Лекции и упражнения



Pdf көрінісі
бет37/55
Дата31.12.2021
өлшемі1,95 Mb.
#107263
түріЛекции
1   ...   33   34   35   36   37   38   39   40   ...   55
Байланысты:
Matan Lectures 2013
Глоссарий(кәсіпкерлік) СӨЖ

ГЛАВА 10. ФУНКЦИИ. ГРАФИКИ.
Замечание. Можно дать следующее строгое определение понятия функции
используя только множества: Функцией называют произвольное множество
F ?
A
Ч
B
. Тогда, если
x
?
A
, то множество значений функции на
x
есть
F
(
x
) =
{
y
?
B
|
(
x, y
)
? F }
.
Определение 87. Однозначной функцией
F
:
A
7?
B
называется неко-
торый закон, ставящий в соответствие каждому элементу множества
A
не
более одного элемента множества
B
. Более формально, однозначной функ-
цией называют множество
F ?
A
Ч
B
, такое, что если
(
x
0
, y
0
)
,
(
x
00
, y
00
)
? F
и
y
0
=
y
00
, то
x
0
=
x
00
.
Замечание. В данном курсе рассматриваются только однозначные функ-
ции, хотя многозначные  не есть какая-то экзотика. Например, функция,
ставящая в соответствие квадратному уравнению
ax
2
+
bx
+
c
= 0
его корни
X
(
a, b, c
) =
?
b
±
?
b
2
?
4
ac
2
a
принимает ноль, одно или два значения в зависи-
мости от знака
D
=
b
2
?
4
ac
. Поэтому везде в дальнейшем будем писать
просто ѕфункцияї, понимая под этим однозначную функцию.
Определение 88. Областью определения функции
F
(обозначается
D
F
) называется множество
D
F
?
A
, состоящее из всех
x
, для которых
F
(
x
)
определена. Множеством значений функции
F
(обозначается
E
F
)
называется множество
E
F
=
{
F
(
x
) :
x
?
D
F
.
Определение 89. Образом множества
M
при отображении
F
называется
множество
F
(
M
) =
{
y
=
F
(
x
) :
x
?
M
}
. Прообразом множества
S
при
отображении
F
называется множество
F
?
1
(
S
) =
{
x
:
F
(
x
)
?
S
}
.
Замечание. Если множество
S
состоит из одной точки, то фигурные скобки
обычно опускают и пишут
F
?
1
(
y
)
вместо
F
?
1
(
{
y
}
)
.
Определение 90. Инъекцией называют функцию
F
, такую, что для
любых
x
0
, x
00
?
D
F
из
x
0
6
=
x
00
следует
F
(
x
0
)
6
=
F
(
x
00
)
. Другими слова-
ми, инъекция  функция, которая на разных аргументах принимает разные
значения.
Определение 91. Сюръекцией называют функцию
F
:
A
?
B
, такую,
что для любого
y
?
B
существует
x
?
A
такой, что
F
(
x
) =
y
. Другими
словами, сюръекция  функция, которая принимает каждое значение из
B
.
Замечание. Инъекцию иногда называют ѕотображение вї, а сюръекцию
ѕотображение наї.
Определение 92. Биекцией (или взаимно однозначным отображе-
нием) называют функцию
F
:
A
?
B
, являющуюся инъекцией и сюръек-
цией одновременно.
Определение 93. Пусть функции
f
:
X
??
Y
и
g
:
Y
??
X
таковы, что
D
f
=
X
,
D
g
=
Y
, причјм для любых
x
?
X
,
y
?
Y
выполнены равенства
x
=
g
(
f
(
x
))
и
y
=
f
(
g
(
y
))
.
Тогда функция
g
называется обратной для
f
и
обозначается
f
?
1
.


10.2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
119
Теорема 40. Пусть
F
:
A
?
B
биекция,
D
F
=
A
. Тогда существует
обратная
F
?
1
:
B
?
A
, которая тоже является биекцией.
Доказательство.
Рассмотрим произвольное
y
?
?
B
. Поскольку
F
 сюръекция, то существу-
ет
x
?
A
, такое, что
F
(
x
) =
y
?
. Таких
x
?
A
не может быть два, т.к.
F
инъекция. Тогда отображение
F
?
1
, которое ставит в соответствие каждому
y
?
такое
x
?
будет обратным к
F
.
Докажем, что
F
?
1
 биекция. Пусть
x
0
?
A
, тогда рассмотрим
y
0
=
=
F
(
x
0
)
, очевидно, что
F
?
1
(
y
0
) =
x
0
, следовательно,
F
?
1
 cюръекция. С
другой стороны, если
F
?
1
(
y
1
) =
F
?
1
(
y
2
) =
x
?
, то
y
1
=
F
(
x
?
)
и
y
2
=
f
(
x
?
)
,
следовательно,
F
?
1
 инъекция.
Замечание. Если
G
 обратная функция для
F,
то
F
 обратная для
G.
Пример 31. Функция
F
:
{
1
,
2
,
3
,
4
} ? {
1
,
2
,
3
,
4
}
заданная как
F
(1) = 4
,
F
(2) = 2
,
F
(3) = 1
,
F
(4) = 3
является биекцией. Обратная к ней
F
?
1
:
:
{
1
,
2
,
3
,
4
} ? {
1
,
2
,
3
,
4
}
определена как
F
?
1
(1) = 3
,
F
?
1
(2) = 2
,
F
?
1
(3) = 4
и
F
?
1
(4) = 1
.
Пример 32. Функция
F
:
R
?
R
,
F
(
x
) = 2
x
+ 1
является биекцией.
Обратная функция
F
?
1
(
y
) =
y
?
1
2
.
Пример 33. Функция
F
:
R
?
R
,
F
(
x
) =
x
2
не является биекцией. Дей-
ствительно,
F
(
x
) =
F
(
?
x
)
, следовательно
F
 не инъекция. Кроме того,
E
F
= [0; +
?
)
6
=
R
, следовательно
F
не является сюръекцией.
Пример 34. Функция
F
: [0; +
?
)
?
[0; +
?
)
,
F
(
x
) =
x
2
является биекци-
ей. Обратная функция
F
?
1
(
y
) =
?
y
.
Определение 94. Пусть даны функции
f
:
X
??
Y
и
g
:
Y
??
Z
.
Композицией функций
f
и
g
(обозначается
g
?
f
) называется функция
h
=
g
?
f
:
X
?
Z
, определенная на множестве
D
h
=
{
x
?
D
f
|
f
(
x
)
?
D
g
}
следующим образом:
h
(
x
) =
g
(
f
(
x
))
.
10.2 Числовые функции
Определение 95. Числовой функцией называют функции
f
(
x
)
, об-
ласть определения и область значений которой являются подмножествами
числовой прямой, т.е.
D
f
, E
f
?
R
. Другими словами, область отправления
и прибытия числовой функции есть
R
.
Замечание. Большая часть этого курса посвящена числовым функциям.
Поэтому в дальнейшем под словом функция будем (если специально не
оговорено) понимать числовая функция.
Определение 96. Числовая функция называется четной, если для всех
x
?
D
f
выполнено
(
?
x
)
?
D
f
и
f
(
?
x
) =
f
(
x
)
. Числовая функция назы-
вается нечетной, если для всех
x
?
D
f
выполнено
(
?
x
)
?
D
f
и
f
(
?
x
) =
=
?
f
(
x
)
. Функции, которые не являются ни четными ни нечетными назы-
вают ѕфункции общего видаї.


120
ГЛАВА 10. ФУНКЦИИ. ГРАФИКИ.
a
y
=
f
(
x
+
a
)
y
=
f
(
x
)
x
y
Пример 35. Функция
f
(
x
) =
x
2
?
4
x
4
+
|
x
|
 четная,
g
(
x
) =
x
3
?
3
x
|
x
|
нечетная, а
x
2
+
x
+ 1
 общего вида.
Определение 97. Функция
f
(
x
)
называется периодической если суще-
ствует
T >
0
, такое, что:
1)
?
x
?
D
f
(
x
±
T
?
D
f
)
;
2)
?
x
?
D
f
(
f
(
x
+
T
) =
f
(
x
))
.
Число
T
называют периодом функции
f
(
x
)
. Если
T
min
 период и для лю-
бого периода
T
выполнено
T
min
?
T
, то
T
min
называют наименьшим (или
главным) периодом
f
(
x
)
.
Пример 36.
sin
x
,
cos
x
имеют наимешьний период, равный
2
?
, а
tg
x
,
ctg
x
?
. Функция
{
x
}
(дробная часть) имеет период, равный 1.
10.3 График функции. Преобразования графи-
ков.
Определение 98. Графиком функции
y
=
f
(
x
)
называется множество
точек координатной плоскости
?
f
=
{
(
x, y
=
f
(
x
))
|
x
?
D
f
}
.
Пусть задана некоторая
y
=
f
(
x
)
.
1. График функции
y
=
f
(
x
+
a
)
получается из графика
y
=
f
(
x
)
сдвигом
на
a
влево (вправо, если
a <
0
)  см. рис. 1.
2. График функции
y
=
f
(
x
)+
a
получается из графика
y
=
f
(
x
)
сдвигом
на
a
вверх (вниз, если
a <
0
)  см. рис. 2.
3. График функции
y
=
?
f
(
x
)
получается из графика
y
=
f
(
x
)
отраже-
нием относительно оси
Ox
.
4. График функции
y
=
f
(
?
x
)
получается из графика
y
=
f
(
x
)
отраже-
нием относительно оси
Oy
.


10.3. ГРАФИК ФУНКЦИИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ.
121
a
y
=
f
(
x
) +
a
y
=
f
(
x
)
x
y
y
=
a
·
f
(
x
)
y
=
f
(
x
)
x
y
5. График функции
y
=
a
·
f
(
x
)
получается из графика
y
=
f
(
x
)
растя-
жением в
a
раз по направлению оси
Oy
(сжатием, если
a <
1
)  см.
рис. 5.
6. График функции
y
=
f
(
a
·
x
)
получается из графика
y
=
f
(
x
)
сжа-
тием в
a
раз по направлению оси
Ox
(растяжением, если
a <
1
)  см.
рис. 6.
7. График функции
y
=
|
f
(
x
)
|
получается из графика
y
=
f
(
x
)
отраже-
нием относительно оси
Ox
той части графика, которая расположена
ниже этой оси  см. рис. 7.
8. График функции
y
=
f
(
|
x
|
)
получается из графика
y
=
f
(
x
)
отраже-
нием относительно оси
Oy
той части графика, которая расположена
правее этой оси, причем ту часть, что расположена левее оси следует
отбросить  см. рис. 8.


122

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   33   34   35   36   37   38   39   40   ...   55




©engime.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет