Глава 8
Ряды
В магазин заходит бесконечное число математиков.
Первый просит килограмм картошки, второй
полкило, третий 250 грамм . . . ѕПонялї говорит
продавец и кладјт на прилавок два килограмма.
bash.org.ru
8.1 Основные определения и примеры
Для начала приведем один любопытный парадокс, связанный с бесконеч-
ными суммами.
Рассмотрим следующую бесконечную сумму:
S
= 1
?
1 + 1
?
1 + 1
?
...
Попробуем найти
S
, группируя слагаемые следующим образом:
S
= (1
?
?
1) + (1
?
1) +
...
= 0 + 0 +
...
= 0;
... или следующим:
S
= 1
?
(1
?
1)
?
(1
?
?
1)
?
...
= 1
?
0
?
0
?
...
= 1
.
Переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значение
S
:
S
=
?
1 + 1
?
1 + 1
?
1 +
...
=
?
1 + (1
?
1) + (1
?
1) +
...
=
?
1
.
Наконец, можно заметить, что
S
= 1
?
(1
?
1 + 1
?
1 +
...
) = 1
?
S.
Решая
получившееся уравнение получим
1
S
=
1
2
.
Итак, действуя четырьмя разными способами, мы нашли четыре значе-
ния суммы S:
S
= 0 = 1 =
?
1 =
1
2
.
Какое же значение имеет сумма
S
в
действительности?
Определение 80. Пусть задана последовательность
a
n
. Выражение
?
P
n
=1
a
n
называют рядом, составленным из этой последовательности.
Определение 81. Сумму
S
N
=
N
P
n
=1
a
n
называют частичной суммой ря-
да.
1
Что особенно странно, т.к. суммируются целые числа!
105
