Лекции и упражнения

8.4. РЯД
?
P
N
=0
1
N
!
.
111
Упражнение 228. а) Ряды
?
P
n
=1
a
n
и
?
P
n
=1
b
n
сходятся. Следует ли из этого,
что ряд
?
P
n
=1
a
n
+
b
n
сходится? б) Ряды
?
P
n
=1
a
n
и
?
P
n
=1
b
n
расходятся. Следует
ли из этого, что ряд
?
P
n
=1
a
n
+
b
n
расходится?
Упражнение 229. На столе лежит стопка книг (см. рис.).
...
На какое максимальное расстояние может выдаваться верхняя книжка
по отношению к нижней? Можно считать длину книги равной 1, количество
книг не ограничено.
Упражнение 230. Старик Хоттабыч решил построить башню из бесконеч-
ного количества кирпичей. Каждый из кирпичей имеет форму куба, первый
кирпич имеет размер 1м, второй  1/2 метра, третий  1/3,... и т.д. a) До-
кажите, что высота башни бесконечна. b) Докажите, что если Волька ибн
Алјша захочет покрасить ее в кразный цвет, то ему потребуется конечное
количество краски.
Упражнение 231. Дан ряд Лейбница:
?
P
n
=1
(
?
1)
n
+1
n
= 1
?
1
/
2+1
/
3
?
1
/
4+
...
.
a) Докажите, что ряд сходится и его сумма положительна. b) Переставь-
те члены ряда так, чтобы его сумма была отрицательной. c*) Переставьте
члены ряда так, чтобы он стал расходящимся.

112
ГЛАВА 8. РЯДЫ

Глава 9
Действительные числа
Ранее рассматривались действительные числа как точки на числовой пря-
мой. Теперь пришло время определить, что же такое действительно число.
Определение 85. Пусть
{
a
n
}
?
n
=
?
k
, последовательность, члены которой
a
n
? {
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
. Тогда десятичная запись
a
?
k
a
?
k
+1
. . . a
?
1
a
0
, a
1
a
2
. . . a
n
. . .
задает положительное действительное число
a
?
k
·
10
k
+
a
?
k
+1
·
10
k
?
1
+
. . .
+
+
a
?
1
·
10
1
+
a
0
·
10
0
+
?
P
n
=1
a
n
·
10
?
n
; а десятичная запись
?
a
?
k
a
?
k
+1
. . . a
?
1
a
0
, a
1
a
2
. . . a
n
. . .
задает отрицательное действительное число
?
a
?
k
·
10
k
?
a
?
k
+1
·
10
k
?
1
?
. . .
?
?
a
?
1
·
10
1
?
a
0
·
10
0
?
?
P
n
=1
a
n
·
10
?
n
.
Докажем корректность вышеприведенного определения. Для этого до-
кажем, что ряд сходится и что любое число может быть представлено в
виде десятичной записи.
Другое определение десятичных чисел.
Пусть
R
есть множество объектов для которых заданы отношение
?
и
и операции
+
и
·
, удовлетворяющих аксиомам:
1.
?
a, b
(
a
+
b
=
b
+
a
)
(Коммутативность сложения);
2.
?
a, b, c
(
a
+ (
b
+
c
) = (
a
+
b
) +
c
)
(Ассоциативность сложения);
3.
?
!0(
?
a
(
a
+ 0 = 0 +
a
=
a
))
(Существование нуля);
4.
?
a
(
?
!
?
a
|
a
+ (
?
a
) = (
?
a
) +
a
= 0)
(Обратимость сложения);
5.
?
a, b
(
a
·
b
=
b
·
a
)
(Коммутативность умножения);
6.
?
a, b, c
(
a
·
(
b
·
c
) = (
a
·
b
)
·
c
)
(Ассоциативность умножения);
7.
?
!1
6
= 0
|?
a
(1
·
a
=
a
·
1 =
a
)
(Существование единицы);
8.
?
a
6
= 0
?
!
a
?
1
|
a
·
a
?
1
=
a
?
1
·
a
= 1
(Обратимость умножения);
9.
?
a, b, c
(
a
·
(
b
+
c
) =
a
·
b
+
a
·
c
(Дистрибутивность умножения относительно
сложения);
10.
?
a
(
a
?
a
)
(Симметричность сравнения);
11. Если
a
?
b
и
b
?
c
, то
a
?
c
(Транзитивность сравнения);
12.
?
a, b
выполнено
a
?
b
или
b
?
a
, причем оба сравнения выполнены
только если
a
=
b
. (Сравнимость чисел);
113

114
ГЛАВА 9. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
13. Если
a
?
b
и
0
?
c
, то
a
·
c
?
b
·
c
(Монотоннность операции умножения);
14.
?
? >
0(
?
n
?
N
|
n
·
? >
1)
(Аксиома Архимеда);
15. Пусть множества
A, B
таковы, что
?
a
?
A
?
b
?
B a
?
b
. Тогда су-
ществует число
c
такое, что
?
a
?
A
?
b
?
B a
?
c
?
b
(Аксиома
отделимости).
Аксиомы 14 означают, что
R
 группа по сложению, аксиомы 5-8, что
R
\ {
0
}
 группа по умножению. Аксиомы 19 определяют поле. Аксиомы
1012 вводят на
R
отношение линейного порядка. А последние 2 аксиомы
как раз и определяют структуру множества действительных чисел. Так, на-
пример
Q
удовлетворяет всем акcиомам кроме последней. Можно привести
пример множества, не удовлетворяющего аксиоме Архимеда (подумайте,
как?). Можно было бы по примеру Евклида сначала выписать аксиомы,
а потом уже доказать, что получающее множество есть множество всех
действительных чисел. Резюмируя все вышесказанное, можно сказать, что
существует по крайней мере три способа определения действительных чи-
сел: 1) Геометрический способ (точки на числовой прямой); 2) Десятичная
запись (последовательность целых чисел); 3) Аксиоматический способ (вы-
шеприведенная система аксиом).
Очевидно, тут перечислены далеко не все возможные варианты опреде-
ления множества действительных чисел. Например, можно было рассмот-
реть фундаментальные последовательности рациональных чисел и считать
их действительными числами. Заметим только, что каждый подход имеет
как свои достоинства, так и недостатки.

Часть III
Функции
115

Глава 10
Функции. Графики.
Первый курс. Первая пара по мат. анализу в
техническом вузе.
Преподаватель:
 Записываем тему: Действительная функция
действительной переменной. Сюръективные,
инъективные и биективные функции. Сложная и
обратная функция.
Голос с задней парты:
 Я передумал. Заберите меня в армию. . .
bash.org.ru
10.1 Общие свойства функций
Определение 86. Функцией
F
:
A
7?
B
называется некоторый закон,
который ставит в соответствие некоторым элемента множества
A
один или
несколько элементов множества
B
. Множество
A
называется множеством
отправления функции
F
,
B
называется множеством прибытия.
Пример 28. График дежурства по классу является примером функции.
Каждому дню ставится в соответствие один или несколько дежурных.
Некоторым дням (выходным) ставится в соответствие ноль дежурных.
Пример 29.
f
(
x
) =
x
2
+3
x
?
1
x
является примером функции. Каждому дей-
ствительному числу
x
(кроме
x
= 0
) ставится в соответствие действи-
тельное число.
Пример 30.
f
(
n
) =
n
mod 3 =
?
?
?
?
?
0
,
n
= 3
k
;
1
,
n
= 3
k
+ 1;
2
,
n
= 3
k
+ 2;
является примером
функции. Каждому целому числу ставится в соответствие остаток от
деления на 3.
117

118

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: