Лекции и упражнения
жүктеу/скачать 1,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Matan Lectures 2013
ГЛАВА 12. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ. Упражнение 256. Функция f определена и непрерывна на отрезке [ a, b ] . Доказать, что она достигает максимума: найдјтся такая точка m ? [ a, b ] , что f ( x ) ? f ( m ) для всех x ? [ a, b ] . Упражнение 257. Утверждение задачи 256 можно получить как след- ствие задачи 255, рассмотрев функцию 1 / ( f ? sup f ) . Провести это рассуж- дение подробно. Упражнение 258. Назовјм функцию f ограниченной в окрестности точ- ки a , если найдјтся интервал, содержащий a , на котором f ограничена. a)Привести пример функции, определјнной на всей прямой и не ограни- ченной ни на каком интервале. b) Доказать, что всякая определјнная на отрезке локально ограниченная (ограниченная в окрестности любой точки отрезка) функция ограничена на всјм отрезке. Упражнение 259. Функция f непрерывна на отрезке и принимает в его концах значения разных знаков. Доказать, что она имеет корень на этом отрезке. Упражнение 260. Доказать, что существует корень любой целой поло- жительной степени из любого положительного числа. Упражнение 261. Доказать, что всякий многочлен нечјтной степени с действительными коэффициентами имеет действительный корень. Упражнение 262. Доказать, что квадратный трјхчлен ax 2 + bx + c , для которого a + b + c > 0 и a ? b + c < 0 , имеет (действительный) корень. Упражнение 263. Доказать, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет неподвижную точку. Упражнение 264. Доказать, что всякая строго возрастающая непрерыв- ная функция, определјнная на отрезке, является взаимно однозначным со- ответствием между двумя отрезками и обратная функция также непрерыв- на. Упражнение 265. Доказать, что любое монотонное взаимно однозначное соответствие между двумя отрезками непрерывно (в обе стороны). Упражнение 266. a) Дать определение непрерывности для функций, опре- делјнных на плоскости. b) Доказать, что любой многочлен на комплексной плоскости непрерывен. c) Доказать, что для любого многочлена найдјтся точка на комплексной плоскости, где его абсолютная величина минимальна. d) Доказать, что в этой точке многочлен неизбежно равен нулю (основная теорема алгебры). Упражнение 267. Как надо доопределить функцию sin x/x в точке x = 0 , чтобы она стала непрерывной всюду? 12.6. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ. 149 Упражнение 268. a) Доказать, что любое непрерывное отображение f : : [0 , 1] 7? [0 , 1] отрезка в себя имеет неподвижную точку, т.е. точку x 0 , такую, что f ( x 0 ) = x 0 ; b) Показать, что для произвольной f : R 7? R это неверно; с) Показать, что для произвольной f : (0 , 1) 7? (0 , 1) это тоже неверно; d) Пусть функция f непрерывна, причем D f = [0 , 1] , E f = [0 , 1] , f (0) = 0 , f (1) = 1 и f ( f ( x )) ? x . Доказать, что f ( x ) ? x . Упражнение 269. Пусть f : [0 , 1] 7? R непрерывная функция такая, что f (0) = f (1) . Докажите, что а) При любом n ? N найдется горизонтальный отрезок длины 1 n с концами на графике f ; б) Для отрезка произвольной длины l 6 = 1 n это верно не для любой функции. Упражнение 270. Функция f называется равномерно непрерывной на множестве M , если для любого ? > 0 найдјтся такое ? > 0 , что обра- зы любых двух точек M , отстоящих менее чем на ? , отстоят менее чем на ? . a) Записать это определение символически. b) Очевидно, равномерно непрерывная на множестве M функция непрерывна во всех точках множе- ства M . Показать, что обратное утверждение неверно. c) Будет ли функция x 7? x 2 равномерно непрерывной? d) Тот же вопрос для функции x 7? ? x , определјнной на множестве неотрицательных чисел. e) Тот же вопрос для функции x 7? sin( x 2 ) . f)* Показать, что всякая непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна. Упражнение 271. Доказать, что если две непрерывные функции опре- делены на всей прямой и совпадают во всех рациональных точках, то они совпадают всюду. Упражнение 272. Функция f определена и непрерывна на всей прямой, при этом f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) . Доказать, что эта функция есть умножение на константу. Упражнение 273. Показательная функция x 7? a x (при любом a > 0 ) обладает такими свойствами: a 0 = 1 , a 1 = a , a x + y = a x · a y . Кроме того, при a > 1 она монотонно возрастает, при a = 1 постоянна, а при a < < 1 убывает. Считая эти свойства известными, доказать, что показательная функция непрерывна a) в точке 0 ; b) во всех точках прямой. c) Доказать, что указанные в предыдущей задаче свойства определяют показательную функцию однозначно. d) Пользуясь лишь этими свойствами, доказать, что 6 x = 2 x 3 x при всех x . Упражнение 274. a) Дать определение непрерывной на окружности функ- ции. b) Доказать, что для любой непрерывной на окружности функции най- дутся две диаметрально противоположные точки, в которых она принимает равные значения. Упражнение 275. Доказать, что любой многоугольник можно разделить вертикальной прямой на две равновеликие (равные по площади) части. |