Кездейсоқ шама деп атаймыз. 1-мысал

Кездейсоқ шаманың оның математикалық күтімінен ауытқуы

жүктеу/скачать 43,62 Kb.

бет	4/4
Дата	28.04.2022
өлшемі	43,62 Kb.
	#141211

1 2 3 4

Байланысты:
Кездейсоқ шамалар cc02be77967a3a6a4776b25665181d16

Кездейсоқ шаманың оның математикалық күтімінен ауытқуы
Х-кездейсоқ шама және М(Х)- оның математикалық күтімі болсын. Жаңа кездейсоқ шама ретінде Х-М(Х) айырымын қарастырамыз.
Анықтама: Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтімінің айырымы ауытқу деп аталады.
Ауытқу мынадай таралу заңымен беріледі:

Х-М(Х)	Х₁-М(Х)	Х₂-М(Х)	...	Х_n-М(Х)
Р	Р₁	Р₂	...	Р_n

Теорема: Ауытқудың математикалық күтімі 0-ге тең:
.
6-мысал: Х дискретті кездейсоқ шамасы мынадай таралу заңымен берілген:

Х	1	2
Р	0,2	0,8

Ауытқудың математикалық күтімі 0-ге тең екендігін дәлелдеу керек.
Шешуі: Х кездейсоқ шамасының математикалық күтімін табамыз:
.
Ауытқудың мүмкiн мәндерiн табу үшiн Х-тің мүмкін мәндерінен математикалық күтімді аламыз: М(х): 1-1,8=-0,8; 2-1,8=0,2.
Ауытқудың таралу заңдылығын жазамыз:

Х-М(х)	-0,8	0,2
Р	0,2	0,8

Ауытқудың математикалық күтімін табамыз:

Практикада кездейсоқ шаманың оның орта мәні маңайындағы мүмкін болатын мәндерінің таралуын бағалау керек болады.
Анықтама: Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы (шашылуы) деп кездейсоқ шаманың математикалық күтімінен ауытқуының квадратының математикалық күтімін айтамыз
(2)
Мысал 7. Мынадай таралу заңымен берілген Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын табу керек:

Х	1	2	5
Р	0,3	0,5	0,2

Шешуі: Алдымен математикалық күтімін табамыз:
.
Ауытқудың квадратының барлық мүмкін мәндерін табамыз:

Ауытқудың квадратының таралу заңын жазамыз:

[Х-М(х)]²	1,69	0,09	7,29
Р	0,3	0,5	0,2

Анықтама бойынша: .
Теорема: Дисперсия Х кездейсоқ шамасының квадратының математикалық күтімі мен математикалық күтімнің квадратының айырымына тең:
(3)
8-мысал: Таралу заңымен берілген, Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын табу керек:

Х	2	3	5
Р	0,1	0,6	0,3

Шешуі: Математикалық күтімді М(х) табамыз.

Х² кездейсоқ шамасының таралу заңдылығын жазамыз:

Х²	4	9	25
Р	0,1	0,6	0,3

М(Х²) –тың математикалық күтімін табамыз:

Онда, іздеп отырған дисперсиямыз: .

Дисперсияның қасиеттері
1. С тұрақты шамасының дисперсиясы 0-ге тең: D(С)=0.
2. Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады
3. Егер кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, онда қосындының (айырманың) дисперсиясы дисперсиялардың қосындысына тең:

Орта квадраттық ауытқу
Кездейсоқ шаманың орта мәнінің маңайындағы мүмкін болатын мәндердің шашылуын бағалау үшін сипаттамалар да қарастырылады. Оған орта квадраттық ауытқу жатады.
Анықтама: Х кездейсоқ шамасының орта квадраттық ауытқуы деп дисперсияның квадрат түбірін айтамыз:
.
Мысал 9. Х кездейсоқ шамасы мынадай таралу заңымен берілген:

Х	2	3	10
Р	0,1	0,4	0,5

орта квадраттық ауытқуын табу керек.
Шешуі: Алдымен Х-тің математикалық күтімін табамыз:
.
Одан кейін Х²-тің математикалық күтімін табамыз:
.
Дисперсия табамыз:
Сонда орта квадраттық ауытқуы .
Теорема: Өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың ақырлы санының қосындыларының орта квадратық ауытқуы осы шамалардың орта квадраттық ауытқуларының квадраттарының қосындысынан квадрат түбір алғанға тең.
(4)
Таралу функциясы
Х кездейсоқ шамасының сан осінде х-тің сол жағында жататын мәндерді қабылдайтын ықтималдықты анықтайтын функциясын таралу функциясы деп атайды, яғни
. (5)
Кейде “Таралу функциясы” (терминінің) орнына “Интегралдық функция” деген термин де қолданылады.

Таралу функциясының қасиеттері
1. Таралу функциясының мәндері [0; 1] аралығында жатады; .
2. F(x)-кемімейтін функция, егер х₂>x₁ болса, онда , теңсіздігі орындалады.
Салдар 1: Х кездейсоқ шамасы (a,в) аралығында жататын мәндерді қабылдау ықтималдығы таралу функциясының осы аралықтағы өсімшесіне тең, яғни
(6)
Мысал 10: Х кездейсоқ шамасының таралу функциясы

Сынау нәтижесінде Х – тің (0; 2) аралығында жататын мәндерді қабылдау ықтималдығын табу керек.
Шешуі: (0;2) интервалында шарт бойынша , онда . Олай болса,
Салдар 2: Үздіксіз Х кездейсоқ шамасының анықталған бір ғана мәнге ие болу ықтималдығы 0-ге тең.
Салдар 3: Егер кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері (а; в) аралығында жатса, онда
1) , егер х≤ а ;
2) егер
Келесі шектік қатынастар орындалады:
; .
Таралу функциясының графигі
Таралу функциясының графигі у=0, у=1 (1-ші қасиеті) түзүлерімен шектелген жолақта орналасқан. X (a; b) интервалында өскенде, кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің графигi ‘’жоғары көтерiледi’’. Егер болса, графиктің ординатасы 0-ге тең; егер болса, графиктің ординатасы 1-ге тең.

F(x)

a 0 b

1 сурет.
11-мысал: Х дискретті кездейсоқ шамасы таралу кестесімен берілсін:

Х	1	4	8
Р	0,3	0,1	0,6

Таралу функциясын табыңыз және графигін салыңыз.
Шешуі: Таралу функциясы аналитикалық түрде былай жазылады.

жүктеу/скачать 43,62 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4