Теорема 6. Если некоторая система открытых множеств { } покрывает пространство R, обладающее счётной базой { Un }: ,то из этой системы можно выбрать систему мощности не выше счётной, обладающую тем же свойством:
Эту теорему не трудно вывести из предыдущей. Дадим независимое её доказательство. Из системы { Un } отберем те окрестности { }, которые целиком лежат внутри какого-нибудь множества , и для каждой такой - выберем одно множество ; которое обозначим через . Совокупность { } имеет, очевидно, мощность не выше счётной. Покажем, что она покрывает R. Пусть —любая точка; в таком случае найдётся такое, что . Далее по свойству базы найдется Un такое, что , а значит, эта Un входит в систему { Un’ }. Пусть Un =Um’ ; так как , то т. е. покрывает R .
Достарыңызбен бөлісу: |
