Лекции и упражнения



Pdf көрінісі
бет29/55
Дата31.12.2021
өлшемі1,95 Mb.
#107263
түріЛекции
1   ...   25   26   27   28   29   30   31   32   ...   55
Matan Lectures 2013
Глоссарий(кәсіпкерлік) СӨЖ

ГЛАВА 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
6.4 Вложенные и стягивающиеся системы от-
резков.
Простоты ради мы ограничимся рассмотрением только
охоты на львов, живущих в пустыне Сахара.
Перечисленные ниже методы с легкостью можно
модифицировать и применять к другим плотоядным,
обитающим в разных частях света.
...
Метод Больцано-Вейерштрасса. Рассекаем пустыню
линией, проходящей с севера на юг. Лев находится либо
в восточной части пустыни, либо в западной.
Предположим для определенности, что он находится в
западной части. Рассекаем ее линией, идущей с запада
на восток. Лев находится либо в северной части, либо в
южной. Предположим для определенности, что он
находится в южной части, рассекаем ее линией, идущей
с севера на юг. Продолжаем этот процесс до
бесконечности, воздвигая после каждого шага крепкую
решетку вдоль разграничительной линии. Площадь
последовательно получаемых областей стремится к
нулю, так что лев в конце концов оказывается
окруженным решеткой произвольно малого периметра.
Г.Петард, К математической теории охоты.
Определение 68. Пусть заданы две последовательности
a
n
и
b
n
, такие,
что
a
n
?
b
n
при всех
n
?
N
. Система отрезков
{
[
a
n
, b
n
]
}
?
n
=1
называется
вложенной, если
[
a
1
, b
1
]
?
[
a
2
, b
2
]
?
. . .
?
[
a
n
, b
n
]
?
. . . ,
т.е.
a
1
6
a
2
6
. . .
6
a
n
6
. . .
6
b
n
6
. . .
6
b
2
6
b
1
.
Определение 69. Система отрезков
{
[
a
n
, b
n
]
}
?
n
=1
называется стягиваю-
щейся, если она вложенная и, кроме того для любого
?
? >
0
найдется
n
?
N
, такое, что
|
b
n
?
a
n
|
< ?.
Другими словами, последовательность вло-
женных отрезков называется стягивающейся, если длины отрезков стре-
мятся к нулю.
Теорема 20. Пусть система отрезков
{
[
a
n
, b
n
]
}
?
n
=1
является вложенной.
Тогда пресечение отрезков не пусто:
?
\
n
=1
[
a
n
, b
n
]
6
=
?
.
Доказательство.
Рассмотрим множества
A
=
{
a
n
, n
?
N
}
и
B
=
{
b
n
, n
?
N
}
. По условию
A
?
B
. Тогда из аксиомы отделимости существует
c
, такое, что
A
?
c
?
B
,
т.е.
a
n
?
c
?
b
n
при любом
n
.


6.4. ВЛОЖЕННЫЕ И СТЯГИВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ОТРЕЗКОВ. 87
Теорема 21. Пусть система отрезков
{
[
a
n
, b
n
]
}
?
n
=1
является стягиваю-
щейся. Тогда пересечение отрезков состоит ровно из одной точки:
?
\
n
=1
[
a
n
, b
n
] =
{
c
}
.
Доказательство.
По теореме 20 пересечение
P
=
?
T
n
=1
[
a
n
, b
n
]
не пусто. Предположим, что
оно состоит более чем из одной точки. Рассмотрим две различные точки
c
0
, c
00
?
P
и выберем
?
=
1
2
|
c
0
?
c
00
|
. Тогда, для некоторого
n
?
N
выполнено
|
b
n
?
a
n
|
< ?
=
1
2
|
c
0
?
c
00
|
, что невозможно при
c
0
, c
00
?
[
a
n
, b
n
]
.
Теоремы 20-21 о вложенных и стягивающихся отрезках носят в матема-
тике название принцип Коши-Кантора.
Замечание. Если последовательность отрезков
[
a
n
, b
n
]
 стягивающаяся,
то
lim
n
??
a
n
= lim
n
??
b
n
=
c
, где
c
 точка пересечения системы отрезков.
Доказательство этого факта предоставляется в качестве упражнения.
Упражнения
Упражнение 153. Сформулировать, не используя слов ѕнетї и ѕнеї сле-
дующие утверждения: а) последовательность
a
n
не ограничена; b) последо-
вательность
a
n
не б.м.п.; c) последовательность
a
n
не имеет предела; d) пос-
ледовательность
a
n
не фундаментальная.
Упражнение 154. Может ли ограниченная последовательность не иметь
ни наибольшего, ни наименьшего члена? (Наибольший (наименьший) член
 тот, который является верхней (нижней) гранью.)
Упражнение 155. a) Является ли последовательность
a
n
= 10
n
/n
!
огра-
ниченной? b) Тот же вопрос для последовательности
a
n
= 1
,
01
n
; c) . . .
a
n
=
=
n
2
/
2
n
; d) . . .
a
n
=
n
?
n
!
; e) . . .
a
n
=
?
3 +
a
n
?
1
, где
a
0
= 0
; f) . . .
a
n
=
= 1 +
1
n
n
2
; g) . . .
a
n
= 1 +
1
n
2
n
; h) . . .
a
n
= 1 +
1
n
n
.
Упражнение 156. Ограничена ли последовательность, заданная форму-
лами: a)
a
0
= 1
,
a
n
+1
=
a
n
+1
/a
n
; b)
a
n
+1
=
a
n
·
cos 1
?
sin
n
·
sin 1
; c)
a
1
= cos 2
,
a
n
+1
=
a
n
·
cos 1
?
p
1
?
a
2
n
·
sin 1
? d)
a
0
= 1
,
a
n
+1
=
a
n
+ 1
/a
n
?
Упражнение 157. a) Доказать, что сумма и произведение ограниченных
последовательностей ограничены: если последовательности
a
n
и
b
n
огра-
ничены, то и последовательности
c
n
=
a
n
+
b
n
и
d
n
=
a
n
b
n
ограничены.
b) Верны ли аналогичные утверждения для разности и частного?
Упражнение 158. a) Может ли ловушка не быть кормушкой? b) Может
ли кормушка не быть ловушкой? c) Можно ли утверждать, что один из
отрезков
[0
,
1]
и
[1
,
2]
является ловушкой, если известно, что отрезок
[0
,
2]


88

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   25   26   27   28   29   30   31   32   ...   55




©engime.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет