Лекции и упражнения
жүктеу/скачать 1,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Matan Lectures 2013
ГЛАВА 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ-2. Упражнение 212. Доказать, что предел последовательности всегда является ее пре- дельной точкой. Упражнение 213. Верно ли подобное утвер- ждение для ловушки? Т.е. Пусть A = A 0 ? ? A 00 ловушка последовательности a n . Сле- дует ли из этого что хотя бы одно из мно- жеств A 0 и A 00 тоже является ловушкой этой последовательности? Упражнение 214. Пусть A открыто. До- казать, что A ? ?A = ? . Упражнение 215. Пусть A замкнуто. До- казать, что ?A ? A . Упражнение 216. Доказать, что замкну- тое множество содержит все свои предель- ные точки, т.е. если A замкнуто, то P ( A ) ? ? A . Упражнение 217. Доказать, что P ( A ) ? ? A замкнутое множество при любом A . Упражнение 218. Доказать, что ?A ? A замкнутое множество при любом A . Упражнение 219. Доказать, что ?A ? A = = P ( A ) ? A при любом A . Упражнение 220. Доказать, что после- довательность a n имеет предел и найти его, a) a n = r 2 + q 2 + p 2 + . . . + ? 2 (корень извлекается n раз); b) a n = r 3 + q 3 + p 3 + . . . + ? 3 . Упражнение 221. а) Вася Петров пред- ложил следующее определение предела: Чис- ло A называется пределом последователь- ности a n если любое открытое множество, содержащее A является ловушкой этой пос- ледовательности. Эквивалентно ли это опре- деление стандартному? Ответ обоснуйте. b) Петя Васечкин предложил дру- гое определение: Число A называется пределом последовательности a n если любое замкнутое множество, не содержащее A не является ловушкой этой последовательности. Эквивалентно ли это определение стандартному? |