Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется такое его решение, которое является функцией переменной x и произвольной постоянной C

Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется такое его решение, которое является функцией переменной x и произвольной постоянной C.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных C .

Дифференциальные уравнения, рассматриваемые нами – это дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, линейные однородные и неоднородные. Методы их решения будут подробно рассмотрены на практических занятиях

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Например, проблема может формулироваться так: «Если имеется информация о начальной массе и скорости изменения данной массы в ходе химической реакции, то можно ли предсказать, какой будет масса вещества за определенный период времени».

Для решения данной задачи необходимо по условию составить дифференциальное уравнение. Решив его (найдя общее решение уравнения) – найдем математическую модель, описывающую зависимость массы вещества от времени. А подставив начальные условия и решив задачу Коши (другими словами - найдя частное решение), найдем закон изменения массы вещества с течением времени конкретно для данной задачи. И теперь, подставляя любое интересующее нас время, мы можем определить соответствующую массу вещества.

Презентация в Power Point «Лекция – ОЗ 1»

1. 
   И.В. Павлушков и др. Основы высшей математики и математической статистики. (учебник для медицинских и фармацевтических вузов)., М., 2008 г.[191-208]
   
2. 
   Ю. Морозов. Основы высшей математики для мед. вузов. М., 2000 г.
   
3. 
   В.С. Шипачев. Курс высшей математики. М., Проспект. 2004 г.[543-557].
   
4. 
   Баврин И.И. Краткий курс высшей математики для химико-биологических и медицинских специальностей.- М.: Физматлит, 2003.[196-236]
   

1. 
   Что является решением дифференциального уравнения?
   
2. 
   Чем отличаются общее и частное решения дифференциального уравнения?
   
3. 
   Как записать выражение: «Производная функции У прямо пропорциональна самой функции»?
   
4. 
   Как записать в виде математического выражения предложение: «Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству»? (Подсказка: количество бактерий – есть функция от времени)
   

1. 
   Понятия испытания и события. Основные виды случайных событий.
   
2. 
   Статистическое и классическое определения вероятности.
   
3. 
   Алгебра событий.
   
4. 
   Основные теоремы теории вероятностей.
   
5. 
   Полная группа событий.
   
6. 
   Повторные независимые испытания: формула Бернулли, функция Лапласа, закон Пуассона (без выводов).
   

Такие явления называются случайными. Математическая наука, изучающаяся общие закономерности случайных явлений независимо от их конкретной природы и дающая методы количественной оценки влияния случайных фактов на различные события называется теорией вероятностей.

Событие может быть достоверным, невозможным и случайным.

Вероятность совместного появления нескольких событий просчитывается с использованием основных теорем теории вероятностей: теорем сложения и умножения вероятностей.

Более сложные события, такие как повторные независимые или события, происходящие только после того, как произойдет одно из событий составляющих полную группу вычисляются при помощи формул Бернулли, Пуассона, локальной и интегральной формул Лапласа, формул полной вероятности и Байеса.

Практическое применение законов теории вероятностей широко наблюдается в математической статистике. Основное понятие статистики – относительная частота – это статистическое определение вероятности.

Презентация в Power Point «Лекция – ОЗ 2»

1. 
   И.В. Павлушков и др. Основы высшей математики и математической статистики. (учебник для медицинских и фармацевтических вузов), М., 2008 г.[219-247]
   
2. 
   И.И. Баврин, В.Л. Матросов. Высшая математика. М., ВЛАДОС.2002г.[362-371]
   
3. 
   В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Высшая школа. 2001г. [17-22,31-34,37-60]
   
4. 
   Ю. Морозов. Основы высшей математики для мед. вузов. М., 2000 г.
   
5. 
   _{Н.С. Мисюк., А.С. Матыкин и др. Основы математического прогнозирования заболеваний человека. Минск, Высшая школа. 1972 г.[11-24]}
   

1. 
   Что называется событием?
   
2. 
   Что называется вероятностью события?
   
3. 
   Как называются события, которые не могут произойти одновременно?
   
4. 
   Составляют ли полную группу события А и В: «В результате контакта с инфекционным больным А-человек заболел, В- остался здоров»?
   
5. 
   По какой формуле можно найти вероятность того, что из 3000 ампул, перевозимых со склада в аптеку в дороге повредится 2. При условии, что вероятность повреждения ампулы равна 0,001?
   

1. 
   Случайные величины, их виды.
   
2. 
   Числовые характеристики случайных величин.
   

б) Дисперсия и ее свойства.

в) Среднее квадратическое отклонение.

3. 
   Функция распределения. Плотность распределения вероятностей случайной величины.
   
4. 
   Основные законы распределения случайных величин.
   

б) Распределение Пуассона.

в) Равномерное и нормальное распределения.

5. Вероятность попадания в заданный интервал непрерывной случайной величины.

Теория вероятностей служит для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей. Случайные величины являются числом, характеризующим явления случайных событий. Такие характеристики случайных величин, как математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение очень важно для решения различных задач математического прогнозирования.

Виды случайных величин – дискретная и непрерывная.

Дискретная случайная величина характеризуется только целым числом, а непрерывная всеми числами из конечного или бесконечного промежутка.

Дискретная случайная величина задается законом распределения, а непрерывная – функцией или плотностью распределения.

Для вычисления вероятности появления того или иного значения дискретной случайной величины в законе распределения используются классическая формула вероятности или формулы Бернулли и Пуассона. В зависимости от этого выделяют основные законы распределения дискретной случайной величины: Биномиальное распределение и распределение Пуассона.

От вида плотности распределения так же зависят основные законы распределения непрерывной случайной величины: равномерное и нормальное распределения.

Кроме законов распределения случайные величины могут быть описаны числовыми характеристиками: математическим ожиданием, дисперсией и средним квадратическим отклонением.

Все эти понятия широко используются при обработке статистических данных.

Особое место в медицине и общественном здравоохранении занимает нормальное распределение.

Иллюстративный материал:

Презентация в Power Point «Лекция – ОЗ 3»

1. 
   И.В. Павлушков и др. Основы высшей математики и математической статистики. (учебник для медицинских и фармацевтических вузов), М., 2008 г.[247-269]
   
2. 
   Баврин И.И. Краткий курс высшей математики для химико-биологических и медицинских специальностей.- М.: Физматлит, 2003. [269-289]
   
3. 
   В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Высшая школа. 2001г. [17-22,31-34,37-60]
   
4. 
   Ю. Морозов. Основы высшей математики для мед. вузов. М., 2000 г.
   
5. 
   _{Н.С. Мисюк., А.С. Матыкин и др. Основы математического прогнозирования заболеваний человека. Минск, Высшая школа. 1972 г.[11-24]}
   
6. 
   Адибаев Б.М. Элементы математической статистики и основы теории верятностей. Учебное пособие, Алматы 2004г.
   

1. 
   В чем различие между дискретной и непрерывной случайными величинами?
   
2. 
   Как можно задать случайные величины?
   
3. 
   Чем можно охарактеризовать случайные величины?
   
4. 
   В чем смысл математического ожидания случайной величины?
   
5. 
   Что характеризует дисперсия случайной величины?
   

1. 
   Задачи математической статистики.
   
2. 
   Понятия генеральной и выборочной совокупностей. Репрезентативность.
   
3. 
   Статистические распределения выборки: дискретный и интервальный вариационные ряды.
   
4. 
   Полигон и гистограмма.
   
5. 
   Числовые характеристики выборки.
   
6. 
   Оценка параметров генеральной совокупности по выборке.
   

Математической статистикой называют раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Главная цель математической статистики – получение осмысленных, научно обоснованных выводов из подверженных случайному разбросу данных.

В лекции даются основные понятия математической статистики, такие как генеральная совокупность, выборочная совокупность или выборка, объем генеральной или выборочной совокупности.

Используя знания, полученные при рассмотрении темы «Случайные величины» выборку можно описать такими числовыми характеристиками как выборочное среднее, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

В ряде практических ситуаций форма закона распределения изучаемой характеристики объектов генеральной совокупности предполагается известной с точностью до одного или нескольких числовых параметров. В таких случаях перед исследователем стоит задача получения оценок этих параметров на основании извлеченной из генеральной совокупности случайной выборки. Необходимо говорить о точечном и интервальном оценивании.
Иллюстративный материал:

Презентация в Power Point «Лекция – ОЗ 4»

1. И.В. Павлушков и др. Основы высшей математики и математической статистики, М., Издательский дом ГЭОТАР-МЕД, 2008г. [269-288]

2. Ю.В. Морозов. Основы высшей математики и статистики, М., «Медицина», 2001г.

3. В.Е. Гмурман Теория вероятностей и математическая статистика М., «Высшая школа», 2003г. [17-22,31-34,37-60]

1. 
   В чем различие между полигоном частот и полигоном относительных частот?
   
2. 
   Чему равна площадь прямоугольника в гистограмме частот?
   
3. 
   Чему равна сумма площадей прамоугольников в гистограмме частот и относительных частот?
   
4. 
   Как определить моду на полигоне частот?
   

1. 
   Статистическая и корреляционная зависимости.
   
2. 
   Уравнение линейной регрессии.
   
3. 
   Оценка параметров регрессии методом наименьших квадратов.
   
4. 
   Понятие о коэффициенте корреляции, его смысл и свойства.
   
5. 
   Выборочный коэффициент корреляционной связи.
   

Зачастую в исследованиях приходится устанавливать связь между различными величинами. Примерами могут служить: масса животного и количество гемоглабина в крови, рост мужчины и объем грудной клетки, увеличение рабочих мест в помещении и уровень заболеваемости вирусными инфекциями, количество вводимого препарата и концентрация его в крови и т.д.

Очевидно, что между этими величинами не может существовать строгой функциональной зависимости, так как на изменение одной из величин влияет не только изменение второй величины, но и другие факторы. В таких случаях говорят, что две величины связаны стохастической (т.е. случайной) зависимостью. Мы будем изучать частный случай стохастической зависимости – регрессионную зависимость.

Зависимость случайных величин называют статистической, если изменения одной из них приводит к изменению закона распределения другой.

Если изменение одной из случайных величин влечет изменение среднего другой случайной величины, то статистическую зависимость называют корреляционной.

Примерами корреляционной зависимости являются:

• 
  зависимость между дозой ионизирующего излучения и числом мутаций;
  
• 
  зависимость между пигментом волос человека и цветом глаз;
  
• 
  зависимость между показателями уровня жизни населения и процентом смертности;
  
• 
  зависимость между количеством пропущенных студентами лекций и оценкой на экзамене.