Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциаль­ных уравнений

жүктеу/скачать 1,95 Mb. бет 1/28 Дата 08.02.2022 өлшемі 1,95 Mb. #118559 түрі Лекция

Лекция 1. Рассмотрим нормальную систему дифференциаль­ных уравнений (1) правая часть которой не зависит от переменного – t. Системы дифференциальных уравнении вида (1) называются динамическими или автономными. Предположим, что функция f(x) непрерывна на некотором открытом множестве D пространства пе­ременных и удовлетворяет условию Лип­шица в любом замкнутом ограниченном множестве, целиком содержащемся в D. Тогда, в силу теорем существования и единственности, для любого дей­ствительного числа t0 и для любой точки x0 D бу­дет существовать единственное решение системы уравнений (1), удовлетворяющее условию . Заметим, что если задана нормальная система дифференциальных уравнений то, вводя новую неизвестную функцию xn+1 = t, ее можно записать в виде динамической системы в про­странстве переменных ': n+1=1. В пространстве переменных любое решение динамической системы (1) опреде­ляет кривую. Эту кривую с заданным на ней пара­метром t будем называть траекторией. Само прост­ранство переменных называется фазовым пространством. В каждой точке x D определен вектор f(x) т. е. динамическая система (1) определяет векторное поле на множестве D. Пусть —решение системы (1), опреде­ленное на некотором интервале а < t 0 < b. Обозначим . Тогда (2) Трактуя t как время, мы можем придать соотно­шению (2) следующий геометрический смысл: кри­вая в множестве D является траекторией системы (1) тогда и только тогда, когда в каждой ее точке скорость равна значению векторного поля f(x) в этой точке. жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу: