Лекции и упражнения



Pdf көрінісі
бет43/55
Дата31.12.2021
өлшемі1,95 Mb.
#107263
түріЛекции
1   ...   39   40   41   42   43   44   45   46   ...   55
Байланысты:
Matan Lectures 2013
Глоссарий(кәсіпкерлік) СӨЖ

ГЛАВА 12. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ.
Замечание. Если допустить многозначные отображения, то можно постро-
ить обратные функции, напиример, следующим образом:
Asin
(
x
) =
(
{
(
?
1)
n
·
arcsin
x
+
?n
}
n
?
Z
,
x
?
[
?
1
,
1]
не определена,
x
6?
[
?
1
,
1]
.
Это отображение ставит каждому
x
?
[
?
1; 1]
бесконечное множество чисел
(а не одно число).
Упражнения
Упражнение 234. Сформулировать определения следующих пределов по-
Гейне и по-Коши и доказать их эквивалентность:
a)
lim
x
?
a
+0
f
(
x
) =
?
; b)
lim
x
?
+
?
f
(
x
) =
A
?
0
;
Упражнение 235. Доказать, что следующее определение непрерывности
эквивалентно исходному: функция
f
:
M
?
R
непрерывна в точке
a
, если
для всякой последовательности
{
x
n
}
?
n
=1
точек
M
, сходящейся к
a
, последо-
вательность
{
f
(
x
n
)
}
?
n
=1
сходится к
f
(
a
)
.
Упражнение 236. Функция
f
(
x
)
непрерывна на отрезке
[
a
;
b
]
. Докажите,
что
f
(
x
)
ограничена снизу.
Упражнение 237. Докажите теорему о промежуточном значении (след-
ствие 15).
Упражнение 238. Доказать что
f
(
x
) = cos
x
непрерывна на всей числовой
оси.
Упражнение 239. Доказать, что функция Римана
R
(
x
)
непрерывна в ир-
рациональных и разрывна в рациональных точках.
Упражнение 240. Привести пример функции
f
(
x
)
, разрывной во всех
точках числовой прямой, такой, что
|
f
(
x
)
| ? C
(
R
)
.
Упражнение 241. а) Привести пример функции, разрывной во всех точ-
ках числовой прямой кроме одной, т.е. непрерывной только в одной точке;
b) привести пример функции, непрерывной ровно в двух точках; c)* ровно
в
n
точках,
n
?
N
.
Упражнение 242. Пусть
f
(
x
)
 некоторый многочлен, про который из-
вестно, что уравнение
f
(
x
) =
x
не имеет корней. Докажите, что тогда и
уравнение
f
(
f
(
x
)) =
x
не имеет корней.
Упражнение 243. Дана выпуклая фигура и точка
A
внутри нее. Дока-
жите, что найдется хорда (т.е. отрезок, соединяющий две граничные точки
выпуклой фигуры), проходящая через точку
A
и делящаяся точкой
A
по-
полам.


12.6. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ.
147
Упражнение 244. Пусть
f
? C
([0
,
1])
такая, что
f
(0) =
f
(1) = 0
. Дока-
жите, что на отрезке
[0; 1]
найдутся 2 точки на расстоянии
1
10
, в которых
функция
f
(
x
)
принимает равные значения.
Упражнение 245. О функции
f
(
x
)
, заданной на всей вещественной пря-
мой, известно, что при любом
a >
1
функция
f
(
x
) +
f
(
ax
)
непрерывна на
всей прямой. Докажите, что
f
(
x
)
также непрерывна на всей прямой.
Упражнение 246. Известно, что
D
f
=
R
, и для любого
x
?
R
выполнено
равенство:
f
(
x
+ 1)
·
f
(
x
) +
f
(
x
+ 1) + 1 = 0
. Докажите, что
f /
? C
(
R
)
.
Упражнение 247. Доказать теорему о сущестовании обратной функции
a) для непрерывной монотонно убывающей на отрезке функции. b) для
функции, непрерывной и монотонно убывающей на
[0
,
+
?
)
, такой, что
lim
x
?
+0
f
(
x
) =
=
A
,
lim
x
?
+
?
f
(
x
) =
B
.
Упражнение 248. a) В каких точках непрерывна функция Дирихле, рав-
ная
1
в иррациональных точках и
0
в рациональных? b) Тот же вопрос для
функции Римана, которая равна
0
в иррациональных точках и равна
1
/q
в
рациональной точке
p/q
(если дробь
p/q
несократима).
Упражнение 249. Привести пример функции, определјнной на всей пря-
мой и a) разрывной в целых точках и непрерывной в остальных; b) непре-
рывной в целых точках и разрывной в остальных.
Упражнение 250. Доказать, что для любого счјтного множества дей-
ствительных чисел можно построить возрастающую функцию, разрывную
во всех точках этого множества и непрерывную во всех остальных.
Упражнение 251. Может ли определјнная на всех прямой возрастающая
функция быть разрывной во всех точках?
Упражнение 252. Может ли функция быть непрерывной во всех рацио-
нальных точках и разрывной во всех иррациональных?
Упражнение 253. Две функции
f
и
g
определены на множестве
M
и
непрерывны в точке
a
?
M
. Доказать, что их сумма, разность, произведение
и частное (если знаменатель отличен от нуля в точке
a
) также непрерывны
в этой точке.
Упражнение 254. Функция
f
определена на множестве
X
?
R
, принима-
ет значения в множестве
Y
?
R
и непрерывна в точке
a
?
X
. Функция
g
определена на множестве
Y
и непрерывна в точке
b
=
f
(
a
)
. Доказать, что
композиция
g
?
f
, то есть функция
x
7?
g
?
f
(
x
) =
g
(
f
(
x
))
, непрерывна в
точке
a
.
Упражнение 255. Функция
f
определена и непрерывна на отрезке. Дока-
зать, что
f
ограничена на этом отрезке. Почему аналогичное рассуждение
нельзя провести для интервала?


148

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   39   40   41   42   43   44   45   46   ...   55




©engime.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет