ГЛАВА 12. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ.
Упражнение 276. На плоскости нарисовано два многоугольника (воз-
можно, пересекающихся). Доказать, что найдјтся прямая, которая делит
каждый из них на две равновеликие части.
Упражнение 277. Дать определение непрерывности для функции, опре-
делјнной на подмножестве плоскости. Доказать, что всякая непрерывная
на квадрате функция ограничена и достигает максимума.
Упражнение 278. Функция
f
:
R
?
R
непрерывна. Доказать, что урав-
нение
f
(
f
(
x
)) =
x
имеет решение тогда и только тогда, когда уравнение
f
(
x
) =
x
имеет решение.
Упражнение 279. Определјнная на отрезке функция называется выпук-
лой вниз, если хорда, соединяющая любые две точки графика, лежит выше
графика. Доказать, что всякая выпуклая вниз функция непрерывна.
Упражнение 280. Доказать, что если непрерывная на отрезке функция
удовлетворяет неравенству
f
((
x
+
y
)
/
2)
?
(
f
(
x
) +
f
(
y
))
/
2
, то она выпукла
вниз.
