Лекции и упражнения
жүктеу/скачать 1,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Matan Lectures 2013
ГЛАВА 4. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА 4.1.1 Окрестности. Определение 26. Окрестностью точки a называется интервал U ( a ) = = ( b, c ) , где b < a < c . Несложно понять смысл слова ѕокрестностьї это точки расположен- ные близко к точке a . Хотелось бы обратить внимание на то, что окрест- ность всегда задается открытым интервалом (т.е. не включающим концы) позднее мы увидим, почему отрезок окрестностью считать не принято. Определение 27. Проколотой окрестностью точки a называется множе- ство ? U ( a ) = ( b, a ) ? ( a, c ) , где b < a < c . Определение 28. ? -окрестностью точки a называется интервал u ? ( a ) = = ( a ? ?, a + ? ) , где ? > 0 . Определение 29. Проколотой ? окрестностью точки a называется мно- жество ? U ? ( a ) = ( a ? ?, a ) ? ( a, a + ? ) , где ? > 0 . Замечание. Часто окрестности задаются в форме неравенств: | x ? a | < ? для ? окрестности, 0 < | x ? a | < ? для проколотой ? окрестности. Утверждение 5. Пересечение двух окрестностей некоторой точки (про- колотых окрестностей) является окрестностью (проколотой окрестно- стью) этой точки. Утверждение 6. Объединение двух окрестностей некоторой точки (про- колотых окрестностей) является окрестностью (проколотой окрестно- стью) Утверждение 7. Пересечение двух (проколотых ) ? окрестностей неко- торой точки является (проколотой) ? окрестностью Утверждение 8. Объединение двух ? окрестностей (проколотых ? ок- рестностей) некоторой точки является окрестностью (проколотой ? окрестностью) Докажем последнее утверждение: U ? 0 ( a ) ? U ? 00 ( a ) = ( a ? ? 0 , a + ? 0 ) ? ( a ? ? 00 , a + ? 00 ) = = ( a ? max( ? 0 , ? 00 ) , a + max( ? 0 , ? 00 ) = U max( ? 0 ,? 00 ) ( a ) . Доказательство остальных утверждений предоставляется читателю в качестве упражнения. Определение 30. Множество A называется открытым, если для каждой точки a ? A найдется ? > 0 (для каждой точки, возможно, свой ? ) такое, что U ? ( a ) ? A . 4.2. ТОЧНАЯ ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНЬ МНОЖЕСТВА. 49 Это определение объясняет, почему про множества ( a, b ) говорят ѕот- крытый интервалї. Например, множества (0 , 1) , (1 , + ? ) , R являются от- крытыми, а N , [ ? 1 , 1] , ( ?? , 0] не являются. Упражнение 108. Пусть A и B открытые множества. Докажите, что а) A ? B ; b) A ? B открытые. Определение 31. Множество A называется замкнутым, если его допол- нение Ї A открытое. Например, замкнуты множества [0 , 1] , R , Z , ( ?? , 0] . Упражнение 109. Докажите замкнутость указанных множеств. 4.2 Точная верхняя и нижняя грань множе- ства. Определение 32. Пусть множество A таково, что все его элементы не превосходят некоторого числа µ , т.е. ? a ? A ( a 6 µ ) . Тогда говорят, что множество A ограничено сверху, а µ его верхняя граница (верхняя грань) и обозначают так: A ? µ или µ ? A . Определение 33. Пусть множество A таково, что все его элементы не меньше некоторого числа m , т.е. ? a ? A выполнено неравенство a > m . То- гда говорят, что множество A ограничено снизу, а m его нижняя граница (нижняя грань) и обозначают так: A ? m или m ? A . Например, если множество A = [0 , 1] , то числа 1, 10 или 2013 являются его верхними гранями, а 2 3 , 0, ? 1 , 23 нет. Определение 34. Если множество A ограничено как сверху, так и снизу, то говорят, что A ограниченное множество. Заметим, что если некоторое число M является верхней гранью мно- жества A , то любое M 0 > M тоже будет верхней гранью этого множества. Таким образом, если множество ограничено сверху (снизу), то оно имеет бесконечно много верхних (соответственно, нижних) граней. Так, напри- мер для множества (0 , 1) ? (99 , 100) верхней гранью будет любое число, не меньшее 100. Хотелось бы выбирать каким-то образом одну из этих гра- ней. Например, для множества (0 , 1) ? (99 , 100) представляется естествен- ным выбрать именно 100 (а не 101 или 100.001) в качестве верхней грани. Приведенные ниже определения дают ответ на этот вопрос. 4.2.1 Точная верхняя грань Определение 35. Пусть число a является верхней гранью множества A , а никакое меньшее его не является. Более формально A ? a и ( ? a 0 < a ) A 6? 6? a 0 . Тогда говорят, что a есть точная верхняя грань множества A и обозначают так: a = sup A . |