Жұмыс бағдарламасы «Математикалық логика және дискретті математика»
жүктеу/скачать 1,48 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- ПОӘК 042-02.01.20. 123 /0 2 -2013
Элементы топологии. Топология изучает понятия непрерывности и близости с абстрактной точки зрения. Определение. Окрестностью точки р называется произвольное множество U, содержащее открытый шар (не включая границу) с центром в точке р. Окрестностью на плоскости, очевидно, является открытый круг с центром в точке р. Из определения окрестности вытекают следующие очевидные свойства: 1) Точка р принадлежит любой своей окрестности. 2) Если U – окрестность точки р, а V U, то V – тоже окрестность точки р. 3) Если U и V – окрестности точки р, то их пересечение U V тоже будет окрестностью точки р. 4) Если U – окрестность точки р, то можно найти такую окрестность V точки р, что W = V U является окрестностью является окрестностью каждой из своих точек. Определение. Топологическим пространством незывается множество Е, каждая точка которого р имеет набор подмножеств множества Е, называемых окрестностями точки р и удовлетворяющих приведенным выше свойствам. Частным случаем топологического пространства является метрическое пространство. Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Пусть р – точка множества F. Назовем подмножество U множества F окрестностью точки р в F, если U=FV, где V – окрестность точки р в E. При этом множество F называется подпространством пространства Е. Метрическое пространство. Определение. Метрикой на множестве Е называется функция f(x, y), определенная на декартовом произведении ЕЕ, значениями которой являются неотрицательные действительные числа, удовлетворяющая при любых значениях х, у, z из множества Е следующим условиям: 1) f(x, y) = f(y, x) 2) f(x, y) + f(y, x) f(x, y) 3) f(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда х = у. Определение. Метрическим пространством называется множество Е с заданной на нем метрикой f. Определение. Число (x, y), где х Е и у Е – заданные точки, называется расстоянием между этими точками. Определение. Пусть r – положительное число. Множество {y: (x, y) < r} называется открытым шаром радиуса r с центром в точке х; множество {y: (x, y) r} – замкнутым шаром радиуса r с центром в точке х.
Например, для трехмерного евклидова пространства R3 метрика определяется как Открытые и замкнутые множества. Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а U – его подмножество. Множество U называется открытым, если оно является окрестностью для любой точки U. Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Множество F называется замкнутым, если множество E \ F – открыто. Отметим следующие свойства: 1) Объединение любой совокупности открытых множеств открыто. 2) Пересечение конечного числа открытых множеств открыто. 3) Пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто. 4) Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
f: E F. Непрерывность отображения состоит в том, что точки, близкие друг к другу в множестве Е, отодражаются в точки, близкие друг к другу в множестве F.
Особое значение имеют те непрерывности отображения, для которых существует непрерывное обратное отображение. Определение. Если f – взаимно одноначное отображение пространства Е в F, то существует обратное отображение g пространства F в E. Если и f и g непрерывны, то отбражение f называется гомеоморфизмом, а пространства Е и F – гомеоморфные. жүктеу/скачать 1,48 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
, где х(х1, х2, x3) R3 и y(y1, y2, y3) R3.
CA называется границей множества А.