Лекция Дербес туындлы теңдеулер. Сызықтық біртекті теңдеулерді интегралдау. Жоспар: Дербес туындылы теңдеулер Сызықтық біртекті теңдеулерді интегралдау
жүктеу/скачать 74,11 Kb.
|
Лекция-1641983136155
- Бұл бет үшін навигация:
- Негізгі ұғымдар
- Өзің – өі тексеруге арналған сұрақтар
|
№13 лекция Дербес туындлы теңдеулер. Сызықтық біртекті теңдеулерді интегралдау. Жоспар: Дербес туындылы теңдеулер Сызықтық біртекті теңдеулерді интегралдау Негізгі ұғымдар: дербес туындылы теңдеулер, сызықтық біртеткі теңдеулерді интегралдау Егер дифференциалдық теңдеуге кіретін функция бірнеше айнымалылыдан тәуелді болса, дифференциалдық теңдеу дербес туындылы деп аталады. Мысалы: белгісіз функция х n тәуелсіз айнымалылардан тәуелді болсын. Онда 1-ші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былайша жазылады (1). Осы Осы функцияның анықталу облысы болсын. Қандайда бір облысында анықталған және осы облыста өзінің 1-ші ретті дербес туындыларымен бірге үзіліссіз болатын функциясы келесі шарттарды қанағаттандырса 1) онда оны (1) теңдеудің облысындағышешімі деп аталады. Егер (1) теңдеудегіфункциасы ізделінетін х функциасының дербес тундыларынан сызықтық тәуелділікте болса онда (1) теңдеу сызықтық деп аталады және ол (2) түрінде болады.Бұл теңдеуді(2) квазисызықты теңдеу деп те атайды. Бұл белгісз функция х бойынша сызықты емес. Егер (2) теңдеудің оң жағында тұрған функция нөлге тепе-тең, ал функциясы х-тен тәуелсіз болса, онда (3) теңдеуі сызықты біртекті деп аталады. (2), (3) теңдеудің шешімі (1) теңдеудің шешімі сияқты алынады. Шешім кеңістігінде бет береді.Ол бетті интегралдық бет деп атайды. (3) теңдеудің интегралдау жолын қарастырайық. функциасын қандайда бір D облысында дербес туындылармен бірге үзіліссіз және бәрі бірдей нөлге айналмайды деп есептелік. (3) теңдеуге мынадай симетриалы жүйені сәйкес қоялық (4). 4 жүйенің интегралдық қисыты (3) теңдеудің сипаттауыштары деп аталады. 1-теорема: Қандайда бір функциясы D облысында (3) теңдеудің шешімі болуы үшін оның осы облыста (4) жүйенің интегралы болуы қажетті және жеткілікті. (Дәлелдеуі үйге өз бетімен) 2-теорема: (3) теңдеудің кез-келген шешімі мына түрде (5) болады. Мұндағы бойынша үздіксіз дифференциалын кез-келген функция. Коши есебі. Жалпы шешімнен Коши есебінің шешімін, яғни дербес шешімді бөліп алу үшін D облысында жататын n-1 өлшемді кеңістік алып, ізделінетін шешімнің ол облыстағы түрін беру керек. Айталық ол кеңістік параметрлері арқылы мына түрде өрнектелсін (6). Ізделінетін шешім де кеңістігінде параметрлік түрде болсын . (7). Жалпы шешімді қарайтын тәуелсіз 1-ші интегралдарға (6) функцияларды қоялық . Бұл жүйе n-1 ден тұрады. Ондағы белгісіздер параметрлі бойынша жүйе шешілсін . Сонда Коши есебінің шешімі болып мына функция (8). Бұл функция шешімінің (5) формуласына енеді . Сондықтан ол шешім. Екіншіден екенін ескерсек, (8) және (7) шартты қанағаттандырады. Мысалы: (1) шешімін табу керек. Шешуі: (2) сәйкес симетриялық жүйе құрамыз. Екі бөлшектің алымы мен бөлімдері өз ара сәйкес қосып алынған бөлшекті 2-ші бөлшекке теңестірсек (3) аламыз. Бұдан 2-ші теорема бойынша теңдеудің жалпы шешімі . (2) Коши есебінің шешімін тап. Шешуі: симетриалық жүйені құрамыз екенін -ні интегралдаймыз екенін аламыз. 1-ші бөлшектің алымы мен бөлімін –ге екінші бөлшектің алымы мен бөлімін –ге, ал 3-ші бөлшектің алымы мен бөлімін 2 көбейтіп алынған бөлшектің алымы мен бөлімдерін сәйкес қосу арқылы . Бұдан екені алынады (1-ші интеграл). Бастапқы шартты және ізделінетін шешімді параметрлік түрде жазайық . 1-ші интегралды бастапқы шартқа қоялық . Бұл жүйені параметрлері бойынша шешіп табылған мәндерді шешімнің параметрлік түріне апарып қоялық . Енді –нің орнына 1-ші интегралдың сол жағындағы функцияларды қойсақ шешімін аламыз. Есептер: Өзің – өі тексеруге арналған сұрақтар: Дербес туындылы теңдеулер Сызықтық біртекті теңдеулерді интегралдау жүктеу/скачать 74,11 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|