Конспект лекций по физике для довузовской подготовки москва -2014

Конспект
лекций
120 
Лекция
 
№
 9
9.1. 
Гармонические
 
колебания
. 
Маятники
 
и
 
колебательный
 
кон
-
тур
. 
Затухающие
 
и
 
вынужденные
 
колебания
. 
Резонанс
 
Колебаниями
называются
движения
 
или
 
процессы
, 
в
 
той
 
или
 
иной
 
степени
 
повторяющиеся
 
во
 
времени
. 
Можно
сказать
, 
что
весь
мир
пронизан
колебательными
процессами
: 
пульсирует
излучение
звезд
, 
вращаются
планеты
Солнечной
системы
и
электроны
в
атоме
, 
колеблются
разнообразные
маятники
, 
ритмичные
колебания
проис
-
ходят
в
живых
организмах
и
т
.
д
. 
Большое
значение
имеют
периодические
колебания
(
процес
-
сы
, 
повторяющиеся
через
равные
промежутки
времени
, 
минимальный
из
которых
назван
периодом
Т
), 
которые
можно
представить
в
виде
суммы
простых
гармонических
колебаний
(
периодические
колеба
-
ния
, 
происходящие
по
закону
синуса
или
косинуса
) 
с
циклическими
частотами
, 
кратными
основной
частоте

=
Т
2

(
гармонический
ана
-
лиз
). 
Колебания
являются
свободными
 (
собственными
)
, 
если
они
совершаются
за
счет
первоначально
полученной
энергии
при
отсутст
-
вии
последующих
воздействий
на
колебательную
систему
. 
Частоту
свободных
колебаний
называют
собственной
 
частотой
. 
Характерным
при
-
мером
гармонических
колебаний
является
про
-
екция
точки
, 
движущейся
равномерно
по
окружно
-
сти
(

0
=const), 
на
линию
, 
лежащую
в
плоскости
движения
точки
, 
рис
. 9.1.
Такая
система
опи
-
сывается
уравнением
типа
х
= 
А
cos (

0
t+

0
) , (9.1) 
где
А
– 
амплитуда
(
модуль
 
y

0

=

0
t+

0
х
o
х
t
о
при

0
=0 
Рис
. 9.1 
R 

В
.
А
. 
Никитенко
, 
А
.
П
. 
Прунцев
121
наибольшей
 
величины
 
отклонения
 
системы
 
от
 
положения
 
равнове
-
сия
, 
в
нашем
случае
А
= R), 

0
– 
собственная
круговая
частота
, 
(

0
t+

0
) 
и

0
– 
соответственно
фаза
и
начальная
фаза
колебаний
(
в
начальный
момент
, 
когда
t=0). 
Графическое
представление
уравнения
(9.1) 
показано
на
рис
. 9.1. 
Первая
и
вторая
производные
по
времени
от
х
также
изменя
-
ются
по
гармоническому
закону
: 
dt
dx
= 
х

= –A

0
sin(

0
t+

0
) 
, 
(9.2) 
2
2
dt
x
d
= 
х

= –A

0
2
cos(

0
t+

0
) = – 

0
2
x .
(9.3) 
Таким
образом
, 
х
удовлетворяет
уравнению
х

+ 

0
2
x = 0 ,
(9.4) 
которое
называется
дифференциальным
 
уравнением
 
гармонических
 
колебаний
.
Частота
колебаний

(
число
колебаний
, 
совершаемых
за
одну
секунду
) 
связана
с
круговой
частотой

соотношением

= 2

. 
(9.5) 
По
смыслу

= 
T
1
, 
единицей
частоты
колебаний
является
герц
(
Гц
) : 
1
Гц
=1
с
-1
. 
Система
, 
совершающая
колебания
по
закону
(9.4), 
получила
название
гармонического
осциллятора
. 
Примером
таких
систем
могут
служить
некоторые
маятники
и
колебательный
контур
. 
Рассмотрим
их
в
случае
пренебрежимо
малых
потерь
энергии
. 
Пружинный
 
маятник
 
– 
это
 
груз
 
массой
 
m
, 
подвешенный
 
на
 
аб
-
солютно
 
упругой
 
пружине
 
и
 
совершающий
 
гармонические
 
колебания
 
под
 
действием
 
упругой
 
силы
 
F = –kx, 
где
k – 
жесткость
пружины
, 
рис
. 9.2. 
Согласно
второму
закону
Ньютона
уравнение
движения
груза
в
этом
случае
имеет
вид
: 
m
х

= –kx
(9.6) 
или
х

+ 
m
k
x = 0.
(9.7) 

Конспект
лекций
122 
Сопоставляя
уравнения
(9.4) 
и
(9.7) 
получаем
, 
что
пру
-
жинный
маятник
совершает
гар
-
монические
колебания
по
закону
х
=
А
cos(

0
t+

0
) 
с
круговой
(
цикли
-
ческой
) 
частотой

0
=
m
k
и
пе
-
риодом
Т
= 2

k
m
.
(9.8) 
При
незатухающих
коле
-
баниях
справедлив
закон
сохране
-
ния
механической
энергии
(
в
данном
случае
упругая
сила
консерва
-
тивна
), 
который
для
пружинного
маятника
имеет
следующий
вид
: 
W
K
+ W
П
= 
2
kx
2
m
2
2


= const. 
В
местах
наибольшего
отклонения
от
положения
равновесия
пружинный
маятник
имеет
максимальную
потенциальную
энергию
, 
в
момент
прохождения
им
положения
равновесия
она
полностью
пре
-
вращается
в
кинетическую
. 
Математический
 
маятник
– 
это
 
материальная
 
точка
 
мас
-
сой
 
m
, 
подвешенная
 
на
 
нерастяжимой
 
невесомой
 
нити
 
и
 
совершаю
-
щая
 
колебания
 
под
 
действием
 
силы
 
тяжести
. 
Некоторым
приближе
-
нием
математического
маятника
является
небольшой
тяжелый
шарик
, 
подвешенный
на
тонкой
длинной
нити
, 
рис
. 9.3. 
Смещение
маятника
х
вдоль
дуги
равно
х
=l

, 
где

– 
не
-
большой
угол
отклонения
нити
от
вертикали
(

1 
и
измеряется
в
радианах
), l – 
расстояние
от
точки
подвеса
до
центра
масс
шарика
. 
Если
возвращающая
сила
пропорциональна
х
или

, 
то
коле
-
бания
будут
гармоническими
. 
На
шарик
действуют
сила
упругости
F
н
и
сила
тяжести
m
g
, 
в
результате
он
движется
по
окружности
радиуса
l 
с
ускорением
a
: 
m
g
+ 
F
н
= m
a
.
(9.9) 
о
t = 0 t 

0 
x 
Рис
. 9.2

В
.
А
. 
Никитенко
, 
А
.
П
. 
Прунцев
123
Ускорение
а
имеет
две
составляющих
: 
нормальную
а
n
и
каса
-
тельную
а
к
(
результирующая
сила
и
ускорение
направлены
внутрь
окружности
). 
Проекция
векторного
соотношения
(9.9) 
на
прямую
, 
касательную
к
окружности
, 
дает
уравнение
F
1
= m
 
а
к
= –mg sin

, 
где
F
1
– 
возвращающая
сила
. 
При
малых
углах
(

15

) 
sin

и
колебания
можно
считать
гармоническими
: 
F
1

– mg 

= –mg
l
x
. (9.10) 
Таким
образом
, 
с
учетом
вто
-
рого
закона
Ньютона
m
х

=
l
mg
-
x 
и
уравнения
(9.4) 
имеем
формулу
для
расчета
периода
колебаний
математического
маятника
: 
Т
= 
g
l
2
2
0




.
(9.11) 
Обратите
внимание
на
то
, 
что
период
колебаний
математиче
-
ского
маятника
не
зависит
от
его
массы
, 
от
амплитуды
и
очень
чувст
-
вителен
к
ускорению
свободного
падения
. 

жүктеу/скачать 1,26 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: