ЖƏне қолданбалы мəселелері халықаралық ғылыми конференцияның материалдары 12-14 маусым

22 
РЕШЕНИЕ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ 
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 
Ахманова Д.М., Омирбекова А.Е., Рамазанов М.И.  
Карагандинский государственный университет им. академика Е.А. Букетова, Караганда, Казахстан 
E-mail: aika_901109@mail.ru  
 
Рассмотрим в области 
 


0
,
0
,
,



t
x
t
x
Q
 следующую краевую задачу [1,2] 
 
t
x
f
t
x
x
u
x
u
x
x
u
t
u
k
k
,
2
1
2
2


















 
 
 
(1) 
 
.
..
.,
2
,
1
,
0
,
0
0
,
0
0
,
2
1














k
x
x
u
x
x
u

  
                (2) 
Уравнение (1) встречается в задачах диффузионного пограничного слоя при наличии источников 
или стоков вещества. 
Доказано, что при следующих предположениях:  
С


- комплексный параметр,
 
 
,
,
Q
M
t
x
f

 

  
 
,
,
0
0 0
,
,
,
,



















M
t
x
t
d
d
f
t
x
G
x
k
k






 
где  
 
   
 
 
 
,
,
0
,
0
,
0
,







C
L
M
Q
C
Q
L
Q
M


   
 
(3) 


 







































t
x
I
t
x
t
x
t
x
G
2
4
exp
2
1
,
,
,
2
2
1
 
справедлива теорема. 
Теорема.  Для 
,
С



 
 
,
,
Q
M
t
x
f

 (3) граничная задача (1) - (2) имеет единственное 
решение которое имеет вид 
 
  

  



















 





t
t
d
d
t
x
G
f
d
t
x
d
d
x
G
f
x
t
x
u
k
k
0
0 0
,
,
,
,
,
0 0
,
,
,
,
















 
 
при этом справедлива оценка  
 
.
,
t
C
t
x
u


 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
 
Нахушев А.М. 
Нагруженные уравнения и их применение
. М., Наука, 2012, 232 с. 
2.
 
Дженалиев  М.Т.,  Рамазанов  М.И. 
Нагруженные  уравнения  как  возмущения  дифференциальных 
уравнений.
 Алматы, Ғылым, 2010, 336 с. 
 
 
 
 
 
 
 

23 
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ 
КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 
Байжанова М., Тунгатаров А. 
Казахский национальный университет имени аль-Фараби, Алматы, Казахстан. 
E-mail: tun-mat@list.ru. 
 
Пусть 
1
0 x
  
 и 
1
[0, ]
S
x
 - класс существенно ограниченных и измеримых в 
1
[0, ]
x
 функции 
( )
f x
 с нормой 
1
1
0
[0,
]
[0,
]
| |
sup
| ( ) | lim || ||
.
p
L
x
p
x
x
f
vrai f x
f




 
Через 
2
1
[0, ]
W
x

  обозначим  класс  функции 
( )
f x
,  для  которых 
2
1
2
[0, ].
d f
S
x
dx

  Рассмотрим  в 
1
[0, ]
x
 уравнение  
                                                 
2
2
( )
( , ),
d y
a x y
f x y
dx


                                                                   (1) 
где 
1
( )
[0, ],
a x
S
x

  а  функция 
( , )
f x y
  непрерывна  по  совокупности  переменных  в  области 
0
{( , ) : 0
, |
|
}.
D
x y
x
y y



 


  Здесь 
0
(0)
,
y
y


  и 

  положительные  числа, 
1
.
x


  Ищем 
решения уравнения (1) из класса  
0
1
1
1
1
2
|
|
2
],
,
0
[
]
,
0
[
a
x
x
C
x
W



.                                                     (2) 
В  настоящей  работе  мы  получили  достоточное  условие,  при  котором  существует  решение 
уравнения (1) из класса (2), удовлетворяющее условиями  
1
(0)
,
( )
,
dy
y
x
dx




 
где 

 и 

 - заданные действительные числа.  
В [1] решена задача Коши для уравнения (1). 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.  А.  Б.  Тунгатаров. 
Задача  Коши  для  одного  класса  нелинейных  обыкновенных  дифференциальных 
уравнений второго порядка
 // Вестник КазНУ им. аль-Фараби, серия мат., мех., инф., 2013, 1(76) . с. 22-28. 
 
 
NUMERICAL METHODS OF COMPUTING EIGENVALUES OF MATRIX, WHICH 
ARISING OUT OF SOME BIOLOGICAL MODELS 
Baitenova S.A., Eleuov A.A., Maksutov B.A.  
Al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan 
E-mail: Eleuov@mail.ru
 
 
In this dissertation work [1] we proposed different algorithms of computing eigenvalues and 
eigenvectors of matrices, which based on variational methods. These methods were applied to some ecnomic 
problems too. In this thesis we propose the use of these algorithms to some biological problems. 
The detailing of populations of age structures provides to model classes, first proposed by Leslie (1945, 
1948). Let the food resources are unlimited. The reproduction occurs in certain moments of time 
n
t
t
t
....,
,
2
1
. Let the population contains 
n
 age groups. Then at each fixed time (for example, 
0
t
) the 
population can be characterized with column vector: 

)
(
0
t
X
)
(
...
)
(
)
(
0
0
2
0
1
t
x
t
x
t
x
n
   
 
 
 
 
 
(1) 

24 
Vector
)
(
1
t
X
, which characterizing the population in the next moment of time, for example, within a 
year, associated with the vector 
)
(
0
t
X
 by the matrix transition 
L
: 
)
(
1
t
X
=
)
(
0
t
LX
   
 
 
 
 
(2) 
Let's establish the type of matrix. From all age groups we select those groups, that produce offspring. 
Let their number will 
,
,....,
1
,
p
k
k
k


 under 
1
1
,....,

k
x
x
 are pioneers, 
x
k
p1
,...., x
n
 are pensioners. 
Knowing the structure of the matrix L and the initial state of the population of column vector 
)
(
0
t
X
, we 
can predict the state of the population in any given time. The main eigenvalues of the matrix 
L
 
gives the 
rate, at which the population multiplies, when the age structure is stabilized. The models of using the Leslie's 
matrices for big age groups can provide a description of the vibrational changes of the population size. In this 
thesis for the computing of eigenvalues of the matrix L was used the author's algorithm for the reducing of 
matrix to the triangle form. [3]. Note, that this algorithm can be also used for other similar problems, which 
arise not only in the mathematical modeling of biological processes, but also in other areas. 
 
REFERENCES 
1.  Eleuov A.A. Variational methods of computing eigenvalues and eigenvectors of matrices and their 
numerical implementation. // Ph. D. Thesis. 2007. Almaty 
2.  Eleuov A.A. The use of a method for the approximate determinated of the eigenvalues of the 
economic problems. // Proceedings of V-th Kazakh-Russian international scientific-practical conference 
«Mathematical modeling of science-technolical and ecological problems in the petroleum industry», - 
Atyrau, 2005.  С. 53-56. 
3.  Eleuov A.A. The algorithms of the count of eigenvalues and eigenvectors of matrices. // Vestnik 
KazNPU named after Abay. The seria of physics, mathematic, computer science. – 2007.  №1(17).  С.23-28. 
 
 
О НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 
Дженалиев М.Т., Иманбердиев К.Б., Айменова К.А. 
Институт математики и математического моделирования КН МОН РК, 
Казахский национальный университет имени аль-Фараби, Алматы, Казахстан 
E-mail: kakozhan@mail.ru, muvasharkhan@gmail.com, kanzharbek75ikb@gmail.com 
 
Введение.
  В  последнее  время  среди  специалистов  по  уравнениям  математической  физики 
значительно  возрос  интерес  к  задачам,  не  являющимся  корректными  по  Ж.  Адамару [1]. Задачи 
такого рода всегда привлекали внимание исследователей. Прежде всего, это связано не только с их 
важностью в теоретическом плане, но также и с тем, что с ними приходиться сталкиваться во многих 
прикладных  задачах  из  различных  областей  науки  и  техники.  В  связи  с  некорректными  задачами 
можно  отметить  классические  работы  Ж.  Адамара [1], А.Н.  Тихонова [2], М.М.  Лаврентьева [3] и 
многих  других,  обративших  внимание  исследователей  на  некорректные  задачи  и  внесших 
существенный вклад в развитие этого важного направления математики. 
Постановка  задачи.
  В  области 


1
0
,
2
0
|
,






y
x
y
x

  рассматривается  следующая 
граничная задача 
),
,
(
2
y
x
f
u


 
Q
y
x



)}
1
,
0
(
),
2
,
0
(
{

,                                             (1) 
0
)
,
0
(
)
,
0
(


y
u
y
u
x
, 
0
)
,
2
(
)
,
2
(


y
u
y
u
x


,                                         (2) 
0
)
1
,
(
,
0
)
0
,
(
),
(
)
0
,
(
,
0
)
0
,
(
1




x
u
x
u
x
x
u
x
u
yy
yy
y

,                                   (3) 
g
U
x
u

)
1
,
(
 – выпуклое замкнутое множество из 
).
2
,
0
(
2
/
3
0

H
                        (4) 
Предполагается, что выполнены условия: 
)
2
,
0
(
),
2
,
0
(
,
)
)
(
~
(
2
/
3
0
2
/
1
0
1
2




H
H
Q
H
f




,                                       (5) 











)
(
)),
2
,
0
(
;
1
,
0
(
|
)
(
~
2
2
2
2
0
2
2
Q
L
y
u
H
L
u
u
Q
H

. 
Задача оптимизации
. Для исследования граничной задачи (1)–(4) сформулируем в соответствие 
к ней следующую регуляризованную оптимизационную задачу: 

25 
)
,
(
2
y
x
f
u


,                                                                 (6) 
0
)
,
2
(
)
,
2
(
)
,
0
(
)
,
0
(




y
u
y
u
y
u
y
u
x
x


,                                       (7) 
,
0
)
1
,
(
,
0
)
0
,
(
),
(
)
1
,
(
,
0
)
0
,
(




x
u
x
u
x
x
u
x
u
yy
yy

                                (8) 
с функционалом оптимальности: 
)
0
(
,
min
|
)
(
|
|
)
(
)
0
,
(
|
)
,
(
2
0
2
0
2
2
1

















g
U
y
dx
x
dx
x
x
u
u
J
.                       (9) 
Заметим, что в задаче (6)–(9) функция 
)
(x

 играет роль функции управления. Кроме того, далее 
в  работе  будет  известно,  что  граничная  задача (6)–(8) поставлена  корректно,  т.е.  однозначно 
разрешима  для  любых  заданных  функций  управления 
)
2
,
0
(
2
/
3
0


H
U
g


, 
)
)
(
~
(
2


Q
H
f
. 
Оптимизационная задача (6)–(9), благодаря наличию стабилизатора, становится строго выпуклой, т.е. 
корректной задачей оптимизации. 
В  работе  с  помощью  применения  методов  теории  оптимального  управления  для  линейно-
квадратичных  задач  оптимизации  установлены  условия  оптимальности;  разработан  алгоритм 
решения  некорректной  задачи  стационарной  теплопроводности  для  бигармонического  уравнения  в 
прямоугольной  области;  некорректная  задача  сведена  к  решению  обратных  задач  по  определению 
граничных функций для системы из двух эллиптических уравнений. 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1. Адамар Ж. 
Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа
. – 
М.: Наука, 1978, 352 с. 
2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. 
Методы решения некорректных задач
. – М.: Наука, 1979, 142 с. 
3. Лаврентьев М.М. 
Задача Коши для уравнения Лапласа
 // Известия АН СССР. Сер.мат., Т.20, №6, 1956, 
С.819–842. 
 
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ДРОБНОЙ 
НАГРУЗКОЙ 
Жанболова А.К., Каршыгина Г.Ж, Рамазанов М.И. 
Карагандинский государственный университет им. академика Е.А. Букетова, Караганда, Казахстан 
E-mail: zhanbolova.aigerim@mail.ru, ramamur@mail.ru 
 
Прогнозирование уровня грунтовых вод [1] сводится к решению краевых задач для нагруженных 
уравнений.  В  области 
 


0
,
0
:
,



t
x
t
x
Q
  рассмотрим  следующую  граничную  задачу  для 
нагруженного параболического уравнения: 


 

















0
,
0
,
0
0
0
2
2
t
x
t
x
x
u
u
t
x
f
u
D
x
u
t
u



 
 
  
 
(1) 
где 
1
0



, 




1
1
2






, 

 - комплексный  параметр, 
   
Q
С
t
x
f

,
 - заданная  функция, 



  






d
f
x
D
u
D
x
a
x
x
a






1
1
 - производная порядка 

 от функции 
u
 по переменной 
x
. 
Получено следующее представление решения задачи (1): 
 

  




















t
d
d
f
t
x
G
t
u
D
t
t
x
erf
t
x
u
0 0
,
,
,
0
0
2
,












           (2) 
где 





t
x
G
,
,
-  функция  Грина  первой  краевой  задачи  для  уравнения  теплопроводности [2]. Для 
того,  чтобы  найти  решение  задачи (1), необходимо  определить  значение  выражения 




t
u
D





0
[3].  Для  этого  проделаем  следующую  процедуру:  от  обеих  частей (2) берем 
дробную производную по 
x
 порядка 

,  полагаем 

t
x

 и введем следующие обозначения: 

26 
 





t
x
x
u
D
t


0
, 
 





t
x
x
t
x
erf
D
t
K
















2
,
0
,

  








t
x
t
x
d
d
f
t
x
G
D
F












0 0
0
,
,
,
 
Таким образом, решение задачи (1) свелось к решению следующего интегрального уравнения 
Вольтерра второго рода: 
 
   
 
t
F
d
t
K
t
t
1
0
,












 
Для  того,  чтобы  ядро 
 


,
t
K
  имело  слабую  особенность  достаточно,  чтобы  выполнялось 
неравенство 







1
2
1
 
Таким образом доказана: 

жүктеу/скачать 2,47 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: