Лекции и упражнения

10.3. ГРАФИК ФУНКЦИИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ.
123
y
=
f
(
|
x
|
)
y
=
f
(
x
)
x
y
9. График функции
y
=
f
?
1
(
x
)
получается из графика
y
=
f
(
x
)
отраже-
нием относительно прямой
y
=
x
 см. рис. 9.
Теорема 41. Пусть
X
и
Y
числовые множества и отображение
f
:
X
??
??
Y
имеет обратное. Тогда графики обратных отображений
f
и
f
?
1
симметричны относительно прямой
y
=
x.
Функция
f
нечјтная тогда и
только тогда, когда
f
?
1
нечјтная,
f
строго возрастает тогда и только
тогда, когда
f
?
1
строго возрастает,
f
строго убывает тогда и только
тогда, когда
f
?
1
строго убывает.
Доказательство.
Точка
A
(
x
0
, y
0
)
?
?
f
тогда и только тогда, когда
B
(
y
0
, x
0
)
?
?
f
?
1
соглас-
но определению обратного отображения. Точка
C
(
x
0
+
y
0
2
,
y
0
+
c
0
2
)
 середина
y
=
f
?
1
(
x
)
y
=
f
(
x
)
y
=
x
x
y

124
ГЛАВА 10. ФУНКЦИИ. ГРАФИКИ.
отрезка
[
AB
]
.
Пусть
(
·
)
O
(0; 0)
 начало координат. Очевидно
C
?
?
y
=
x
,
|
OA
|
=
|
OB
|
=
p
x
2
0
+
y
2
0
.
Тогда если точки
A, B, C
не лежат на одной пря-
мой, то
[
OC
]
есть медиана и высота в равнобедренном треугольнике
AOB.
Значит, точки
A
и
B
симметричны относительно прямой
y
=
x.
Если же
точки
A
,
B
,
C
лежат на одной прямой, то они либо совпадают, либо все
различны, и тогда из
y
0
=
kx
0
,
x
0
=
ky
0
,
x
0
6
=
y
0
следует, что
k
=
?
1
.
Так
как прямые
y
=
x
и
y
=
?
x
перпендикулярны, то и в этом случае точки
A
и
B
симметричны относительно прямой
y
=
x.
Далее, если
f
нечјтная функция, то
(
x
0
, y
0
)
?
?
f
??
(
?
x
0
,
?
y
0
)
?
?
f
.
Тогда имеем:
(
y
0
, x
0
)
?
?
f
?
1
??
(
x
0
, y
0
)
?
?
f
??
(
?
x
0
,
?
y
0
)
?
?
f
??
??
(
?
y
0
,
?
x
0
)
?
?
f
?
1
,
то есть,
(
y
0
, x
0
)
?
?
f
?
1
??
(
?
y
0
,
?
x
0
)
?
?
f
?
1
.
Таким образом,
f
?
1
нечјтная функция. Значит,
f
нечјтная функция
??
f
?
1
нечјтная функция.
Если
f
строго возрастает, то
x
1
< x
2
??
y
1
< y
2
.
Так как
(
y
0
, x
0
)
?
?
?
f
?
1
??
(
x
0
, y
0
)
?
?
f
,
то и
f
?
1
строго возрастает. Значит,
f
строго воз-
растает
??
f
?
1
строго возрастает. Аналогично исследуется случай строго-
го убывания.
10.4 Примеры элементарных функций
.
•
Функция
f
(
x
) =
C
, которая равна всюду некоторому фиксированному
числу называется постоянной или константной функцией. Часто это
факт записывают в форме
f
?
const
. Графиком этой функции будет
горизонтальная прямая.
•
Линейная функция
y
=
kx
+
b
. Ее графиком является наклонная (т.е.
не вертикальная) прямая, причем
b
 точка, в которой график пере-
секает ось
Oy
, а
k
 тангенс угла наклона (т.е. угла между прямой и
осью
Ox
.
•
Квадратичная функция (квадратный трехчлен)
f
(
x
) =
ax
2
+
bx
+
c
,
a
6
= 0
. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены
вверх при
a >
0
и вниз при
a <
0
.
•
Степенная функция
f
(
x
) =
x
n
. При четных степенях график имеет
форму похожую на параболу, при нечетных  на кубическую парабо-
лу.
•
Многочлен
n
-ой степени
P
n
(
x
) =
a
n
x
n
+
a
n
?
1
+
. . .
+
a
1
x
+
a
0
, где
a
0
, ..., a
n
 фиксированные числа (
a
n
6
= 0
), которые называют коэф-
фициентами многочлена
P
n
.
•
Обратная функция
f
(
x
) =
k
x
, где
k
6
= 0
 фиксированное число. Ее
графиком является гипербола.

10.4. ПРИМЕРЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
125
•
Квадратный корень
f
(
x
) =
?
x
 функция, определенная при
x
>
0
.
По определению квадратный корень из
x
(арифметический) есть неот-
рицательное число, квадрат которого равен
x
, т.е.
(
?
x
)
2
=
x
. Графи-
ком этой функции является половина параболы, отраженная относи-
тельно прямой
y
=
x
. Аналогично определяются корни четной степени
f
(
x
) =
2
n
?
x
. Их графики похожи на график
y
=
?
x
•
Кубический корень
f
(
x
) =
3
?
x
 функция, определенная на всей чис-
ловой оси. По определению кубический корень (алгебраический) есть
число, куб которого равен
x
. Графиком является кубическая парабо-
ла, отраженная относительно прямой
y
=
x
. Аналогично определяют-
ся корни других нечетных степеней
f
(
x
) =
2
n
+1
?
x
. Их графики похожи
на график
y
=
3
?
x

126
ГЛАВА 10. ФУНКЦИИ. ГРАФИКИ.

Глава 11
Элементарные функции
Элементарные функции действительной переменной
11.0.1 Периодические функции
Определение 99. Функция
f
:
R
??
R
называется периодической, если
существует
?
6
= 0
такое, что для любого
x
?
D
f
выполнено
•
x
±
?
?
D
f
•
f
(
x
+
?
) =
f
(
x
)
.
Число
?
называется периодом функции
f.
Полагаем ноль периодом лю-
бой функции. Наименьший положительный период
T
называется главным
периодом.
Лемма 12. Если
?
 период функции
f
:
R
?
M
??
R
,
то для любого
m
?
Z
m?
 тоже период
f.
Доказательство. Если
?
= 0
или
m
= 0
,
то утверждение, очевидно,
верно. Пусть
?
6
= 0
.
В случае
m >
0
применим принцип математической
индукции.
База индукции.
f
(
x
+
?
) =
f
(
x
)
,
что верно, так как
?
- период
f.
Шаг индукции.
f
(
x
+ (
m
+ 1)
?
) =
f
(
x
+
m?
+
?
) =
f
(
x
+
m?
) =
f
(
x
)
по
предположению индукции. Для
m <
0
имеем
f
(
x
+
m?
) =
f
(
x
+
m?
?
m?
) =
=
f
(
x
)
,
так как
(
?
m
)
>
0
и по доказанному
(
?
m?
)
 период
f.
Теорема 42. Если
T
 главный период функции
f
:
R
?
M
??
R
,
то
{
mT
:
m
?
Z
}
 множество всех периодов функции
f.
Доказательство. Пусть
M
 множество всех периодов функции
f.
По
лемме 15,
{
mT
:
m
?
Z
} ?
M
.
Пусть
?
?
M
 произвольный элемент из
M
,
а
n
= [
?
T
]
 целая часть
[
?
T
]
.
Тогда
n
?
?
T
< n
+ 1
,
что равносильно
0
?
?
?
?
nT < T.
Так как
?
и
(
?
nT
)
 периоды
f,
то
f
(
x
+
?
?
nT
) =
f
(
x
+
?
) =
f
(
x
)
,
и таким образом
(
?
?
nT
)
 тоже период
f.
Но
T
по условию  наименьший
127

128
ГЛАВА 11. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
положительный период
f.
Поэтому из
0
?
?
?
nT < T
следует, что
?
=
nT.
Значит,
?
?
M
и
M
? {
mT
:
m
?
Z
}
.
Так как
{
mT
:
m
?
Z
} ?
M
и
M
? {
mT
:
m
?
Z
}
,
то
M
=
{
mT
:
m
?
Z
}
.
11.1 Целая часть числа
Определение 100. Пусть
x
?
R
.
Целое число
n
такое, что
n
?
x < n
+ 1
называется целой частью
x
и обозначается
[
x
]
.
Существование целой части любого числа устанавливает следующая
Теорема 43. Для любого
x
?
R
существует единственное
n
?
Z
, такое,
что
n
?
x < n
+ 1
.
Доказательство.
•
Существование.Пусть
x >
0
. По аксиоме Архимеда найдется
N
?
N
,
такое, что
N > x
. Следовательно
x
?
(0
, N
) = (0
,
1)
?
[1
,
2)
?
. . .
?
?
[
N
?
1
, N
)
. По определению объединения множеств
x
?
[
n, n
+ 1)
для некоторого
n
. Доказательство этого факта для отрицательных
x
предоставляется читателю в качестве упражнения.
•
Единственность. Двойное неравенство
n
6
x < n
+ 1
равносильно
тому, что
x
=
n
+
?,
где
?
?
[0
,
1)
.
Если, кроме того,
x
=
m
+
?,
где
?
?
[0
,
1)
,
то
0
6
|
m
?
n
|
=
|
?
?
?
|
<
1
.
Значит, если
m
и
n
целые, то
m
=
n.
Определение 101. Пусть
x
?
R
.
Дробной частью числа
x
называют
{
x
}
=
x
?
[
x
]
.
Свойства целой и дробной части числа:
•
[
x
]
6
x <
[
x
] + 1
(следует из определения);
•
0
6
{
x
}
<
1
;
•
Если
n
?
Z
, то
[
x
+
n
] = [
x
] +
n
и
{
x
+
n
}
=
{
x
}
.
•
Если
{
x
}
=
{
y
}
, то
x
?
y
?
Z
.
•
[
x
+
y
]
>
[
x
] + [
y
]
;
•
[
x
+
y
]
6
[
x
] + [
y
] + 1
;
•
Если
n
?
N
, то
{
n
{
x
}}
=
{
nx
}
• {
x
}
является периодической функцией, ее главный период равен 1.
Упражнение 232. Докажите эти свойства.

11.2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА.129
tg
cos
sin
sin
?
cos
?
tg
?
=
sin
?
cos
?
?
1
?
1
2
1
?
1
?
1
2
1
2
1
Рис. 11.1: Определение тригонометрических функций.
11.2 Тригонометрические функции. Определе-
ние, основные свойства.
Теорема 44. Для любого
x
?
R
существует единственная пара
(
?, n
)
, где
?
?
[0; 2
?
)
n
?
Z
такая, что
x
=
?
+ 2
?n.
Доказательство. Пусть
n
= [
x
2
?
]
 целая часть
x
2
?
.
Тогда
n
?
x
2
?
< n
+ 1
,
что равносильно
0
?
x
?
2
?n <
2
?.
Полагая
?
=
x
?
2
?n,
имеем утвержде-
ние теоремы. Существование и единственность следуют из существования
и единственности целой части по теореме 53. Теорема доказана.
Определение 102. Рассмотрим в прямоугольной Декартовой системе ко-
ординат на плоскости
Oxy
ѕединичную окружностьї
x
2
+
y
2
= 1
(см. Рис. 13.1).
От оси абсцисс
Ox
ѕв положительном направленииї, то есть против хода
часовой стрелки, отложим угол
xOz
меры
?
радиан. Сторона
Oz
этого уг-
ла пересечјт единичную окружность в точке
M
(
x
0
, y
0
)
.
По определению
полагаем
cos
?
=
x
0
,
sin
?
=
y
0
.
Если теперь
x
 произвольное действитель-
ное число, то по теореме 54 для
x
существует единственное представление
x
=
?
+ 2
?n.
Полагаем
cos
x
= cos
?,
sin
x
= sin
?,
tg
x
=
sin
x
cos
x
,
ctg
x
=
cos
x
sin
x
,
sec
x
=
1
cos
x
,
cosec
x
=
1
sin
x
.
Определение 120 позволяет распространить понятие радианной меры
угла (а также градусной меры ввиду линейности замены градусной меры
на радианную) для произвольного
x
?
R
.
Пусть
x
?
0
и
x
=
?
+ 2
?n
представление
x,
полученное по теореме 54. Полагаем, что угол меры
x
радиан получается откладыванием от оси абсцисс
Ox n
оборотов в поло-
жительном направлении (против хода часовой стрелки), и затем откла-
дыванием в положительном направлении угла меры
?
радиан. Так как

130

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: