Лекции и упражнения

152
ГЛАВА 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
tg
cos
sin
sin
?
cos
?
tg
?
=
sin
?
cos
?
?
1
?
1
2
1
?
1
?
1
2
1
2
1
Рис. 13.1: Определение тригонометрических функций.
Теорема 54. Для любого
x
?
R
существует единственная пара
(
?, n
)
, где
?
?
[0; 2
?
)
n
?
Z
такая, что
x
=
?
+ 2
?n.
Доказательство. Пусть
n
= [
x
2
?
]
 целая часть
x
2
?
.
Тогда
n
?
x
2
?
< n
+ 1
,
что равносильно
0
?
x
?
2
?n <
2
?.
Полагая
?
=
x
?
2
?n,
имеем утвержде-
ние теоремы. Существование и единственность следуют из существования
и единственности целой части по теореме 53. Теорема доказана.
Определение 120. Рассмотрим в прямоугольной Декартовой системе ко-
ординат на плоскости
Oxy
ѕединичную окружностьї
x
2
+
y
2
= 1
(см. Рис. 13.1).
От оси абсцисс
Ox
ѕв положительном направленииї, то есть против хода
часовой стрелки, отложим угол
xOz
меры
?
радиан. Сторона
Oz
этого уг-
ла пересечјт единичную окружность в точке
M
(
x
0
, y
0
)
.
По определению
полагаем
cos
?
=
x
0
,
sin
?
=
y
0
.
Если теперь
x
 произвольное действитель-
ное число, то по теореме 54 для
x
существует единственное представление
x
=
?
+ 2
?n.
Полагаем
cos
x
= cos
?,
sin
x
= sin
?,
tg
x
=
sin
x
cos
x
,
ctg
x
=
cos
x
sin
x
,
sec
x
=
1
cos
x
,
cosec
x
=
1
sin
x
.
Определение 120 позволяет распространить понятие радианной меры
угла (а также градусной меры ввиду линейности замены градусной меры
на радианную) для произвольного
x
?
R
.
Пусть
x
?
0
и
x
=
?
+ 2
?n
представление
x,
полученное по теореме 54. Полагаем, что угол меры
x
радиан получается откладыванием от оси абсцисс
Ox n
оборотов в поло-
жительном направлении (против хода часовой стрелки), и затем откла-
дыванием в положительном направлении угла меры
?
радиан. Так как
?
x
=
?
?
?
2
?n
= (2
?
?
?
)
?
2
?
(
n
+ 1)
и углы
?
и
(2
?
?
?
)
дополни-
тельные, то можно считать, что угол
(2
?
?
?
)
получается откладыванием

13.2. СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
153
угла
?
в отрицательном направлении (по ходу часовой стрелки), и, таким
образом, угол
(
?
x
)
?
0
получается откладыванием от оси абсцисс
Ox n
оборотов в отрицательном направлении (по ходу часовой стрелки), и затем
откладыванием в том же отрицательном направлении угла меры
?
радиан.
Заметим, что
sin
x
и
cos
x
существуют для всех
x
?
R
,
а
tg
x,
ctg
x,
sec
x,
cosec
x
существуют не для всех
x
?
R
.
Тригонометрические функции определим следующим образом.
Определение 121.
sin :
R
??
R
, x
7?
sin
x
; tg :
R
\ {
x
: cos
x
= 0
} ??
R
, x
7?
tg
x
;
cos :
R
??
R
, x
7?
cos
x
; ctg :
R
\ {
x
: sin
x
= 0
} ??
R
, x
7?
ctg
x.
13.2 Свойства тригонометрических функций
Определение 122. Пусть
M
?
R
.
Функция
f
:
M
??
R
называется пери-
одической, если существует
?
6
= 0
такое, что для любого
x
?
M
выполнено
f
(
x
+
?
) =
f
(
x
)
.
Число
?
называется периодом функции
f.
Полагаем ноль
периодом любой функции. Наименьший положительный период
T
называ-
ется главным периодом.
Лемма 15. Если
?
 период функции
f
:
R
?
M
??
R
,
то для любого
m
?
Z
m?
 тоже период
f.
Доказательство. Если
?
= 0
или
m
= 0
,
то утверждение, очевидно,
верно. Пусть
?
6
= 0
.
В случае
m >
0
применим принцип математической
индукции. Базис индукции:
f
(
x
+
?
) =
f
(
x
)
,
что верно, так как
?
- период
f.
Шаг индукции:
f
(
x
+ (
m
+ 1)
?
) =
f
(
x
+
m?
+
?
) =
f
(
x
+
m?
) =
f
(
x
)
по предположению индукции. Для
m <
0
имеем
f
(
x
+
m?
) =
f
(
x
+
m?
?
?
m?
) =
f
(
x
)
,
так как
(
?
m
)
>
0
и по доказанному
(
?
m?
)
 период
f.
Лемма
доказана.
Теорема 55. Если
T
 главный период функции
f
:
R
?
M
??
R
,
то
{
mT
:
m
?
Z
}
 множество всех периодов функции
f.
Доказательство. Пусть
M
 множество всех периодов функции
f.
По
лемме 15,
{
mT
:
m
?
Z
} ?
M
.
Пусть
?
?
M
 произвольный элемент из
M
,
а
n
= [
?
T
]
 целая часть
[
?
T
]
.
Тогда
n
?
?
T
< n
+ 1
,
что равносильно
0
?
?
?
?
nT < T.
Так как
?
и
(
?
nT
)
 периоды
f,
то
f
(
x
+
?
?
nT
) =
f
(
x
+
?
) =
f
(
x
)
,
и таким образом
(
?
?
nT
)
 тоже период
f.
Но
T
по условию  наименьший
положительный период
f.
Поэтому из
0
?
?
?
nT < T
следует, что
?
=
nT.
Значит,
?
?
M
и
M
? {
mT
:
m
?
Z
}
.
Так как
{
mT
:
m
?
Z
} ?
M
и
M
? {
mT
:
m
?
Z
}
,
то
M
=
{
mT
:
m
?
Z
}
.
Теорема доказана.
Свойство 5. Синус и косинус  периодические функции с главным пе-
риодом
T
= 2
?.
Множество всех периодов этих функций есть
{
2
?n
:
n
?
Z
}
.

154
ГЛАВА 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Доказательство. Пусть
x
=
?
+ 2
?n
 представление произвольного
числа
x
?
R
,
полученное по теореме 54. Тогда
x
+ 2
?
=
?
+ 2
?
(
n
+ 1)
представление
x
+ 2
?.
Мы видим из определения 120, что
cos
x
= cos(
x
+
+ 2
?
) = cos
?,
sin
x
= sin(
x
+ 2
?
) = sin
?.
Значит,
T
= 2
?
 период функций
синус и косинус. На промежутке
[0; 2
?
)
только для нуля
cos 0 = 1
.
Поэтому
T
= 2
?
есть наименьший положительный период функции косинус, ведь
если
T
0
,
0
?
T
0
< T,
 период косинуса, то должно выполняться
cos 0 =
= cos
T
0
= 1
,
откуда следует, что
T
0
= 0
.
На указанном промежутке только
для двух точек, нуля и
?,
справедливо
sin
?
= sin 0 = 0
.
Поэтому, если
T
0
,
0
?
T
0
< T,
 период синуса, то должно выполняться
sin 0 = sin
T
0
= 0
,
следовательно,
T
0
=
?.
Но тогда
1 = sin
?
2
= sin(
?
2
+
?
) = sin
3
?
2
=
?
1
.
Противоречие. Значит,
T
0
6
=
?.
Значит,
T
0
= 0
.
Итак,
T
= 2
?
 главный
период функции синус. Так как
2
?
есть главный период, то по теореме 55
множество
{
mT
:
m
?
Z
}
есть множество всех периодов.
Свойство 6. Косинус  чјтная функция, синус  нечјтная функция.
Доказательство. Пусть
x
=
?
+ 2
?n
 представление произвольного
числа
x
?
R
,
полученное по теореме 54. Тогда
(
?
x
) = (2
?
?
?
) + 2
?
(
?
n
?
1)
.
Ввиду
2
?
-периодичности синуса и косинуса достаточно доказать
cos
?
=
= cos(2
?
?
?
)
,
sin
?
=
?
sin(2
?
?
?
)
.
Для
?
? {
0
, ?,
3
?
2
, ?
}
это утверждение,
очевидно, верно. Пусть
? /
? {
0
, ?,
3
?
2
, ?
}
.
Углы
?
и
2
?
?
?
дополнительные.
Поэтому, из равенства по гипотенузе и острому углу соответствующих пря-
моугольных треугольников, на единичной (ѕтригонометрическойї) окруж-
ности числу
?
соответствует некоторая точка
A
(
x
0
, y
0
)
,
а числу
(2
?
?
?
)
соответствует точка
B
(
x
0
,
?
y
0
)
,
взятые из определения 120. Это означает
cos
?
= cos(2
?
?
?
)
,
sin
?
=
?
sin(2
?
?
?
)
,
что и требовалось доказать.
Свойство 7. Область определения функций синус и косинус
D
(sin) =
=
D
(cos) =
R
,
область значений функций синус и косинус
E
(sin) =
E
(cos) =
= [
?
1; 1]
?
R
.
Доказательство. Согласно определениям 120 и 121,
D
(sin) =
D
(cos) =
=
R
, E
(sin)
?
[
?
1; 1]
, E
(cos)
?
[
?
1; 1]
.
Таким образом, достаточно до-
казать, что
[
?
1; 1]
?
E
(sin)
,
[
?
1; 1]
?
E
(cos)
.
Пусть
d
?
[
?
1; 1]
.
Тогда
точки
A
(
d,
?
1
?
d
2
)
и
B
(
?
1
?
d
2
, d
)
принадлежат единичной окружности
x
2
+
y
2
= 1
,
так как их координаты удовлетворяют уравнению этой окруж-
ности. Пусть
]
xOA
=
?,
]
xOB
=
?.
Тогда
cos
?
=
d,
sin
?
=
d.
Свойство
доказано.
Свойство 8. Тангенс и котангенс  нечјтные периодические функции
с главным периодом
T
=
?.
Область определения функции тангенс есть
множество
R
\ {
?
2
+
?n
:
n
?
Z
}
.
Область определения функции котангенс
есть множество
R
\ {
?n
:
n
?
Z
}
.
Область значений этих функций есть вся
числовая прямая.
Доказательство. Из свойств 5 и 6 для синуса и косинуса следует, что
тангенс и котангенс нечјтные
2
?
-периодические функции. В дальнейшем
мы покажем, что их главный период равен
?.
Так как для произвольного
d
?
0
точка
(1;
d
)
принадлежит прямой
y
= tg
?
для некоторого
?,
0
?
?
? <
?
2
,
а точка
(1;
?
d
)
принадлежит прямой
y
=
?
tg
?
= tg(
?
?
)
,
то

13.3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
155
ввиду произвольности
d
имеем
E
(tg) =
R
.
Аналогично устанавливается, что
E
(ctg) =
R
.
Так как на промежутке
(
?
?
2
,
?
2
)
тангенс всюду определјн, а на
концах этого промежутка не определјн, то ввиду
?
-периодичности тангенса
заключаем, что
D
(tg) =
R
\ {
?
2
+
?n
:
n
?
Z
}
.
Аналогично устанавливается,
что
D
(ctg) =
R
\ {
?n
:
n
?
Z
}
.
13.3 Тригонометрические тождества
Теорема 56.
?
x, y
?
R
cos(
x
?
y
) = cos
x
cos
y
+ sin
x
sin
y.
Доказательство. 1)
x
=
?
+ 2
?n, y
=
?
+ 2
?k, ?, ?
?
[0
,
2
?
)
, n, k
?
?
Z
,
?
представления
x
и
y.
Далее,
?
7?
(
·
)
A
(
x
1
, y
1
)
, ?
7?
(
·
)
B
(
x
2
, y
2
)
на
тригонометрической окружности
x
2
+
y
2
= 1
в прямоугольной декартовой
системе координат на плоскости
Oxy
,
(
·
)
O
(0
,
0)
- начало координат,
x
1
=
= cos
x, y
1
= sin
x, x
2
= cos
y, y
2
= sin
y.
Ввиду чјтности и периодичности
косинуса имеем:
cos(
x
?
y
) = cos(
?
?
?
+ 2
?
(
n
?
k
)) = cos
|
?
?
?
|
= cos(2
?
?
? |
?
?
?
|
) = cos
?
, где
?
= min
{|
?
?
?
|
,
2
?
? |
?
?
?
|}
=
]
AOB
,
0
?
?
?
?
.
Надо доказать:
x
1
x
2
+
y
1
y
2
= cos
?.
2) Пусть
(
·
)
C
(
x
1
+
x
2
2
,
y
1
+
y
2
2
)
- середина отрезка
[
AB
]
,
быть может, в
случае
A
=
B,
вырожденного в точку. Имеем:
|
OC
|
2
= (
x
1
+
x
2
2
)
2
+ (
y
1
+
y
2
2
)
2
=
=
(
x
2
1
+
y
2
1
) + (
x
2
2
+
y
2
2
) + 2(
x
1
x
2
+
y
1
y
2
)
4
=
1 + 1 + 2(
x
1
x
2
+
y
1
y
2
)
4
.
Следовательно,
x
1
x
2
+
y
1
y
2
= 2
|
OC
|
2
?
1
. Мы видим, что значение
x
1
x
2
+
y
1
y
2
зависит только от меры угла
]
AOB
и не зависит от взаимного расположе-
ния угла и системы координат, лишь бы вершина угла совпадала с началом
координат. Рассмотрим угол
]
A
1
OB
1
такой, что
]
A
1
OB
1
=
]
AOB,
=
?,
A
1
(cos
?,
sin
?
)
,
B
1
(1
,
0)
.
Тогда
x
1
x
2
+
y
1
y
2
= 1
·
cos
?
+ 0
·
sin
?
= cos
?
.
Теорема доказана.
Лемма 16. При любом
x
?
R
выполнены тождества:
sin(
?
2
?
x
) = cos
x,
cos(
?
2
?
x
) = sin
x.
Доказательство. По теореме 56 при всех
x
?
R
cos(
?
2
?
x
) = cos
x
cos
?
2
+ sin
x
sin
?
2
= cos
x
·
0 + sin
x
·
1 = sin
x.
Следовательно,
sin(
?
2
?
x
) = cos(
?
2
?
(
?
2
?
x
)) = cos
x.
Теорема 57.
?
x, y
?
R
справедливы следующие формулы:

156

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: