Лекция 1 Некоторые числовые множества Совокупность некоторых объектов называется множеством далее обозначаемым через

Казахский национальный университет им. Аль Фараби  

Механико-математический факультет 

Курс «Математический анализ 1» 

Модуль 1 «Числовые последовательности» 

 

Лекция 1  

Некоторые числовые множества 

Совокупность некоторых объектов называется множеством (далее обозначаемым через 

X). Каждый их этих объектов (далее обозначаемым через x) называется элементом 

множества X. Если x элемент множества X, то пишут x ∈ X (x принадлежит X).  

Если x

1

, x

2

,…, x

n

   элементы множества X, то пишут X = { x

1

, x

2

,…, x

n

 }.  

Если Р(x) это свойство элементов множества, то пишут X = {x | Р(x)}.  

Например: X = {1, 3, 5, 7, 9} можно записать в виде X = {x | x = 2n – 1, 1 ≤ n ≤ 5}.  

Если  X и  Y два множества, состоящие из одних и тех же элементов , то пишут X = Y. 

Если все элементы множества X являются элементами Y, то пишут X ⊆ Y (X является 

подмножеством Y).  

Примеры числовых множеств. 

1.  N - множество натуральных чисел. N = {1, 2, 3, 4, 5, …}. Это целые положительные 

числа, описывающие количество объектов присутствующих в природе. Привязано 

к операции «сложения». 

2.  Z - множество целых чисел. Z = {-∞, …, -2, -1, 0, 1, 2, … + ∞} = {- N, 0, N} . 

Появилось с операцией «вычитания». 

3.  Q - множество рациональных чисел. Q = {  

𝑚

𝑛

 , | m, n 

∈ Z, n ≠ 0}. Содержит все 

дробные числа. Появилось с операцией «деления».  

4.  R - множество вещественных чисел. Содержит все рациональные и 

иррациональные числа. Иррациональные числа,  это бесконечные десятичные 

непериодические дроби появляющиеся как результат применения более сложных 

функций таких как возведение в степень, логарифмы и т.д. Примерами 

иррациональных чисел являются : π, е, √2, sin 1, ln 3. 

 

Грани вещественных числовых множеств 

 

Для дальнейшего изложения необходимо достигнуть соглашение о следующих 

обозначениях, которые будут применяться далее: 

∀ - для любого (от английского All); 

∃ - существует (от английского Exist); 

δ и ε – достаточно малые величины. 

Вещественные числовые множества могут быть изображены на числовой прямой 

следующим образом: 

 

                                                                             

-∞ 

 

      a    

      b   

+∞ 

Наиболее распространенные множества на числовой прямой: 

1.  Отрезок (сегмент):  [a; b] = {x | a ≤ x ≤ b};дальней 

2.  Полуинтервал : [a; b) = {x | a ≤ x < b}; 

3.  Интервал : (a; b) = {x | a < x < b}.  

 

В случае отрезка ∃ (существуют) точная нижняя и верхняя грань множества: 

Min [a; b] = a, Max [a; b] = b. 

В случае полуинтервала ∃ (существуют) точная нижняя грань множества: 

Min [a; b] = a, но не существует точной верхней грани множества, т. е. для 

любого x ∃ (существует) такой x

1

, что x

1

 

∈ [a; b)  и x < 

 

x

1

; 

В случае интервала не существуют точная нижняя и верхняя грань множества. 

Здесь применимы грани иного вида:  

нижняя грань множества – Inf (a; b) = m – это такое число, что: 

  ∀ x ∈ (a; b)   x ≥ m; 

   ∀ ε > 0 ∃ x

1

, x

1

 

∈ (a; b)  и x

1

 < m + ε; 

Аналогично, верхняя грань множества – Sup (a; b) = M – это такое число, что: 

  ∀ x ∈ (a; b) x ≤ M; 

   ∀ ε > 0 ∃ x

1

, x

1

 

∈ (a; b)  и x

1

 < M – ε. 

 

a    x

1       

x 

                                                                             

m        m+ε 

Метод математической индукции 

Иногда в математике требуется доказывать формулы, представляющие собой 

бесконечное число соотношений на множестве натуральных чисел. В этом  

случае используется специальный подход, называемый методом 

математической индукции. Состоит он в следующем: 

Для того, чтобы доказать справедливость утверждения для любого n ∈ N 

достаточно доказать, что: 

1.  утверждение справедливо для n = 1; 

2.  если утверждение справедливо для некоторого k, то оно также справедливо 

для следующего k + 1. 

 

Примеры: 

Доказать, что: 

1.  1 +2 + 3 +…+ n = 

𝑛(𝑛+1)

2

 . 

Доказательство. При  n = 1  имеем 1 = 1. 

Пусть утверждение верно для некоторого k, то есть 

1 +2 + 3 +…+ k = 

𝑘(𝑘+1)

2

, для k +1 имеем 

1 +2 + 3 +…+ k + (k +1) = 

𝑘(𝑘+1)

2

 + (k +1) = (k +1) [k/2+ 1] = 

(𝑘+2)(𝑘+1)

2

 . # 

2.  1

2

 +2

2

 +3

2

 +…+ n

2

 = 

𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)

6

 . 

Доказательство. При  n = 1  имеем 1 = 1. 

Пусть утверждение верно для некоторого k, то есть 

1

2

 +2

2

 +3

2

 +…+ k

2

  = 

𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)

6

, для k +1 имеем 

1

2

 +2

2

 +3

2

 +…+ k

2

 + ( k+1)

2

  = 

𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)

6

 + ( k+1)

2

  = 

(k +1) [

𝑘(2𝑘+1)

6

  + k+ 1] = 

1

6

 (k +1) ( 2k

2

 + 7k + 6) = 

(𝑘+1)(𝑘+2)(2𝑘+3)

6

. # 

Задачи для самостоятельного решения. 

Доказать  методом математической индукции, что: 

3.  1

3

 +2

3

 +3

3

 +…+ n

3

 = (1 +2 + 3 +…+ n) 

2

. 

4.  2

0

 +2

1

 +2

2

 +…+ 2

n-1

 = 2

n 

-1. 

5.  n

3

 + 11n  кратно 6 для n 

≥ 1. 

6.  1

∙2 + 2∙5 + 3∙8 +…+ n∙(3n -1) = n

2

 (n+1). 

7.  n

3

 + 5n кратно 6 для n 

≥ 1. 

8.  7

n

 – 1 кратно 6 для n 

≥ 1.