Казахстанского инженерно-педагогического университета дружбы народов серия «гуманитарно-педагогическая»

№1,3(9,11),2016 ж.

«Гуманитарлы-педагогикалық» сериясы

Техникалық редактор: Байғараева П.

Журнал Қазақстан Республикасының Мәдениет және ақпарат министрлігінде 11.02.2014 жылы тіркеліп, №14153-ж куәлік берілген

Журнал ҚИПХДУ қоры есебінен қаржыланады

Қолжазбалар сарапталынады

Біздің мекен-жайымыз:

Шымкент қаласы, Төле би көшесі, №32 үй

Байланыс сымтетігі: 8 (7252) 95 25 21

Издается с февраля 2014 года

Собственник: КИПУДН

Регистрационное свидетельство журнала №14153-ж от 11.02.2014 года выдано Министерством культуры и информации Республики Казахстан

Наш адрес:

г.Шымкент, улица Толе-би, дом №32

Контактный телефон: 8 (7252) 95 25 21

Қазақстан инженерлі педагогикалық Халықтар достығы университеті

Қазіргі кездегі ғылыми-техникалық зерттеулерде жетілтірілгенген сенімділік әдістері көптеп меңгерілген. Олардың ішінде ең негізгі роль атқаратын структуралық және функционал әдістер болып саналады. Күрделілік әдістерінің негізі системаның күрделілігімен бірге сенімділіктің барлық талаптарымен бірге артып және өсіп отырады. Бұл кең таралған монотонды технологиялық жүйенің кезектелген – параллельді көп таралуына шартталған. Қазіргі кездегі жүйені кедергісіз істету тәжірибесі әр түрлі белгіленген структураны береді. Олар көптеген ондаған және жүздеген элементтерден тұрады және күрделі түрде бір – біріне әсер етеді. Тізбектелген – параллельді структурадан айырмашылығы, оларды күрделі деп атайды, ал сәйкес жүйені құрылымдық күрделі деп атайды. Бұл жүйенің кең таралуына тиімді тұрақты және көптеген күшейтілген тенденциялар (көптеген үлкен жүйенің желі жүйесі көптеген қарама – қарсы жүйеге бірігеді және үлкен жүйе желілік құрылымда болады. Бұған байланысты хабарлау желісі, ЭЕМ желісі, энергетикалық үлкен жүйелер қызмет етеді. Бұл жүйелердің үлкен мәндері және оларды кейбір жаңа локальды сапаның салыстыруынан пайда болуы, олардың сенімділігін және сенімділігін меңгеруін мұхият талдауын талап етеді. Бірақ қазіргі теорияның сенімділігінің кездейсоқтық тәжірибе сұрақтарымен қалып қойған және құрылымды күрделі жүйенің сенімділігін талдау әдістердің эффектілігін көрсете алмайды. Сондықтан да біздің елімізде және шет елдерде жаңа әдістердің алгоритмдер тиімділігі қарастырылуда. Ең тиімді бағыттардың бірі – логикалық түжырым – болжау әдісі. Математикалық тұрғыдан қарағанда логикалық алгебраның функциясы(ЛАФ) қолданылады. Жүйенің жұмысқа қабілеттілік шарттары үшін және ЛАФ – тан түжырымдау- болжау функциясына қатаң өту әдістері жасалады. Бұл осы жүйенің қарсылықсыздығын білдіреді. Күрделі есептер және структуралар үшін сипатталған еркін түрдегі логика алгебрасы функциясының оның шын алгебра функциясына өтуі жай емес. Оқиғалардың ықтималдықтар теориясымен математикалық логиканың өзара тығыз байланысы көп жылдардан бері белгілі. Анау 1917 жылдар С.Н.Бернштейн айтылымдар логикасының аксиомаларын ықтималдықтар теориясының аксиомалары үшін қолданған. Ал қазіргі кезде математикалық логика және ықтималдықтар теориясы жаңа негіздермен бірлесуде. Ықтималдықтар теориясы құрылымы математикалық логика амалдарымен сипатталатын жүйелер сенімділігін сандық тұрғыдан бағалайды. Күрделі құрылымдардың сенімділігін зерттеудегі логикалық – ықтималдық әдістерін қолдауға кездесетін негізгі қиындық кез келген ЛАФ ларды толық орнын басуға өту формасына ауыстыру болып есептеледі. Осы аустыруларды бағытты және бір қалыпты ету үшін арнайы теоремалар және әдістер қарастырылған. Математикалық логикада теорема деп осы теорияның қағидалары негізінде шығарылған немесе дәлелдеу мүмкін болған формулалардың аксиоматикалық теориялардың ұсыныстарына айтылады.

1-анықтама. К = i=1&n Хі = x1α1 & x2 α2 &… & x­rαr

формуласы элементар конъюнкция (логикалық көбейту) деп айтылады, бұл жерде r ≥ 1 болған К элементар конъюнкцияның рангі және

xi, егер αi = 1 болса,xiαi =

xI, егер αj = 0 болса.

2-анықтама. і=1vs Ki = К1 v K2 v …v Ks (i=1,2, …, s )

көрінісіндегі өрнек дизъюнктивті қалыпты форма (ДҚФ) деп айтылады, мунда Кі – түрлі рангілі элементар конъюнкциялар.

3-анықтама. f(x1,x2,…,xn) = V x1σ1&…& xnσn . (σ1,…,σm) f (σ1,…,σm)=1

жіктелу буль функциясының кемел дизъюнктивті қалыпты формасы(к.д.қ.ф..) деп айтылады.

Ал төмендегі формуланы осыған сәйкес

f(x1,x2,…,xn) = & (x1¬σ1 v…v xn¬σn ). (σ1,…,σm) f * (σ1,…,σm)=0

кемел конъюнктивті қалыпты форма (к.к.қ.ф..) деп айтылады.

4-анықтама.

і=1vs xiσi = x1σ1 v x2σ2 v …v xsσs (i=1,2, …, s )

формула элементар дизъюнкция (логикалық қосынды) деп айтылады, бұл жерде s ≥ 1.

5-анықтама. Екі элементар конъюнкциялар ортогоналды деп айтылады , егер олардың көбейтіндісі нөлге тең болса.

6-анықтама. Дизъюнктивті қалыпты форма ортогонал дизъюнктивті қалыпты форма (ОДҚФ) деп айтылады, егер оның барлық мүшелері жұбымен ортогонал болса.

Осы анықтамаға сәйкес кемел ДҚФ да ОДҚФ болатындығын көру қийын емес, себебі оның барлық мүшелері жұбымен ортогонал. Бірақта , құрамында максимал сандағы айнымалылар қатысқандықтан барлық ОДҚФ лар ішінен КДҚФ тиімсіз болады.

7-анықтама. ДҚФ қайталанбайтын дизъюнктивті қалыпты форма (ҚДҚФ) деп айтылады, егер онда қатысатын барлық әріптер түрлі нөмірлерге ие болса. Мунда хі және х'і әріптер бір түрлі нөмірге ие, сондықтан олар бір уақытта ҚДҚФ ға кірмейді.

8-анықтама. Логикалық алгебра функцияларының қайталанбайтын формасы деп , барлық әріптері әр түрлі нөмірлерге ие болған өрнекті айтамыз. Дербес ретінде ҚДҚФ логикалық алгебра функцияларының қайталанбайтын формасы болады.

9-анықтама. Ықтималдық функциясы (ЫФ) деп ЛАФ ның ақиқаттық ықтималдығын айтамыз:

P{f(x1,…,xn) = 1}

10-анықтама. Логикалық айнымалыларды ықтималдықпен, ал логикалық амалдарды сәйкес арифметикалық амалдармен ауыстыру арқылы тікелей ЫФ на өтуге мүмкіндік беретін ЛАФ ын орнын басуға өту формасы (ОБӨФ) деп айтамыз.

11-анықтама. Ықтималдықтар функциясының аралас формасы (ЫФАФ) деп ЛАФ да логикалық амалдарды ықтималдық амалдармен жарым-жартылай орнын басу нәтижесінде алынған және бір уақыттың өзінде екі тип айнымалы (логикалық және ықтималдық), сонымен екі амалдар жүйесі (логикалық және арифметикалық) қатысатын формасын айтамыз.

12-анықтама. Логикалық айнымалылардың бір бөлігін сәйкес ықтималдық айнымалылармен және логикалық амалдарды арифметикалық амалдармен және ауыстырылмаған логикалық айнымалыларды ықтималдықтар дәреже көрсеткіштеріне өткізу жолымен ЫФАФ на ауыстыруға мүмкіндік беретін ЛАФ дағы форма жарым жартылай орын басу формасы (ЖЖОБФ) деп айтылады.

Егер ЛАФ ОБӨФ ретінде жазылған болса , онда ЫФ на өту кезектегідей қағидалар бойынша орындалады:

ОБӨФ дағы әр бір айнымалының бірге тең өрнегі ықтималдықпен ауыстырылады: P{xі=1}=Ri, P{x′i=1}=P{xi=0}=1-Ri=Qi

1. 
   Функцияның терістемесі бір санымен осы функцияның бірге тең болған қтималдығының айырымымен ауыстырылады, мысалы
   

Логикалық көбейту және қосу амалдары арифметикалық көбейту және қосу амалдарына ауыстырылады.Осы кезге дейін толық орнын басуға өтүдің бір неше формалары белгілі. Олар КДҚФ да жазылған, ОДҚФ да жазылған логикалық алгебраның функциялары және конъюнкция -терістеу базисіндегі ЛАФ тің қайталанбайтын формалары ОБӨФ болады. Айтылған тұжырымның ақиқаттығы бульдік алгебрадан оқиғалар алгебрасына өту жолымен және ықтималдықтар теориясының қосу және көбейту теоремалары арқылы дәлелденеді.

Кез келген ЛАФ тың қайталанбайтын формасы үшін ықтималдық функциясын оның формуласы бойынша конъюнкция – терістеу базисінде Де Морган қағидасыны бір неше рет қолдау арқылы табу мүмкін. Мысалы f(x1,…,x8)=x1(x2Vx3Vx`4)Vx5(x6Vx7x`8) берілген болсын. Мұнда P{f(x1,…,x8) = 1 } ықтималдық функциясын табу талап етіледі. Бұл жерде фукнция қайталанбайтын болғандықтан ол кезектегідей түрленеді

f(x1,…,x8)={{x1[x`2x`3x4]`}`{x5[x`6(x7x`8)]`}`}` P{f(x1,…,x8)=1}=1-{1-R1[1-Q2Q3R4]}{1-R5[1-Q6(1-R7Q8)]} 13 – анықтама. Хі аргумент бойынша f(x1,x2­,…,xn) функцияның бульдік қалдығы (немесе логикалық қалдық) деп берілген функцияның модуль 2 бойынша логикалық қосу және х­і аргументті оның терістеуіне ауыстыру жолымен алынған нәтиже функцияға айтамыз:

Δxjf(x1,…,xn) = f(x1,…,xі,…,xn) + f(x1,…,x`і,…,xn)

14 – анықтама. fx`j(x1,…,xn) = f(x1,…,x`і,…,xn)

функцияны берілген f(x1,..,xn) ке қатынасына байланысты хі бойынша алынған симметриялық функция деп айтамыз.

15 – анықтама. Бастапқы ЛАФ да хі аргументті 1 және 0 ге ауыстыру арқылы алынған функцияны хі аргумент бойынша бірлік және нольдік функция деп айтамыз және сәйкес ретінде кезектегідей белгілейміз:

f1(i)(x1,…,xn) = f(x1,…,1,…,xn), f0(i)(x1,…,xn) = f(x1,…,0,…,xn).

18 – анықтама. f ( x1 , x2, …,xn ) функция монотонды деп айтылады, егер αi ≤ βi , i=1,2,…,n шарт орындалатын кез келген ( α1 , α2, …,αn ) және ( β1 , β2, …,βn ) наборлар үшін кезектегі қатынас орынды болса: f(α1 , α2, …,αn ) ≤ f ( β1 , β2, …,βn ).

ЛАФ-сын аналитикалық көріністе тағыда логикалық матрица арқылыда бейнелеу мүмкін. Логикалық теңдеулерді логикалық матрица көрінісінде бейнелеу үшін элементар конъюнкциялар жолдарға жайғастырылады, ал дизъюнкция – олардың бағандар бойынша жайғасуына сәйкес келеді.

Логикалық матрицаларға логикалық алгебраның барлық белгілі ауыстыруларды қолдау мүмкін. Сондықтан, конъюнкциялардың коммутативтік заңы жолдардағы логикалық айнымалылардың орнын ауыстыру мүмкіндігін, ал дизъюнкцияның коммутативтік заңы логикалық матрица жолдарыны ауыстыру мүмкіндігін береді.

Айталық ЛАФ кезектегідей берілген болсын:

f(x1,…,x8) = {{x1Λx3Λ[x5V(x4Λx6Λx8)]}V{x2Λx4Λ[x6V(x3Λx­5Λx8)]}Λx7.

жоғарыдағы теңдеуді матрицалық формада кезектегідей бейнелеу мүмкін:

f(x1,…,x8) = x1x3 x5 x7 = x1x3x5x7

x4x6x8 x1x3x4x6x7x8

x2x4 x6 x2x4x6x7

x3x5x8 x2x3x4x5x7x8

бұл теңдеудің екінші матрицасы ДҚФ да жазылған.

Қалыпты формаға өткізу кезінде логикалық матрицалар қысқарады. Мысалы, конъюнкцияның ассоциативтік заңыны қолдап:

f(x1,x2,x3) = x1Λ(x2Vx3) = (x1Λx2) V(x1Λx3) =

= x1 x2 = x1x2

x3 x1x3

теңдеуді, ал терістеу заңын қолдап:

[(x1Λx2)V(x3Λx4)]` = (x`1Vx`2) Λ(x`3Vx`4) =

= x1x2 ` = x`1 x`3

x3x4 x`2 x`4

теңдеуді табамыз.

Соңғы теңдеуден логикалық матрицалардың терістемесі жолдардағы логикалық айнымалылардың конъюнктивті байланыстары бағандарда жайғасқан осы айнымалылар терістемелерінің дизъюнктивті байланыстарымен, ал жолдар арасындағы дизъюнктивтік байланыстар осы жолдармен құрастырылған бағандар арасындағы конъюнктивті байланыстармен ауыстырылуынан орындалады екен.

Күрделі құрылымдардың сенімділігін зерттеудегі логикалық – ықтималдық әдістерін қолдауға кездесетін негізгі қиындық кез келген ЛАФ ларды толық орнын басуға өту формасына ауыстыру болып есептеледі. Осы аустыруларды бағытты және бір қалыпты ету үшін арнайы теоремалар және әдістер қарастырылған. Математикалық логикада теорема деп осы теорияның қағидалары негізінде шығарылған немесе дәлелдеу мүмкін болған формулалардың аксиоматикалық теориялардың ұсыныстарына айтылады.

Кезектегі теореманы құрастырамыз.

1 – теорема. n(n>1) аргументке байланысты болған кез келген ЛАФ ын кезектегі көріністе жазу мүмкін:

f(x1,…,xi, xi+1,…,xn) = Vx1a1x2a2…xiaif(a1,a2,…,ai, xi+1,…,xn)

Бұл теорема функцияны жіктеу теоремасы деп айтылады, себебі ол кез келген ЛАФ кез келген аргумент бойынша жіктеуге мүмкіндік береді. Сондықтан , хі - бір аргумент бойынша ЛАФ жіктелгенде

f(x1,…,xn) = xif1(i) (x1,…,xn) V x`if0(i)(x1,…,xn)

теңдеуді аламыз, ал n аргумент бойынша жіктелгенде бастапқы ЛАФ ның КДҚФ ын аламыз:

f(x1,…,xn) = V1 x1a1x2a2…xnan

мұнда V1 белгі дизъюнкцияның текқана f(a1,a2,…,an) = 1 теңдік орындалғанда ғана сәйкес келетін <α1,α2,…,αn> жиналымдар алынатындығын білдіреді.

Бұл теңдеу Шеннон жіктеуінің формуласы деген атпен білгілі. Ол логикалық алгебраның модуль 2 бойынша қосу амалы үшін да ақиқат. Формуланың оң жақ бөлігін ауыстыра отырып кезектегіні аламыз:

f(x1,…,xn) = xif1(i)(x1,…,xn) V x`if0(i) (x1,…,xn) = xіf1(i) (x1,…,xn) + x`if0(i) (x1,…,xn) +

+ (xix`if1(i) (x1,…,xn) f0(i) (x1,…,xn) = xif1(i)­ (x1,…,xn) + x`if0(i) (x1,…,xn)

1 – салдар.

Δxif(x1,…,xn) = f1(i)(x1,…,xn) + f0(i)(x1,…,xn).

Бұл өрнектердің эквиваленттігін дәлелдеу үшін жіктеу формуласын және логикалық амалдардың қағидаларын қолданамыз.Мұнда теңдіктердің сәйкестігінен мынаған иеболамыз:

Δxi f(x1,…,xn) = f(x1,…,xn) + fx`j (x1,…,xn) = [xif1(i)(x1,…,xn)+ x`if0(i)(x1,…,xn] +

+ [x`if1(i) (x1,…,xn) + xif0(i) (x1,…,xn)] = (xi+x`i) f1(i) (x1,…,xn) + (x`i+xi)f0(i) (x1,…,xn) =

= f1(i) (x1,…,xn) + f0(i)(x1,…,xn)

2 – салдар.

Δxi f(x1,…,xn) = f1(i)(x1,…,xn) f0`(i)(x1,…,xn)Vf1`(i)(x1,…,xn) f0(i)(x1,…,xn)

Бұл қасиет (1.45) қағида есебінен және (1.60) теңдіктен келіп шығады.


f0

f1f0

1. 
   сызба.
   

= f1(i)(x1,…,xn) f0`(i)(x1,…,xn) V f1`(i)(x1,…,xn) f0(i)(x1,…,xn).

1 – теореманың салдары ретінде кезектегі екі өте қажетті формула келіп шығады:

(fx)`x = f`x, (fx`)`x = x.

2 – теорема. Барлық монотон ЛАФ лары үшін нольдік (f0) функция хі аргументі бойынша бірге тең мән қабылдайтын наборлар жиыны бірлік (f1) функция сол хі аргумент бойынша бірге тең болған жиналымдар жиынның ішкі жиыны болады, яғни {(x1,…,xn):f0(i)(x1,…,xn) = 1}  {(x1,…,xn):f1(i)(x1,…,xn)=1}

2-теоремадан бес салдар келіп шығады:

{(x1,…,xn): f0(i)(x1,…,xn) = 1}{(x1,..,xn):f(x1,…,xn) = 1}  {(x1­,…,xn):f1(i)(x1,…,xn) = 1} f1(i)(x1,…,xn) V f0(i)(x1,…,xn) ≡ f1(i)(x1,…,xn);

f1(i)(x1,…,xn) Λ f0(i)(x1,…,xn) ≡ f0(i)(x1,…,xn);

f1(i)(x1,…,xn) Λ f0`(i)(x1,…,xn) ≡ Δxif(x1,…,xn);

f1`(i)(x1,…,xn) Λ f0(i)(x1,…,xn) ≡ 0 .

2 – теорема және жоғарыдағы салдардың графикалық бейнесі 2а – сызбада келтірілген, мұнда бульдік қалдық сызылған область арқылы көрсетілген, және мысалдағы бастапқы ЛАФ жиналымдары n(n=3) өлшемді кубтың төбелері арқылы 2б-сызбада көрсетілген. Мысал үшін, айталық ЛАФ ның f(x1,x2,x3) = x1vx2x3={3,4,5,6,7}

ДҚФ. 2б сызбадағыдай берілген болсын. Онда

f1(1)(x1,x2,x3) = 1 V x2x3 = 1 = {0,1,2,3,4,5,6,7}

f0(1)(x1,x2,x3) = 0 V x2x3 = x2x3 = {3,7},f0(1)(x1,x2,x3)  f1(1)­(x1,x2,x3),

f1(2)(x1,x2,x­3) = x1 V 1x3 = x1 V x3 = {1,3,4,5,6,7},

f0(2)(x1,x2,x3)  f1(2) (x1,x2,x3),

f1(3)(x1,x2,x3) = x1 V x21 = x1 V x2 = {2,3,4,5,6,7},

f0(3)(x1,x2,x3) = x1 V x20 = x1 = {4,5,6,7}

f0(3)(x1,x2,x3)  f1(3)­(x1,x2,x3)

Х3

5 7

а) x1 б)

2- сызба

3 – теорема. f(x1,x2,…,xn) монотон ЛАФ ақиқаттығының ықтиамалдығынан хі аргумент ақиқаттығының ықтималдығы бойынша алынған дербес туынды осы функцияның хі аргументі бойынша алынған бульдік қалдық ақиқаттығының ықтималдығына тең:

∂P{f(x1,…,xn) = 1}/∂P{xi=1} = P{Δxif(x1,…,xn)=1} ,

бүл жерде ∂ белгі дербес түынды ретінде жазылған.4 – теорема. ОДҚФ ретіндегі кез келген ЛАФ ақиқаттығының ықтималдығы осы ЛАФ дағы барлық ортогонал мүшелер ақиқаттығының ықтималдықтары қосындысына тең:

P{f(x1,…,xn) = і=1Vs Oi = 1} = i=1Σs P{Oi = 1}

Бұл теорема Qi тек қана элементар конъюнкция емес, ал жұбымен ортогонал болған кез келген ЛАФ үшінда орындалады.

5–теорема. Конъюнкция -терістеу базисіндегі ортогонал қайталанбайтын формадағы дизъюнкция толық орын басуға өту формасы болады.

Мысалы айталық f(x1,x2,…,x5) функция берілген болсын:

f=(x­1(x3Vx4x5)Vx2(x4Vx3x5).

Оның үшін жоғарыдағы формуланы формуланы қолдап оны ортогонал көрініске келтіреміз:

f = x1(x3Vx4x5)V(x1(x3Vx4x5))`x2(x4Vx`4x3x5) = x1(x3Vx4x5) V x2(x4(x1(x3Vx5))`Vx`4x`1x3x5).

Бірінші және екінші қосындылардан конъюнкция-терістеу базисіне өтеміз:

f = x1(x`3(x4x5)`)`Vx2x4(x1(x`3x`5)`)`Vx`1x2x3x`4x5.

Бұл ортогонал қайталанбайтын формалар дизъюнкциясы болады. Мұнда орнын басу амалы кезектегіні береді:

P(f=1)=R1(1-Q3(1-R4R5))+R2R4(1-R1(1-Q3Q4))+Q1R2R3Q4R5.

6 – теорема. Айталық кезектегідей ЛАФ берілген болсын :

f(X) = [i=1Vn(jMiΛxj)aifi(Xi)] (jM0Λxj)a0f0(X0),

мұнда Х және Хі сәйкес ретінде f және fi функциялардың векторлық аргументтері;

αі - не нөл, не бірге тең болатын тұрақты коэффициенттер ;xα = x, егер α = 1 және xα = x1 егер α = 0 болса; хj – қайталанбайтын логикалық айнымалылар; j  M = i=0nMi ; fi – кез келген көріністегі ЛАФ; хj = αj (αj = 0 немесе αj = 1) оқиғалар бір біріне тәуелсіз және P(xj = 1) = Rj. Онда f(X) жарым -жартылай орнын басуға өту формасы болады және оған ықтималдықтар фукнциясының аралық формасы (ЫФАФ) сәйкес келеді:

Pf = P(f(X) = 1) = P(f0,f1,…,fn) = (1-a0f0(1- i=1Пnαifi), мұнда

ai = (1-αi) ПjЄMiRj+αi(1-ПjЄM Rj) . Бұл формула да дәрежеге көтеру амалы кәдімгідей анықталған:

aifi = ai, егер fi = 1 болса; aifi = 1, егер fi = 0 болса.

Айталық f(X) = x4(x41f1 V x42f2 V x43f3) берілген болсын, мұнда х4, х41,х42,х43 – қайталанбайтын айнымалылар. P(f=1) ді табу қажет.

Оның үшін формула бойынша қайталанбайтын логикалық айнымалыларды сәйкес Ri = P(xi = 1) ықтималдықтармен ал логикалық амалдарды арифметікалық амалдармен ауыстырамыз. fі функцияларды Q4iαi көрсеткіш дәрежесіне өткіземіз. Бұл жерде αі = 1 болғандықтан αi = Q4i = 1 – R4i болады. Сондықтан P(f=1) = R4(1-Q41f1Q42f2Q43f3) болады.

7 – теорема. (жіктеудің бірінші теоремасы).

Айталық P(x1,x2­,...,xn) функция x1,x2,…,xn логикалық айнымалыларға байланысты кез келген ықтималдықтар функциясының аралас формасы (ЫФАФ) ретінде берілген және Ai : (xi = αi) оқиғалар біргелікте тәуелсіз болсын. Онда

P(xs+1­,xs+2­,…,xn) = Σ(α1,α2,…,αs) P(xi = αj, i = 1,2, …,s)xP(α1,α2,…,αs, xs+1,…,xn) болады.

8 – теорема. Айталық екі логикалық функция берілген болсын:

G1(x1,x2,…,xn,X1,X2,…,Xn) = i=1Vnxifi(Xi), G2(x1,x2,…,xn,Y1,Y2,…,Yn) = i=1Vnxigi(Yi), мұнда хі – қайталанбайтын логикалық айнымалылар;

Хі және Уі – кез келген көріністегі fi және gi логикалық функцияның векторлық аргументтері.

Енді үшінші функцияны құрастырамыз: f(x1,x2,…,xn,X1,…,Xn,Y1,…,Yn) = G`1G2. Онда, егер fi және gi ортогонал болса, яғни figi = 0 (i=1,2,…,n) болса, онда (1.79) формула жарым-жартылай орын басуға өту формасы болады және ол ЫФАФ на сәйкес келеді:

Pf = P(f=1) = i=1ПnQifi(1- i=1ПnQigi)

Егер fi және gi ортогонал болмаса, онда функция үшін ЖЖОБФ кезектегі формула болады:

f = ( i=1Vnxifi)`( i=1Vnxif`igi) және оған ЫФАФ сәйкес келеді: Pf = P(f=1) = i=1ПnQifi (1- i=1ПnQifi`gi). Мысал үшін кезектегі функция берілген: f(X) = (x1x4Vx2x3x`4)`(x1x3Vx2x4), мұнда P(f=1) ықтималдықты табу талап етіледі. Бұл жерде f1 = x4, f2 = x3x4' , gi = x3 , g2 = x4 және f2,g­2 функциялар ортагонал. Сондықтан, мұнда тек қана f1 және g1 лерді ортогоналдау қажет болады. Жоғарыдағы формуланы қолдап P(f=1) = Q1x4Q2x2x`4(1–Q1x3x`4Q2x4) теңдікті аламыз. Бұл жерде бастап х4, ал кейін х3 үшін орнын басу амалын орындаймыз. Сонда кезектегі соңғы формуланы аламыз: P(f=1)=R4Q1R2+Q4R3Q2R1.

9 – теорема. ЛАФ тың кезектегі дизъюнкция және конъюнкциялары: f(X) = V(s)fS(X), f(X) = Λ(s) fs(X), мұнда fs(X) – логикалық көріністегі ЛАФ; Хj – барлық jMMsi лер үшін қайталанбайтын айнымалылар, ЖЖОБФ болады және оған ЫФАФ сәйкес келеді:

Qf = P(V(s)fs = 0) = П(s) (1-P(fs = 1)), Pf = P(Λ(s)fs = 1) = П(s) P(fs = 1).

Мұнда P(fs = 1) ықтималдық жоғарыдағы формула бойынша анықталады. Егер бұл функциялар ортоганал болса, онда орнын басу айнымалылардың қайталанбастығы тек қана бір fs(X) фукнцияның төңірегінде болуы жеткілікті, яғни jMs=U(i)Msi үшін. Бұл жағдайда әр түрлі қосындылардың орнын басу амалы бір біріне байланыссыз орындалады.

10 – теорема. f(X) = j=1Λk-1f`j(X)fk(X) логикалық функция, мұнда fj(X) = i=1Vnxi fij

(fij – кез келген көріністегі ЛАФ), ЖЖОБФ болады және оған кезектегі ЫФАФ сәйкес келеді:

P(f=1) = i=1Пnj=1Пk-1Qifijg`i,j-1(1- i=1ПnQig`i,k-1fik), gis = j=1Vsfij.

Бұл теорема к> 2 жағдайдағы 8 – теореманың жалпылама формасы .

Мысалы, айталық кезектегі фукнция берілген болсын:

f = (x1f11)`(x2f21)`(x1f12Vx2f22V(x1f13)`(x1­f23­)`(x1f14Vx1f24)).

Мұнда, х1 және х2 айнымалыларға орын басу амалын қолдап араласқан форманы табу қажет.

Егер ішкі жақшаларды ашсақ, онда жоғарыдағы көрінісіндегі екі қосындыны аламыз. Ол қағида көмегімен олардың ортогоналдау жұмыстарын орындап кезектегідей жазамыз:f=(x1f11)`(x2f21)`(x1f12Vx2f22)V(x1f11Vx2f21­)`(x1­f12Vx2f22)`(x1f13Vx2f23)`(x1f14Vx2f14)= =(x1f11)`(x2f21)`(x1f12Vx2f22)V(x1(f11Vf12Vf13))`(x2f21Vf23))`(x1f14Vx2f24).

Енді, осы жерде 8 және 10-теоремаларды қолдап әр бір қосындыда х1 және х2 лерге орнын басу амалын жеке-жеке қолдау мүмкін:

P(f=1) = Q1f11Q2f12(1-Q1f`′11f12Q­2f`21f22(1-Q1f`11f`12f13Q2f`21f`22f23(1-Q1f`11f`12f′13 Q2f`21f`22 f`23 f24))).

11-теорема(жіктеудің екінші теоремасы).Айталық Ф(z,x1,x2,…,xn) = i=0ΣrPi(x1,x2,…,xn)ziх1,х2,...,хn айнымалыларға байланысты және аралас формада коэффициенттермен жазылған кейбір дискреттік үлестірімнің Жегалкин полиномы болсын. Онда

Ф(z,xs+1,xs+2,…,xn) = Σ(α1,α2,…,αs) P(xi = αi, i = 1,2,…,s)Pi(α1,α2,…,αs,xs+1,…,xn) Айталық дискреттік үлестірім аралас формадағы ықтималдықтар көрінісінде берілген болсын: P0(x1,x2) = Q2(x2vx2), P1(x1,x2) = Qx1Rx2, P2(x1,x2) = 1-Qx1x2 , мұнда, осы үлестірімді құрастыратын шартсыз ықтималдықтарын табу талап етіледі.

Оның үшін кезектегідей полином құрастырамыз: Ф(z,x1,x2) = Q2(x1vx2)+zQx1Rx2+z2(1-Qx1x2).

Бастап х1 бойынша бөлу орындаймыз: Ф(z,x2) = R1[Q2+zQRx2 + z2(1-Qx2)]+Q1(Q2 X2+zRx2)

Полиномдардың әр бір қосындыларында х2 бойынша бөліктеулер жүргіземіз:

Ф(z) = R1R2(Q2+zQR+z2R)+R1Q2(Q2+zQ)+Q1R2(Q2+zR) + Q1Q2(1+z), мұнда zi болғандағы коэффициенттерді топтап ізделген полиномды аламыз.

12 – теорема (жіктеудің үшінші теоремасы). Айталық

φ(z,x1,…,xn) = i=0Σmpi(x1,…,xn)zi, φ(z,a1,…,as,xs+1,…,xn) = i=0Σmp­i(α1,α2,…,αs ,xs+1,…,xn)zi,

Ф (z,x1,x2,…,xn) = φr(z,x1,x2,…,xn) = i=0Σmrpi(x1,x2,…,xn) zi. болсын. Онда

Ф(z, α1,α2,…,αs , xs+1,…,xn) = [φ(z, α1,α2,…,αs , xs+1,…,xn)]r болады.

Мысалы, айталық φ(z1x1,x2) полином формула арқылы анықталған болсын. Ал

Ф(z,x1,x2) = φ2(z,x1,x2) деп есептелік. Сонда Ф(z,1,1) ді табу талап етіледі, мұнда формуладағы дәрежеге көтеру кезектегі формуланы береді:

Ф(z,x1,x2) = (1-Qx1x2)2z4+2Qx1Rx2(1-Qx1x2)z3 +(Q2 X1R2 X2+2Q2(x1vx2) (1-x1x2))z2+2Q2(x1vx2)Qx1Rx3z+Q4(x1vx2).

Тікелей кезектегіге ие боламыз: Ф(z,1,1) = R2z4+2QR2z3+(2+R)Q2Rz2+2Q3Rz+Q4. Екінші жағынан 12 – теорема бойынша Ф(z,1,1) = (Q2+RQz+Rz2)2 формулаға ие боламыз. Мұнда жоғарыдағы формулалар теңдес екендігін көру қиын емес.

13 – теорема(жіктеудің төртінші теоремасы). Айталық

Ф(z,x1,x2,…,xn) = Σ(j)Фj(z,x1,x2,…,xn), Фj(z,xs+1,…,xn) =