Лекции и упражнения
жүктеу/скачать 1,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Matan Lectures 2013
Глава 8 Ряды В магазин заходит бесконечное число математиков. Первый просит килограмм картошки, второй полкило, третий 250 грамм . . . ѕПонялї говорит продавец и кладјт на прилавок два килограмма. bash.org.ru 8.1 Основные определения и примеры Для начала приведем один любопытный парадокс, связанный с бесконеч- ными суммами. Рассмотрим следующую бесконечную сумму: S = 1 ? 1 + 1 ? 1 + 1 ? ... Попробуем найти S , группируя слагаемые следующим образом: S = (1 ? ? 1) + (1 ? 1) + ... = 0 + 0 + ... = 0; ... или следующим: S = 1 ? (1 ? 1) ? (1 ? ? 1) ? ... = 1 ? 0 ? 0 ? ... = 1 . Переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значение S : S = ? 1 + 1 ? 1 + 1 ? 1 + ... = ? 1 + (1 ? 1) + (1 ? 1) + ... = ? 1 . Наконец, можно заметить, что S = 1 ? (1 ? 1 + 1 ? 1 + ... ) = 1 ? S. Решая получившееся уравнение получим 1 S = 1 2 . Итак, действуя четырьмя разными способами, мы нашли четыре значе- ния суммы S: S = 0 = 1 = ? 1 = 1 2 . Какое же значение имеет сумма S в действительности? Определение 80. Пусть задана последовательность a n . Выражение ? P n =1 a n называют рядом, составленным из этой последовательности. Определение 81. Сумму S N = N P n =1 a n называют частичной суммой ря- да. 1 Что особенно странно, т.к. суммируются целые числа! 105 |