя вращающимися сферами. 
Течение  вязкой  жидкости  во  вращающихся  сферических  слоях  рассматривалось  во  многих 
работах, подробный обзор которых приведён в [1]. 
Запишем выражения для моментов сил вязкости, приложенных к литосфере и мантии, пользуясь 
решением [2]: 
 
 
где µ и  ν  - динамический и кинематический коэффициенты вязкости; λ
k
 – корни уравнения  
, 
,  
,  
, 
 ,    
 , 
 ,      
  . 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1. Беляев Ю.Н., Яровская И.М. Течение вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях и 
их устойчивость. – Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. Т.15,1980. 
2.  Ержанов  Ж.С.,  Калыбаев  А.А.,  Баймухаметов  А.А.  О  неустановившемся  движении  вязкой 
жидкости в сферическом слое. – Известия АН КазССР, серия физ.-мат., 1978, №3, с.16-22. 
 
 
О НЕТЕРОВОСТИ ОДНОГО ОСОБОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА 
Мергембаева А.Ж., Рамазанов М.И. 
Карагандинский государственный университет им. академика Е.А. Букетова, Караганда, Казахстан 
E-mail: aizhan.mergembaeva@mail.ru,  ramamur@mil.ru  
 
Рассматривается особое интегральное уровнениеВольтерра второго рода [1] 


 
   






t
d
t
k
t
K
I
K
0
,
0
,










                                (1) 
где, 
 




,
1
,
4
/
1












t
t
z
e
t
t
k
,
1
0



 
 λ – действительный  параметр.Особенность  ядра  заключается  в  том,  что   
 




t
n
d
t
k
0
0
,
,
lim


 
действительно 

36 
 
















t
x
x
t
dx
e
x
x
t
d
t
k
0
1
0
1
4
2
1
,





 
Доказаны. 
Теорема1.
  При
0


,  уравнение (1) (наряду  с  тривиальным)  имеет  нетривиальное  решение 
вида 
 
 
 


0
,
2
1











s
e
t
C
t
t
S
 
числа 
 

s
 - определяются как корень уравнения [2] 
 
,
0
2
1
2
/
4
2
1






s
K
s




 
где, 
 
x
K

 - модифицированная  функция  Бесселя.Если  же 
0


,  то  однородное  уравнение (1) 
имеет только тривиальные решение. 
Теорема 2. 
Особый интегральный оператор Вольтерра
 
,
z
K

 соответствующий уравнению (1) 
является нетеровым и имеет индекс 
 







.
0
,
0
,
0
,
1



если
если
K
ind
 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
 
Дженалиев  М.Т.,  Рамазанов  М.И.  Нагруженные  уравнения  как  возмущения  дифференциальных 
уравнений// Алматы: Ғылым, 2010г, 334с. 
2.
 
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшее трансцендентные функции// т 2, 1953г, 296с.  
 
 
О ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 
ОПЕРАТОРОВ С ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 
Муратбеков М.Б., Мусилимов Б. 
Таразский государственныйпедагогический институт, Тараз, Казахстан 
 Е-mail: musahan_m@mail.ru  
 
В  настоящей  работе  исследуется  вопрос  о  существовании  и  гладкости  решений  для  одного 
класса неполуограниченных дифференциальных уравнений.  
Пусть  Н – абстрактное  сеперабельное  пространство  Гильберта.  Обозначим  через  H
1
=L
2
(R,H) 
гильбертово  пространство,  полученное  пополнением 
)
,
(
0
H
R
C

–  множества  финитных  бесконечно 
гладких вектор-функций, определенных на R=(-

,
) со значениями в Н по норме 
                                  
2
/
1
2
)
(
)
(
1











dy
y
u
y
u
H
H
, 
соответствующей скалярному произведению 
                                     





dy
y
v
y
u
y
v
y
u
H
H
)
(
),
(
)
(
),
(
1
. 
В этом пространстве рассматривается дифференциальное уравнение 
              
1
)
(
)
(
)
(
)
(
H
f
u
y
c
u
A
y
ia
Au
y
k
y
u
Lu









.                                (1) 
где А – положительно-определенный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н с 
вполне непрерывным обратным, где 






1
,
2
1

, k(y) – кусочно-непрерывная и ограниченная функция 
в R,  k(0)=0,  yk(y)>0  при  y
0

. 
Через L обозначим замкнутый оператор, соответствующий уравнению (1) в пространстве Н
1
. 

37 
Под решением уравнения (1) понимается функция 
1
H
u

, если существует  последовательность 
 
)
,
(
0
1
H
R
C
u
n
n




 такая, что  
                           
0
,
0
1
1




H
n
H
n
f
Lu
u
u
   при n


. 
Известно,  что  оператор  А  в  гильбертовом  пространстве  Н  называется  диссипативным , если 
0
,
Im


u
Au
  для  любого   
)
( A
D
u

и  диссипативный  оператор  А  называется  максимально 
диссипативным, если множество 


)
(
:
A
D
u
u
Au



 плотно в Н. 
Указанная проблема рассмотрена нами на случай дифференциального уравнения (1), заданного в 
неограниченной  области  и  имеющего  растущие  (не  суммируемые)  коэффициенты.  Полученный 
результат  может  быть  распрастранен  для  дифференциальных  операторов  смешанного 
типа. Получены следующие результаты: 

жүктеу/скачать 2,47 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: