Конспект лекций по физике для довузовской подготовки москва -2014
жүктеу/скачать 1,26 Mb. Pdf көрінісі
|
Конспект лекций по физике
часть механической энергии может перейти в другие виды энергии . Энер - гия в системе единиц СИ измеряется в джоулях . Пример № 1. Тело массой m свободно падает без начальной скорости с высоты h на Землю . Считая поверхность Земли за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии закон сохранения энергии запишется в следующем виде ( тело упало на Землю ): 1 1 к п W W ( начало движения ) = 2 2 к п W W ( при ударе о Землю ) mgh = 2 m 2 , (3.23) где по условию 1 к W = 0, 2 п W = 0. Пример № 2. В примере № 1 тело толкнули вниз вдоль вер - тикали к поверхности Земли со скоростью 0 . В момент падения тела на Землю имеем mgh + 2 m 2 0 = 2 m 2 . (3.24) Пример № 3. Пусть в предыдущем примере в некоторый мо - мент времени тело оказалось в результате падения на высоте h 1 . Тогда закон сохранения энергии для этого случая будет иметь другой вид : mgh + 2 m 2 0 = mgh 1 + 2 m 2 . (3.25) Конспект лекций 44 Пример № 4. В примере № 3 учесть наличие силы сопротив - ления воздуха . В этом варианте получим mgh + 2 m 2 0 = mgh 1 + 2 m 2 + F сопр . (h–h 1 ) . (3.26) В заключение заметим , что все законы сохранения в механике вытекают из уравнений Лагранжа ( более позднее обобщение законов Ньютона ) и свойств симметрии при непрерывных преобразованиях пространства - времени . 3.5. Глоссарий Законы сохранения импульса – полный импульс замкнутой системы матери - альных точек сохраняется ; механической энергии – полная энергия замкнутой системы матери - альных точек , взаимодействующих посред - ством консервативных сил сохраняется . Замкнутая система – система тел , на которую не действуют внешние силы , или действие этих сил взаим - носкомпенсировано . Консервативные ( по - тенциальные ) силы ( поля ) – силы , работа которых не зависит от вида траектории , а определяется только началь - ным и конечным положением тела . Работа таких сил по замкнутому пути равна нулю . Механическая работа – мера действия силы , зависящая от ее вели - чины , направления , а также перемещения точки приложения силы ( механическая ра - бота , совершаемая постоянной силой , – это скалярная величина , равная произведению модуля силы , модуля перемещения и коси - нуса угла между направлениями силы и пе - ремещения ). Мощность – работа , совершаемая в единицу време - В . А . Никитенко , А . П . Прунцев 45 ни . Энергия кинетическая – характеристика движения , пропорцио - нальная квадрату скорости тела ; потенциальная – механическая энергия системы тел , оп - ределяемая их взаимным расположени - ем и видом сил взаимодействия между ними ; полная механическая – сумма потенциальной и кинетической энергий тела . Основные вопросы для повторения : 1. Какие системы материальных точек называют замкнутыми ? 2. Сформулируйте закон сохранения импульса . 3. Дайте определение работы силы . Как называется единица измере - ния работы и энергии в СИ ? 4. Что такое мощность ( средняя , мгновенная )? В каких единицах из - меряется ? 5. Чему равна кинетическая энергия тела ? 6. Какие силы называют консервативными ? 7. Сформулируйте понятие потенциальной энергии . 8. Сформулируйте закон сохранения механической энергии . Конспект лекций 46 Лекция № 4 4.1. Статика . Общие замечания Статика – раздел механики , изучающий условия равновесия материальных тел , находящихся под воздействием сил . Под равнове - сием понимается сохранение телом состояния покоя или равномерно - го прямолинейного движения . В первом случае говорят о статиче - ском , во втором – о динамическом равновесии . В основе статики лежат такие понятия , как протяженное твер - дое тело ( до сих пор мы обычно пользовались понятием материаль - ной точки ), центр тяжести , сила и ее плечо , момент силы и т . д . При этом в статике изучаются условия равновесия систем , состоящих из абсолютно твердых ( недеформируемых ) тел . Остановимся кратко на основных представлениях и законах статики . 4.2. Равновесие тела в отсутствие вращения Условием равновесия материальной точки является равенство нулю результирующей всех приложенных к ней сил : i n 1 F i =0 . (4.1) В этом случае , согласно I закону Ньютона , материальная точ - ка будет находиться в состоянии покоя ( = 0) или равномерного прямолинейного движения ( v =const). Такое же условие соответствует равновесию тел в отсутствие вра - щения , когда тела можно представить как систему взаимно неподвижных материальных точек , способных двигаться только поступательно . Любой вектор можно спроектировать на три взаимно перпен - дикулярные оси координат x, y и z, поэтому условие равновесия (4.1) можно записать в виде i n 1 F xi =0, i n 1 F yi =0 и i n 1 F zi =0 , (4.2) где F xi , F yi и F zi – проекции силы F i на оси координат x, y и z. Таким образом , сумма проекций всех сил , действующих на тело ( находя - В . А . Никитенко , А . П . Прунцев 47 щееся в состоянии равновесия в отсутствие вращения ), на любую ось координат равна нулю . Для упрощения ситуации все силы , вызываю - щие только поступательное движение тела , удобно в данном случае прикладывать к центру тяжести тела ( см . п . 2.3). Пример . Брусок по - коится или равномерно сколь - зит по наклонной плоскости , рис . 4.1. На тело в данном случае действуют три силы : сила тяжести F т =m g , сила нормальной реакции опоры N и сила трения F тр . Направление коорди - натной оси х удобно выбрать вдоль плоскости , а оси у – пер - пендикулярно плоскости сколь - жения , например вверх ( рис . 4.1). Тело покоится или движется равномерно и прямолинейно , поэтому сумма проекций всех сил , дейст - вующих на тело , на оси х и у равны нулю : mg sin – F тр = 0 , (4.3) N – mg cos = 0 , (4.4) где F тх = mg sin , а = F ту = mg cos ( см . рис . 4.1). Сила трения покоя - щегося тела будет равна F тр = mg sin , но при его скольжении с по - стоянной скоростью F тр = mg sin = mg cos , откуда коэффициент трения =tg . 4.3. Момент силы . Условие равновесия тела , имеющего ось вращения Моментом силы называют величину , способную вызывать и изменять вращение тела . При этом выделяют момент силы относи - тельно точки ( центра ) и относительно оси . Момент силы F относительно неподвижной точки О пред - ставляет собой вектор М о , определяемый векторным произведением ридиуса - вектора r , проведенного из точки О в точку N приложения силы , на силу F , рис . 4.2: y N F тх F ту x F т =m g Рис . 4.1 F тр Конспект лекций 48 М о = [ r , F ] , (4.5) где модуль момента силы М = F r sin =F l (l – плечо силы , то есть кратчайшее расстояние между ли - нией действия силы и точкой О ). Направлен вектор М о перпендику - лярно плоскости , проходящей че - рез центр О и силу F в сторону , откуда поворот , вызываемый си - лой , виден против хода часовой стрелки . Пример . Пусть точечный груз массой m, подвешенный на нерастяжимой и невесомой нити длиной R к гвоздю , вбитому в потолок , совершает колебания около положения равно - весия , рис . 4.3. Для рассматриваемого момента време - ни , когда груз возвращается в положение рав - новесия , вектор момента силы M o совпадает по направлению с вектором угловой скорости , его модуль равен M o =mgl=mgRsin ; момент силы натяжения нити Т всегда равен нулю , так как плечо этой силы равно нулю . Момент силы относительно неподвижной оси z является алгеб - раической величиной , равной про - екции на эту ось вектора M o момен - та силы , определенного относи - тельно произвольной точки О на оси z, рис . 4.4. M o F r O N l Рис . 4.2 M o O R T l m g Рис . 4.3 z F M o М z N r O Рис . 4.4 В . А . Никитенко , А . П . Прунцев 49 Для решения обычных школьных задач достаточно рассмот - рения момента силы относительно оси z , перпендикулярной плоскости , в которой лежат векторы F и r , рис . 4.5. Направление оси при этом выбирают таким образом , чтобы момент был положительным , если он вызывает вращение по часовой стрелке . На любое тело могут действо - вать моменты различных сил , однако , для его равновесия , при нали - чии неподвижной оси вращения z , необходимо , чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил , действующих на тело , относительно этой оси была равна нулю i n 1 М zi = 0 (4.6) или , формулируя более простым языком , моменты всех сил М z , вра - щающих тело по часовой стрелке , должны быть равны моментам всех сил , вращающих его против часовой стрелки . При этом тело будет либо покоиться , либо равномерно вращаться вокруг оси . Если у тела отсутствует закрепленная ось вращения , для его равновесия необходимо и достаточно выполнение условий (4.1) и (4.6) относительно любой возможной оси . Условия равновесия часто используются для измерения неиз - вестных сил путем их сравнения с известными силами . Например , величину различных сил ( гравитационных , электростатических , маг - нитных ) измеряют , сравнивая их с силой упругости . В частности силу тяжести , действующую на тело , можно определить по показаниям пружинного динамометра . Важной задачей статики является определение центра тяжести тела или системы тел . Центром тяжести является точка приложения равнодействующей всех сил тяжести , действующих на тело при лю - бом его положении в пространстве ( обычно находится путем пере - сечения линий подвеса тела ). Сумма моментов всех элементарных z М о М z F O r N Рис . 4.5 Конспект лекций 50 сил тяжести относительно любой оси , которая проходит через центр тяжести , равна нулю . У однородного тела центр тяжести находится на оси симмет - рии и пересечении осей симметрии , при этом он может оказаться вне самого тела ( например , у кольца ). Пример . Два человека , массой m 1 = 60 кг и m 2 = 100 кг нахо - дятся в равновесии на разных концах горизонтально расположенной однородной прямоугольной доски , длиной l = 3 м и массой m 3 = 30 кг , имеющей одинаковую толщину и расположенной на поваленном де - реве , рис . 4.6. На каком расстоянии х от правого края доски находится центр тяжести системы , состоящей из доски и двух человек или , иными словами , точка касания доски с деревом ? Решение . Согласно условию (4.2) равнодействующая сил тя - жести m 1 g, m 2 g и m 3 g по модулю равна модулю вектора N , т . е . m 1 g+m 2 g+m 3 g=N. Данное выражение полезно для общих рассуждений и правильного построения рисунка , но для решения задачи вполне достаточно воспользоваться условием (4.6): m 1 g (l–x) + m 3 g x 2 l = m 2 g x , (4.7) откуда х = 3 2 1 3 1 m m m 2 m 2m l = 0,79 м . N m 1 g m 3 g m 2 g Рис . 4.6 l x В . А . Никитенко , А . П . Прунцев 51 Пример . Человек удерживает за один конец лестницу массой m так , что она образует с горизонтом угол , рис . 4.7. С какой силой F, направленной перпендикулярно лестнице , он действует на нее в этом положении ? Центр тяжести лестницы делит ее высоту пополам . Решение . Согласно условию (4.6) F l = mg 2 l cos , (4.8) где l – длина лестницы . В результате име - ем F = 2 cos mg . 4.4. Гидро - и аэромеханика 4.4.1. Давление В гидро - и аэромеханике обычно изучаются распределенные силы , то есть силы , действующие на каждый элемент площади выде - ленного объема среды . Важным понятием гидро - и аэромеханики яв - ляется давление . Если очертить в жидкости плоскую поверхность площадью S, задать направление нормали к ней и показать направле - ние приложенной к этой поверхности силы F , то очень наглядно можно определить смысл понятия давления , рис . 4.8. Давление – это скалярная величи - на , равная отношению модуля силы нор - мального давления к площади поверхно - сти , на которую действует эта сила : p = S F S F n cos , (4.9) где F n и F – нормальная и касательная составляющие силы F ( рис . 4.8). У покоящихся жидкостей F = 0, и сила давления всегда перпендикулярна к поверхности . В газах давле - ние возникает в результате толчков , которые испытывает реальная поверхность со стороны молекул , однако , как мы увидим в дальней - F N m g F тр Рис . 4.7 F S n F F n Рис . 4.8 Конспект лекций 52 шем , при таких ударах на поверхность действуют силы , направлен - ные только перпендикулярно к ней . Единицей давления в СИ является паскаль ( Па ), где 1 Па =1 Н м 2 . Иногда встречаются внесистемные единицы давления : 1 атм =760 мм рт . ст .=1,013 10 5 Па ( атм – физическая атмосфера , мм рт . ст . – миллиметр ртутного столба ). 4.4.2. Закон Паскаля В 1663 году французский ученый Б . Паскаль установил сле - дующий закон : давление на поверхности жидкости , произведенное внешними силами , передается жидкостью одинаково по всем на - правлениям . Закон выполняется и для газа и получил название закона Паскаля . Пример . Определим давление в точке А жидкости , налитой в цилиндриче - ский сосуд и сообщающейся с атмосферой , рис . 4.9. Это давление будет определяться суммой атмосферного давления р 0 и давле - ния столба жидкости над уровнем БВ , про - ходящим через точку А , которое равно р 1 = S ghS S mg = gh, (4.10) где S – площадь основания сосуда , – плотность жидкости , h – глу - бина погружения рассматриваемой точки А от поверхности . Давление р 1 получило название гидростатического , общее давление в т . А рас - считывается по формуле р = р 0 + gh , (4.11) при этом по закону Паскаля давление на стенку сосуда в точках Б и В ( рис . 4.9), находящихся на одном горизонтальном уровне с точкой А , одинаково и не зависит от формы сосуда . Закон Паскаля лежит в основе работы гидравлического пресса ( домкрата ), который используется для получения больших сжимающих сил при малых перемещениях с целью прессования отдельных материа - h Рис . 4.9 Б А В В . А . Никитенко , А . П . Прунцев 53 лов , подъема тяжелых тел и т . д . Краткая схема устройства гидравличе - ского пресса показана на рис . 4.10. Он состоит из двух цилиндров разно - го диаметра с поршнями , которые через заполненный маслом объем мо - гут взаимодействовать между собой . Тело , которое надо сжать , поме - щают над большим поршнем в зазоре между его верхней поверхностью и неподвижной плоскостью жестко закрепленной опоры . Давление под малым поршнем площадью S 1 равно F 1 /S 1 и пе - редается на нижнюю поверхность большого поршня , в результате 1 2 1 2 2 2 1 1 S S F F или S F S F (4.12) имеем выигрыш в силе , равный отношению площадей S 2 к S 1 . В силу равенства совершенных работ во столько же раз перемещение боль - шого поршня меньше перемещения малого поршня . Если рассмотреть в общем случае сообщающиеся сосуды , в которых столбы жидкостей взаимно уравновешивают друг друга , то можно показать ( практические занятия ), что однородная жидкость устанавливается в сообщающихся сосудах на одном и том же уровне , в случае разнородных жидкостей высоты уравновешенных столбов в сообщающихся сосудах , обратно пропорциональны плотностям жид - костей ( закон сообщающихся сосудов * ). * Подумайте и дайте объяснение устройства лейки для полива почвы , приве - дите другие примеры . F 2 F 1 Рис . 4.10 S 1 S 2 прессуемый материал Конспект лекций 54 Атмосферное давление , как и давление в жидкости , передает - ся одинаково по всем направлениям . Его можно измерить с помощью барометра , первый вариант которого ( ртутный ) был изобретен италь - янским ученым Э . Торичелли . В его основе лежит опыт Торичелли (1643 г .). Если в длинную стеклянную трубку , закрытую с одного конца , залить ртуть и опустить свободным концом в чашку с ртутью , то ртуть не выливается , а при достаточной длине трубки над поверх - ностью ртути в трубке образуется пустота . Суть опыта заключается в том , что давление атмосферы , действующее на поверхность ртути в чашке , уравновешивается весом столба ртути в трубке ( высота столба ртути на уровне моря составляет около 760 мм ). Проградуировав трубку , можно измерять атмосферное давление . 4.4.3. Закон Архимеда Закон Архимеда был открыт древнегреческим ученым (III в . до н . э .) и является фундаментом гидро - и аэростатики . Согласно это - му закону на тело , погруженное в жидкость ( или газ ), действует со стороны этой жидкости ( газа ) выталкивающая сила , равная весу вытесненной телом жидкости ( газа ), направленная вертикально вверх и приложенная к центру тяжести вытесненного объема . Наличие выталкивающей силы Архимеда связано с перепадом давлений на нижнюю и верхнюю поверхность погруженного в жид - кость ( газ ) тела ( вспомните формулу р = gh). Если тело плотно ле - жит на дне , то давление жидкости только прижимает его ко дну , за - трудняя всплытие . Выталкивающая ( архимедова ) сила определяется формулой F выт = ж gV ж , (4.13) где ж – плотность жидкости ( газа ), V ж – в данном случае объем вы - тесненной жидкости ( или газа ). Условием плавания тела является ( со - гласно I закону Ньютона ) соотношение ж gV ж = mg , (4.14) где m – масса плавающего тела . Если учесть , что m = т V т и предпо - ложить , что тело полностью погружено в жидкость (V ж = V т ), то ус - ловие 4.14 преобразуется в ж = т . Однако , будьте осторожны , соот - В . А . Никитенко , А . П . Прунцев 55 ношение (4.13) работает только для инерциальных систем отсчета , если сосуд с жидкостью , в которую погружено тело , движется с уско - рением а вдоль вертикальной оси , то F выт = ж (g a) V ж , (4.15) где знак (+) соответствует подъему вверх с ускорением а , (–) – опус - канию . Дело в том , что выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости ( газа ), но не ее силе тяжести . Тело находится в состоянии устойчивого равновесия , если его центр тяжести лежит ниже точки приложения выталкивающей силы , когда сила тяжести и выталкивающая сила направлены вдоль одной вертикальной прямой , рис . 4.11, а . При отклонении тела от положения равновесия возникает мо - мент сил ( имеются ввиду сила тяжести тела F т и выталкивающая сила F выт ), который стремится вернуть тело к положению равновесия , рис . 4.11, б . Равнодействующая выталкивающей силы и силы тяжести тела при F выт F т называется подъемной силой – F п . При F п = m a тело всплывает ( ж V ж g Vg, то есть ж ), при F п = 0 – плавает ( ж V ж g = Vg, то есть ж и ж / = V/V ж ), и при F выт F т тело тонет с уско - рением а = m F F выт т . F выт =– F т F выт а б Рис . 4.11 шар плавает в воде свинец пенопласт F т F т Конспект лекций 56 Наличие силы Архимеда сказывается на весе тела , особенно эти изменения заметны при погружении тела в жидкость * . 4.4.4. Закон Бернулли Закон Д . Бернулли гласит : давление в потоке жидкости ( газа ) выше в той его части , где меньше скорость . Не вдаваясь в доказа - тельство этого закона , отметим его некоторые любопытные проявле - ния : – если над трубой из печи дует ветер , то в трубе возникает тя - га ( аналог – пульверизатор для одеколона ); – парусная яхта может плыть против ветра , если поставить паруса таким образом , чтобы воздух в определенных объемах между ними ускорялся ; – профиль крыла самолета изготавливается таким образом , чтобы воздух над крылом протекал с большей скоростью , чем под ним . Перепад давлений при этом формирует аэродинамическую подъемную силу ; – норы животных для проветривания « помещения » должны иметь по крайней мере два входа , так как потоки воздуха у разных входов несколько отличаются , создавая перепад давлений и соответ - ственно циркуляцию воздуха и т . д . * Согласно историческим воспоминаниям Архимед открыл свой закон , лежа в ванне и размышляя над тем , как определить , чистое ли золото было ис - пользовано для изготовления новой короны царя . Подумайте , как , измерив вес короны в воздухе и в воде , пользуясь законом Архимеда , найти плот - ность материала короны ? В . А . Никитенко , А . П . Прунцев 57 4.5. Глоссарий Архимеда закон – на тело , погруженное в жидкость ( или газ ), действует выталкивающая сила , равная весу вытесненной телом жидкости ( газа ), направленная вер - тикально вверх и приложенная к центру тяжести вытесненного объе - ма . Бернулли закон – давление в потоке жидкости ( газа ) выше в той его части , где меньше скорость течения жидкости . Давление – физическая скалярная величина , рав - ная отношению модуля силы , дейст - вующей на площадку , к величине этой площади , ориентированной перпендикулярно действию силы . Момент силы – физическая векторная величина , способная вызывать и изменять вращение тела . Момент силы относительно неподвижной оси – является алгебраической величиной и равен проекции на эту ось вектора момента силы , определенного отно - сительно произвольной точки на данной оси . Момент силы относительно точки – представляет собой вектор , являю - щийся результатом векторного про - изведения радиус - вектора , прове - денного из данной точки в точку приложения силы , и самой силы . Паскаля закон – давление на поверхности жидкости , произведенное внешними силами , передается жидкостью одинаково по всем направлениям . Конспект лекций 58 Плечо силы – кратчайшее расстояние между лини - ей действия силы и точкой , относи - тельно которой определяется момент силы . Статика – жүктеу/скачать 1,26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|