Лекции и упражнения

6.3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
83
Утверждение 22. Определения 66 и 67 эквивалентны.
Доказательство.
Вытекает из определения б.м.п.
Пример 22. Рассмотрим последовательность
a
n
=
n
+1
n
. Очевидно, что
a
n
?
1
 б.м.п., следовательно,
lim
n
??
a
n
= 1
.
Пример 23. Рассмотрим последовательность
a
n
= (
?
1)
n
. Очевидно, что
предела
a
n
не существует. Действительно, взяв
?
=
1
2
получим, что как
1, так и
?
1
должны принадлежать некоторой
?
-окрестности, что невоз-
можно.
Утверждение 23. Если предел последовательности существует, то он
единственен, т.е. у последовательности не может быть два разных пре-
дела.
Доказательство.
Допустим существует два различных предела
A
6
B
. Возьмем
?
=
|
A
?
B
|
2
>
>
0
, тогда, начиная с некоторого номера, все члены последовательности
попадали бы в
U
?
(
A
)
и в
U
?
(
B
)
, что невозможно, т.к.
U
?
(
A
)
?
U
?
(
B
) =
?
.
Утверждение 24. Пусть
lim
n
??
a
n
=
a
и
lim
n
??
b
n
=
b
. Тогда
lim
n
??
(
a
n
+
b
n
) =
=
a
+
b
.
Доказательство.
Из утверждения 17 следует, что
a
?
a
n
и
b
?
b
n
 б.м.п. Тогда по утвержде-
нию 19 их сумма
{
(
a
?
a
n
)+(
b
?
b
n
)
}
?
n
=1
 тоже б.м.п. Перегруппировав, полу-
чим, что
{
(
a
+
b
?
(
a
n
+
b
n
)
}
?
n
=1
 б.м.п. Следовательно,
predel
(
a
n
+
b
n
) =
a
+
b
.
Упражнение 152. Пусть
lim
n
??
a
n
=
a
и
lim
n
??
b
n
=
b
. Доказать, что
lim
n
??
(
a
n
?
?
b
n
) =
a
?
b
.
Утверждение 25. Пусть
lim
n
??
a
n
=
a
и
lim
n
??
b
n
=
b
. Тогда
lim
n
??
(
a
n
·
b
n
) =
=
a
·
b
.
Доказательство.
Из утверждения 17 следует, что
a
?
a
n
и
b
?
b
n
 б.м.п. Рассмотрим после-
довательность
a
·
b
?
a
n
·
b
n
=
a
·
(
b
?
b
n
) + (
a
?
a
n
)
·
b
n
,
из утверждений 18 и 19 вытекает, что она  б.м.п. Следовательно
lim
n
??
(
a
n
·
b
n
) =
=
a
·
b
.
Утверждение 26. Пусть
lim
n
??
b
n
=
b
6
= 0
?
n
?
N
(
b
n
6
= 0)
.
Тогда
lim
n
??
1
b
n
=
=
1
b
.

84
ГЛАВА 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
Доказательство.
Пусть, для определенности
b >
0
. Тогда найдется
N
такое, что
b
n
?
U
b/
2
(
b
)
при всех
n > N
, а значит
b
n
>
b
2
>
0
. Пусть
b
0
= min(
|
b
1
|
,
|
b
2
|
, . . . ,
|
b
N
|
, b/
2)
,
тогда
b
0
>
0
, поскольку все числа
|
b
1
|
,
|
b
2
|
, . . . ,
|
b
N
|
,
b/
2
положительны по
условию. Тогда
?
n
?
N
(
|
b
n
|
> b
0
)
. Следовательно
1
b
n
6
1
b
0
, поэтому после-
довательность
b
n
ограничена. Рассмотрим
1
b
n
?
1
b
=
b
?
b
n
b
n
·
b
= (
b
?
b
n
)
·
1
b
n
·
1
b
. Но
b
?
b
n
 б.м.п.
{
1
b
n
}
?
n
=1
 ограничена, а
1
b
 константа. Тогда
{
1
b
n
?
1
b
}
?
n
=1
б.м.п., следовательно
lim
n
??
1
b
n
=
1
b
, что и требовалось доказать.
Следствие 10. Пусть
lim
n
??
a
n
=
a
,
lim
n
??
b
n
=
b
6
= 0
и
?
n
?
N
(
b
n
6
= 0)
. Тогда
lim
n
??
a
n
b
n
=
a
b
.
Доказательство.
Очевидно вытекает из утверждений 25 и 26.
Утверждение 27. Пусть
a
n
 б.м.п. и
?
n
?
N
(
|
b
n
|
6
a
n
)
. Тогда
b
n
б.м.п.
Доказательство.
Для произвольного
? >
0
окрестность
U
?
(0)
 ловушка
a
n
. Значит
?
n >
> N
(
a
n
?
U
?
(0))
. Тогда
|
a
n
|
< ?
, следовательно
|
b
n
|
6
|
a
n
|
< ?
, а значит
b
n
?
U
?
(0)
. Получаем, что
U
?
(0)
является ловушкой
b
n
при всех
? >
0
.
Следовательно
b
n
 б.м.п.
Теорема 18. (О двух милиционерах) Пусть
?
n
?
N
(
a
n
6
c
n
6
b
n
)
и
lim
n
??
a
n
= lim
n
??
b
n
=
C
. Тогда предел
lim
n
??
c
n
существует и равен тому же
числу
C
.
Доказательство.
Заметим, что
lim
n
??
(
b
n
?
a
n
) =
C
?
C
= 0
, следовательно
b
n
?
a
n
 б.м.п.
Очевидно,
0
6
c
n
?
a
n
6
b
n
?
a
n
, а значит по предыдущему утверждению
c
n
?
a
n
 б.м.п. А значит
{
c
n
?
a
}
?
n
=1
=
{
(
c
n
?
a
n
) + (
a
n
?
C
)
}
?
n
=1
 тоже
б.м.п. следовательно
lim
n
??
c
n
=
C
.
Теорема 19 (Предельный переход в неравенствах). Пусть
lim
n
??
a
n
=
a
и
?
n > N
(
a
n
6
C
)
. Тогда
a
6
C
. Другими словами, если все члены последо-
вательности, начиная с некоторого
N
не превосходят какого-то числа
C
,
то и предел последовательности не может быть больше
C
.
Доказательство.
Предположим обратное, т.е. что
a
= lim
n
??
a
n
> C
. Выберем
?
=
a
?
C
2
. И рас-
смотрим окрестность
U
?
(
a
)
которая по определению предела есть ловушка
последовательности
a
n
. Тогда найдется
a
n
?
U
?
(
a
)
со сколь угодно боль-
шим номером
n
. Тогда
a
n
> a
?
?
=
a
?
a
?
C
2
=
a
+
c
2
> C
, что противоречит
условию.

6.3. ПРИМЕРЫ
85
6.3.1 Примеры б.м.п и пределов.
Утверждение 28. Последовательность
{
1
n
}
?
n
=1
 б.м.п.
Доказательство.
Рассмотрим произвольное
? >
0
. Пусть
N
=
1
?
+ 1
, где квадратные скобки
обозначают целую часть числа. Тогда для всех
n > N
выполнено
1
n
<
1
N
< ?
,
что и требовалось доказать.
Следствие 11. Пусть
C
?
R
,
k
?
N
. Тогда
C
n
k
 
?
n
=1
 б.м.п.
Доказательство.
Сразу же следует из утверждения 18 и следствия 8.
Утверждение 29. Пусть
|
q
|
<
1
,
a
n
=
n
·
q
n
. Тогда
a
n
 б.м.п.
Доказательство.
Если
|
q
|
<
1
, то можно представить
|
q
|
=
1
1+
?
, где
? >
0
. Тогда
(1 +
?
)
n
= 1 +
C
1
n
·
?
+
C
2
n
·
?
2
+
. . . > C
2
n
·
?
2
.
Тогда
n
· |
q
|
n
<
n
C
2
n
?
2
<
4
?
2
·
1
n
. Поскольку
1
n
 б.м.п., а
4
?
2
 константа,
следовательно, по утверждению 27
n
· |
q
|
n
 тоже б.м.п.
Утверждение 30. Пусть
C >
0
, тогда
C
1
/n
?
1
 б.м.п..
Доказательство.
При
C
= 1
утверждение очевидно.
Пусть
C >
1
, обозначим
n
?
C
?
1 =
?
n
. Тогда
C
= (1 +
?
n
)
n
и, по
неравенству Бернулли,
C
= (1 +
?
n
)
n
>
1 +
n
·
?
n
. Следовательно,
0
< ?
n
<
<
C
?
1
n
и, таким образом, б.м.п.
Пусть
0
< C <
1
, обозначим
C
1
=
1
C
>
1
. Как было доказано в преды-
дущем пункте
?
n
=
C
1
/n
1
?
1
 б.м.п. Тогда
|
C
1
/n
?
1
|
=
C
1
/n
·
(
C
1
/n
1
?
1)
<
< C
·
?
n
 тоже б.м.п.
Следствие 12. Пусть
C >
0
, тогда
lim
n
??
n
?
C
= 1
.
Утверждение 31.
lim
n
??
n
?
n
= 1
Доказательство.
Рассмотрим
n
?
n
= 1+
?
n
, очевидно
?
n
>
0
. Возводя обе части в
n
ю степень
и раскрыв скобки (по биному Ньютона), получим
n
= (1 +
?
n
)
n
= 1 +
C
1
n
?
n
+
C
2
n
?
2
n
+
. . . > C
2
n
?
2
n
.
Следовательно,
0
< ?
2
n
<
n
C
2
n
=
2
n
?
1
. Пусть задано
? >
0
, выберем
N
=
=
2
?
2
+ 1
. Тогда при всех
n > N
выполнено
?
n
<
q
2
N
< ?
. Таким образом,
?
n
 б.м.п., а значит
lim
n
??
n
?
n
= 1
.

86

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: