Тема №3: Случайные события и их вероятности

• 
  Формирование навыков нахождения вероятности событий, условной вероятности.
  
• 
  Формирование навыков нахождения вероятности суммы нескольких событий, используя классической формулу вероятности, теорему сложения и ее следствия.
  
• 
  Формирование навыков нахождения вероятности противоположного события.
  
• 
  Дать определения терминов «событие», «вероятность».
  
• 
  Ввести новые понятия классическое определение вероятности, статистическое определение вероятности, сумма событий, произведение событий.
  
• 
  Научить вычислять вероятности случайных событий используя основные понятия, формулы и теоремы теории вероятностей.
  
• 
  Формировать и развивать аналитические способности при работе с профессиональной литературой.
  
• 
  Совершенствовать навыки межличностного общения.
  

1. 
   Определение случайных событий.
   
2. 
   Виды случайных событий.
   
3. 
   Действия, выполнимые над событиями
   
4. 
   Классическое определение вероятности события.
   
5. 
   Понятие относительной частоты.
   
6. 
   Статистическое определение вероятности события.
   
7. 
   Понятия суммы событий.
   
8. 
   Понятие условной вероятности.
   
9. 
   Теорема сложения вероятностей.
   
10. 
    Вероятность противоположного события.
    

1. 
   И.В.Павлушков. Основы высшей математики и математической статистики. Москва. ГЭОТАР-МЕД.2003г., с. 220-238.
   
2. 
   И.И. Баврин. Краткий курс высшей математики. Для химико-биологических и
   

3. 
   В.Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. М., «Высшая школа», 2001 г., с.8-31.
   
4. 
   А.Н.Ремизов, А.Г.Максина. Сборник задач по медицинской и биологической физике. Москва. 2001г. С. 31-33.
   

1. 
   Что относится к основным понятиям теории вероятностей?
   
2. 
   Виды случайных событий.
   
3. 
   Назовите действия над событиями.
   
4. 
   Дайте классическое определение вероятности?
   
5. 
   Дайте статистическое определение вероятности.
   
6. 
   Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?
   
7. 
   Как определяется условная вероятность?
   

2. В поликлинике работают 80 человек. Из них 5 человек – администрация, 10 – технический персонал, 10 – педиатры, половина – врачи других специальностей, и 15 человек – статисты. Какова вероятность того, что наудачу выбранное лицо окажется статистом или человеком из администрации поликлиники.

3. Согласно статистическим данным, европейцы имеют группу крови А – 0,369 всего населения, группу В – 0,235, группу АВ – 0,006, группу О – 0,390. Найти вероятность того, что у произвольно взятого донора группа крови А или В.

4. При аварии пострадали 12 человек, 4 из них получили ожоги. Скорая помощь доставляет в больницу по 2 человека. Найти вероятность того, что в машине окажется один пострадавший от ожога.

5. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого извлеченного жетона не содержит цифры 5.

6. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.

7. Бросается один раз игральная кость. Определить вероятность выпадения 3 или 5 очков.
Вопросы для мини-викторины:

№	Вопросы
	1 подгруппа	2 подгруппа
1.	Событие называется случайным, если в результате испытания оно…	В кабинет к врачу входят двое обследуемых. Какие элементарные исходы при этом могут быть (Б - болен, З - здоров)?
2.	Событие А - хотя бы один из четырех обследуемых болен. Что означает противоположное событие?	Событие А - хотя бы один из четырех обследуемых здоров. Что означает противоположное событие?
3.	Из колоды в 52 карты наудачу взята одна карта. Вероятность того, что эта карта будет черного цвета масти равна…	Из слова "студент" случайным образом выбирают букву. Какова вероятность, что выбранной окажется гласная буква?
4.	Самой большой вероятностью, равной 1, обладает...	Наименьшей вероятностью, равной 0, обладает...
5.	Произведением двух событий А и В называют...	Суммой двух событий А и В называют...

Тема №4: Повторные независимые испытания.
Цель: Формировать знания по основам теории вероятности. Научить использовать элементы комбинаторики, формул Бернулли и Пуассона, локальной и интегральной формулы Муавра-Лапласа для вычисления вероятности повторных независимых испытаний. Введение различий в использовании локальной и интегральной формул Муавра-Лапласа.
Задачи обучения:

• 
  Формирование навыков вычисления вероятности события произошедшего при повторных независимых испытаниях определенное количество раз.
  
• 
  Дать определения терминов «повторное испытание», «достаточная вероятность».
  
• 
  Ввести новые понятия вероятности повторных испытаний с использованием формул Бернулли, Пуассона.
  
• 
  Ввести новые понятия вероятности повторных испытаний при большом числе испытаний и достаточной вероятности события, локальной и интегральной формулы Муавра-Лапласа.
  
• 
  Обучить использовать формулы вычисления вероятности повторных испытаний при большом числе испытаний и достаточной вероятности события.
  
• 
  Научить использовать локальную и интегральную формулы Муавра-Лапласа.
  
• 
  Формировать и развивать аналитические способности при работе с профессиональной литературой.
  
• 
  Совершенствовать навыки межличностного общения.
  

1. 
   Вероятности в повторных испытаниях.
   
2. 
   Формула Бернулли.
   
3. 
   Локальная теорема Муавра-Лапласа. Условия применимости.
   
4. 
   Интегральная теорема Лапласа. Условия применимости.
   
5. 
   Функция Лапласа.
   
6. 
   Формула Пуассона.
   

1. 
   В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшая школа», 2001г., с.57-63.
   
2. 
   В.Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. М., «Высшая школа», 2001 г., с.37-43.
   
3. 
   А.Н.Ремизов, А.Г.Максина. Сборник задач по медицинской и биологической физике. Москва. 2001г., с.33-34.
   

На занятии студент должен ответить на тестовые задания, предложенные преподавателем по всем основным формулам теории вероятностей.

1. 
   Для чего используются формулы комбинаторики в теории вероятностей?
   
2. 
   Что означает каждая буква в формуле Бернулли?
   
3. 
   Каковы условия применимости формул Бернулли и Пуассона?
   
4. 
   Вероятность в повторных независимых испытаниях.
   
5. 
   В каких случаях применяется локальная формула Муавра-Лапласа?
   
6. 
   В каких случаях применяется интегральная формула Муавра-Лапласа?
   

1. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность, что при 300 испытанных успех наступит: а) ровно 75 раз, б) ровно 85 раз?

2. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

3. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 1470 и не более 1500.

4. Вероятность появления события в каждом из ста независимых испытаний постоянна и равна p=0,8. найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз.
Тема №5: Рубежный контроль по разделам «Дифференциальные уравнения» и «Теория вероятностей».
Цель: Контроль знаний основных определений, свойств, формул, методов решения по темам «Дифференциальные уравнения», «События и вероятность».
Задачи обучения: Проверка усвоения теоретического материала и навыков вычисления по темам «Дифференциальные уравнения», «События и вероятность».

Форма проведения: Решение ситуационных задач.
План и организационная структура занятия

с распределением часов практического занятия.

№	Структура занятия	Время
1.	Перекличка студентов и выяснение причин отсутствия студентов, кто не готов к занятию.	3 мин.
2.	Самостоятельная работа студентов.	45 мин.
3.	Задание на следующее занятие.	2 мин.

Количество формируемых компетенций: практические навыки.
Раздаточный материал: карточки с заданиями по вариантам.
Литература:

1. Павлушков И.В.'' Основы высшей математики и математической статистики'', Москва ''ГЭОТАР-МЕД'' 2003г., с.191-209, 219-247.

2. И.И. Баврин. Краткий курс высшей математики. Для химико-биологических и медицинских специальностей. М. ФИЗМАТЛИТ, 2003г., с.196-216, 250-264.

3. А.Н. Ремизов, Н.Х. Исакова, А.Г. Максина. «Сборник задач по медицинской и биологической физике». Москва. «Высшая школа». 2001г., с.23-36.

1. 
   Определение дифференциального уравнения.
   
2. 
   Что называется порядком дифференциального уравнения.
   
3. 
   Определение и методы решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
   
4. 
   Определение и методы решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка.
   
5. 
   Определение события и его виды.
   
6. 
   Классическая формула вероятности события.
   
7. 
   Теоремы сложения и умножения вероятностей и их свойства.
   
8. 
   Основные формулы теории вероятностей и границы их применимости.
   
9. 
   Вероятности в повторных испытаниях.
   
10. 
    Формула Бернулли.
    
11. 
    Локальная теорема Муавра-Лапласа. Условия применимости.
    
12. 
    Интегральная теорема Лапласа. Условия применимости.
    
13. 
    Функция Лапласа.
    
14. 
    Формула Пуассона.
    
15. 
    Формула полной вероятности.
    
16. 
    Формула Бейеса.
    

• 
  Формировать навыки распределения случайных величин на виды и описывания их.
  
• 
  Дать определения терминов «случайная величина», «закон распределения случайной величины», «функция распределения случайной величины».
  
• 
  Ввести новые понятия случайной величины, видов их.
  
• 
  Обучить составлять закон распределения дискретной случайной величины.
  
• 
  Научить составлять плотность распределения и функцию распределения непрерывной случайной величины.
  
• 
  Формировать и развивать аналитические способности при работе с профессиональной литературой.
  
• 
  Совершенствовать навыки межличностного общения.
  

1. 
   Определение случайной величины.
   
2. 
   Виды случайных величин.
   
3. 
   Закон распределения дискретной случайной величины.
   
4. 
   Условие нормировки для закона распределения.
   
5. 
   Функция распределения непрерывной случайной величины, ее свойства.
   
6. 
   Плотность распределения непрерывной случайной величины, ее свойства.
   

1. 
   И.В.Павлушков. Основы высшей математики и математической статистики. Москва. ГЭОТАР-МЕД.2003г., с.247-256.
   
2. 
   В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшая школа», 2001г., с. 64-69, 75-95.
   
3. 
   В.Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. М., «Высшая школа», 2001 г., с. 52-60, 87-91.
   
4. 
   А.Н.Ремизов, А.Г.Максина. Сборник задач по медицинской и биологической физике. Москва. 2001г., с.34.
   

1. 
   Сформулируйте определение случайной величины.
   
2. 
   Сформулируйте определения дискретной и непрерывной случайных величин.
   
3. 
   Что называется законом распределения дискретной случайной величины?
   
4. 
   Какое условие нормировки должно выполняться для закона распределения?
   
5. 
   Что называется функцией распределения и каковы ее свойства?
   
6. 
   Особенности графика функции распределения.
   
7. 
   Что называется плотностью распределения?
   
8. 
   Как найти функцию распределения по известной плотности распределения?
   
9. 
   Свойства плотности распределения.
   

1. 
   Возможные значения случайной величины: Известны вероятности первых двух возможных значений: Найти вероятность х₃.
   
2. 
   Случайная величина Х задана функцией распределения
   

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (2;3).

Найти:

б) коэффициент а,

• 
  Формировать навыки определения числовых характеристик дискретной и непрерывной случайных величин.
  
• 
  Дать определения терминов «математическое ожидание», «дисперсия», «среднеквадратическое отклонение».
  
• 
  Ввести новые понятия числовых характеристик случайной величины, вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.
  
• 
  Обучить применять свойства числовых характеристик при нахождении числовых характеристик линейной комбинации случайных величин.
  
• 
  Научить вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.
  
• 
  Формировать и развивать аналитические способности при работе с профессиональной литературой.
  
• 
  Совершенствовать навыки межличностного общения.
  

1. 
   Формула математического ожидания дискретной случайной величины.
   
2. 
   Свойства математического ожидания.
   
3. 
   Формула дисперсии дискретной случайной величины.
   
4. 
   Формула среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.
   
5. 
   Формула математического ожидания непрерывной случайной величины.
   
6. 
   Формула дисперсии непрерывной случайной величины.
   
7. 
   Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины.
   
8. 
   Формула вероятности попадания непрерывной случайной величины в заданный