ЖƏне қолданбалы мəселелері халықаралық ғылыми конференцияның материалдары 12-14 маусым

38 
гиперболических  уравнений  и  предложить  алгоритмы  нахождения  приближенного  решения. 
Результаты  установленные  в  работе [1],  для  линейных  задач  применяются  к  исследованию 
полупериодической  краевой  задачи  для  системы  нелинейных  гиперболических  уравнений  со 
смешанной  производной.  В  работе [3], установлены  достаточные  условия  осуществимости  и 
сходимости предложенного алгоритма, а также  существования изолированного решения нелинейной 
полупериодической    краевой  задачи.  В  сообщении,  исследована  периодическая  краевая  задача  для 
системы  нелинейных  гиперболических  уравнений.  Предложен  новый  алгоритм  нахождения 
приближенного  решения,  а  также  достаточные  условия  осуществимости  и  сходимости 
предложенного алгоритма. 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
 
Орумбаева  Н.  Т.  Об  одном  приближенном  методе  решения  полупериодической  краевой  задачи  для 
системы гиперболических уравнений// Математический журнал. - 2005. - Т. 4, 4(14), - С. 64 - 74. 
2.
 
Джумабаев  Д.С.  Признаки  однозначной  разрешимости  линейной  краевой  задачи  для  обыкновенных 
дифференциальных уравнений//  Ж. вычисл. матем. и  матем. физ. 1989. Т.29,№1.С.50-66. 
3. Орумбаева Н. Т.  Об одном алгоритме нахождения изолированного решения полупериодической краевой 
задачи  для  системы  нелинейных  гиперболических  уравнений//  Вестник  Карагандинского  университета.  Серия 
Математика. – Караганда, 2008. – № 2(50). – С.47–54. 
 
 
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА СИНГУЛЯРНЫХ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ   
Оспанов К.Н. 
Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан 
E-mail: ospanov_kn@enu.kz  
  
Рассмотрим уравнение 
   
 
),
(
'
'
)'
'
(
:
x
f
y
r
qy
y
Ly







 
 
 
 
(1) 
 
где 
)
,
(




x
, 
y
 - комплексная сопряженная к 
y
, 
)
,
(
:
2
2





L
L
f
.  
Решением уравнения (1) назовем функцию 
y
, для которой найдется   последовательность 
 

1
n
n
y
 сколь угодно дифференцируемых и финитных функций,   такая, 
что 
0
2

 y
y
n
, 
0
2

 f
Ly
n
 при 



n
. Здесь 
2

 - норма пространства  
2
L
. 
В работе обсуждается следующий результат, относящийся к разрешимости уравнения (1).  
Теорема.
 Пусть функции 

, 
q
, 
r
 в (1) непрерывно дифференцируемы и 
 
   




)
(
0
x


, 
0
|
|
|
Re
|




r
q
, 
   


















































2
1
2
0
2
1
2
0
)
(
Re
sup
,
)
(
Re
sup
max







q
d
q
d
t
t
t
,  
где 


,
-  некоторые  постоянные.  Тогда  уравнение (1) для  каждой  правой  части 
f
  из 
2
L
  имеет, 
притом единственное решение. 
Отметим,  что  в  уравнении (1) члены  с  первыми  производными  не  могут  быть  возмущениями 
других членов в смысле операторов. Такие уравнения называют вырожденными, а порождающие их 
операторы  вырожденными  дифференциальными  операторами.  Ранее  симметричные  вырожденные 
дифференциальные  операторы  второго  и  высокого  порядков  рассмотрены  в  работах  А.Г. 
Костюченко, М.Г. Гасымова, Б.Я. Скачека, М. Отелбаева, О.Д. Апышева и др., где  изучались вопрос 
об  их  самосопряженности  и  спектральные  свойства  их  расширений  по  Фридрихсу.  Результаты 
настоящей  работы  дополняют  указанные  исследования  и  посвящены  случаю  несамосопряженного 
дифференциального уравнения второго порядка. 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.  Апышев  О.Д.,  Отелбаев  М.  О  спектре  одного  класса  дифференциальных  операторов  и  некоторые 
теоремы вложения // Известия АН СССР. – 1979. - Т. 43, № 4. - С. 739-764. 

39 
2.  Гасымов  М.Г.  О  распределении  собственных  значений  самосопряженных  дифференциальных 
операторов // Докл.АН СССР. – 1969. - T. 186, № 4. - C. 753 - 756. 
3.  Костюченко  А.Г.  О  некоторых  спектральных  свойствах  дифференциальных  операторов // Мат. 
заметки. – 1967. - Т.1,  №3, – C. 365–378.  
4.  Скачек  Б.Я.  Распределение  собственных  значений  многомерных  дифференциальных  операторов // 
Функциональный анализ и его приложения. - 1975. - Т.9, № 1. – С.83-84.  
5. Ospanov K.N., Akhmetkaliyeva R.D., Separation and the existence theorem for second order nonlinear 
differential equation// Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2012, No. 66, pp. 1-12. 
 
 
РАЗРЕШИМОСТЬ ПЕРВОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТНОЙ 
ГИДРОДИНАМИКИ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 
Сахаев Ш. 
Казахский национальный университет имени аль-Фараби, пр.аль-Фараби, 71, 050040 Алматы, Казахстан 
E-mail: Sakhaev_sh@mail.ru 
 
Рассмотрим  следующую  (типа  первой)  задачу:  вязкая  несжимаемая  проводящая  жидкость 
заполняет ограниченный сосуд 
3
R


 с идеально проводящей границей 
S
. 
В 
3
R


 внешняя сила 
),
(x
f

 действующая на жидкость и электрический ток плотности 
).
(x
j

 
Нужно  определить  векторное  поле  скоростей 
)
(x


  и  давление 
)
(x
p
  жидкости,  а  также  магнитное 
)
(x
H

 и электрическое поле 


x
x
E ),
(

.  
Такое  установившееся  движение  вязкой  несжимаемой  проводящей  жидкости  описывается [1] 
системой магнитной гидродинамики, состоящей из уравнений Навье-Стокса 
),
(
)
|
)
(
|
2
)
(
(
1
)
(
)
(
)
(
2
2
x
f
x
H
x
p
H
H
x
v

























  
(1) 
0
)
(

x
div


 
и уравнений Максвелла с исключенным током смешения 
).
(
)
(
,
0
)
(
),
(
))
(
)
(
(
)
(
x
j
div
x
E
div
x
H
div
x
j
H
x
E
x
H
rot

















 
 
 
 
(2) 
Задача  состоит  в  нахождении  решений  уравнений (1) и (2) в  области 

,  удовлетворяющих 
следующим краевым условиям на 
S
: 
,
0
)
(

x


  
 
 
 
 
 
(3) 
,
0
,
0




E
n
H



 
 
 
 
 
 
(4) 
где 
n

-внешняя единичная нормаль к 
,
S
 а 
).
(
E
n
n
E
E









 
Существование  обобщенного  (слабого)  решения  задачи  было  доказано  в [1,2], а  данная  работа 
посвящена доказательству существования сильного решения в 
)
(
),
(
2
2




C
W
p
. 
Краевые условия (3)-(4) являются стандартными для магнитной гидродинамики. 
В исследовании этой задачи во многом способствует переход от классической постановки задачи 
к  обобщенной [3], состоящие  в  том  что  уравнения (1), (2), а  также  условия  на  границе  заменяются 
требованием  принадлежности  искомых  вектор-функции  некоторым функциональным гильбертовым 
пространством,  а  остольные  уравненя-интегральными  тождествами.  Существенно  то,  что  при  этом 
удается  исключить 
)
(x
E

  и 
)
(x
p
,  и  заниматься  сначала  лишь  нахождением 
)
(x


  и 
)
(x
H

  из 
интегральных тождеств. После этого, по существу из первоначальной системы вычисляются 
)
(x
E

 и 
)
(x
p
. 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
 
Солонников  В.А.-О  некоторых  стационарных  задачах  магнитный  гидродинамики//  Труды  МИАН 
СССР, 59 (1960) стр. 5-36. 
2.
 
Е.Sanchez-Palencia, Existence des sulutions de certans problems aux limites en magneitohdy-namique// J.Mec. 
7, p. 405-426 (1968) 
3.
 
Sh.Sakhaev and V.A.Solonnikov, On some stationary problems of magnetonydrodynamies in multi-connected 
domains// Journal of Mathematical Sciences, vob.185, vo,5, September, 2012 

40 
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ПОСТРОЕНИЯ ОБЩИХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ 
КОЭФФИЦИЕНТАМИ 
Скаков А.А., Тунгатаров А.  
Казну имени аль-Фараби, Алматы, Казахстан 
E-mail: tun-mat@list.ru  
 
Пусть 



0
0 x
  и s-заданное  число.  Нами  получено  в  явном  виде  в 


0
,
0 x
  общее  решение 
уравнения  
0
)
(
)
(
2
2


x
v
e
dx
x
v
d
sx
 
в виде  
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
x
I
c
x
I
c
x
v


, 
где 
2
1
, c
c
-произвольные числа. 
При s=1  функции 
)
(
1
x
I
 и 
)
(
2
x
I
 находятся по формулам: 


,
1
2
1
2
)!
(
!
1
2
1
2
)
!
(
1
)
1
(
2
)
1
(
2
)
(
3
1
1
1
1
2
2
1
1
2
1
 






































 







k
k
n
n
k
m
n
m
nx
k
k
n
kx
k
n
x
m
m
x
n
k
n
e
n
x
e
n
x
k
e
x
x
x
I
 
 












































3
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
)!
1
(
)!
(
)
!
(
1
2
1
!
)!
1
(
1
)
2
(
)
(
k
k
n
n
m
n
k
m
nx
k
k
n
kx
x
m
m
n
k
x
n
k
n
k
n
e
k
e
n
k
x
k
k
e
x
x
x
I
.
 
Функции 
)
(
1
x
I
  и 
)
(
2
x
I
  линейно-независимы  в 


0
,
0 x
  и  являются  частными  решениями 
уравнения (1) из  класса 


0
2
,
0 x
C
.  При  построении 
)
(
1
x
I
  и 
)
(
2
x
I
  использованы  резултаты  работ 
[1,2] и программа Matlab. 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.  A. Tungatarov, D.K. Akhmed-Zaki. General solution of second order linear ordinary differential equations 
with variable coefficients// Journal of Inequalities and Special functions. 2012, vol. 3, no 4, pp.42-49. 
2.  A. Tungatarov, D.K. Akhmed-Zaki. Cauchy problem for one class of ordinary differential equations//  Int. J. of 
Mathematical Analyses. 2012, vol.6, no 14, 695-699.   
 
 
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НУЛЕВОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ  
Сулейменов Ж. 
Казахский Национальный Университет им. аль-Фараби, г. Алматы, Казахстан 
E-mail: Zh_Suleimenov@mail.ru 
 
Рассматривается дифференциальная система 



































)],
(
),...,
(
),
(
),
(
),...,
(
),
(
,
[
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
(
),...,
(
),
(
),
(
),...,
(
),
(
,
[
)
(
)
(
1
1
0
0
0
1
1
m
m
m
j
j
m
j
j
j
j
m
j
m
m
j
j
t
x
t
y
t
y
t
x
t
x
t
x
t
N
t
x
t
D
t
y
t
B
dt
dy
t
x
t
y
t
y
t
x
t
x
t
x
t
t
x
t
A
dt
dx











              
)
1
(
 

41 
где 
)
,
[
0

 t
t
 действительная переменная, 

)
(
),
(
t
y
t
x
искомые при 
0
t
t 
 функции со значениями из 
банахового  пространства 





const)
(
,
)
(
0
),
(
,





t
t
B
j
j
j
  непрерывные  ограниченные 
запаздывания.  Пусть  на  начальном  множестве 
,
0
0
0

m
j
j
t
t
E
E


  искомые  функции  удовлетворяют 
условию 






,
)
(
)
(
)
(


t
y
t
t
x
 
где 

)
(t

непрерывная функция, а 

 B

нулевой элемент. 
Обозначим  через 
)
,
( s
t

  разрешающий  оператор  линейного  однородной  части  первого 
уравнения системы (1), а через 

)
,
(
0
t
t
Y
разрешающий оператор линейной части первого уравнения 
системы (1) 

жүктеу/скачать 2,47 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: